Unidad 1: Funciones, Límite y Continuidad
Límites al infinito
Límites infinitos
1

Analicemos Juntos…

clientes


f
¿ 50 ?


¿Cuál es el máximo número esperado de
clientes al cual se tiende en
el largo plazo?
















tiempo
(años)
Entonces:
lim



t  
 ?
¿ 

f ( t )  50
t  
Esto es un límite al infinito, que nos indica a qué valor se
aproxima la función cuando t crece indefinidamente.
2
Límites al infinito
Si los valores de la función f (x) tienden al número L
cuando x aumenta indefinidamente, se escribe:
lim f ( x )  L
x  
De manera similar, valores de la función f (x) tienden
al número M cuando x disminuye indefinidamente,
se escribe:
lim f ( x )  M
x  
3
Por ejemplo….
y = f (x)
y=M
lim f ( x )  M
y
M
x  
x
y=L
L
lim f ( x )  L
x  
4
límite al infinito para funciones polinómicas
f ( x )  a n x  a n 1 x
n
n 1

 a1 x  a 0
n
lim f ( x )  lim  a n x 
x  
x  
Es decir, para hallar el límite de un polinomio en el
infinito, se halla el límite del término de mayor grado
(término dominante).
Ejemplos:
a)
59 
 2 3
lim  x  x 
x   
6 
 3
b) lim (  x  x  x  5 )
4
2
x  
5
Interrogante . . . . .
Si sabemos que para n > 0, lim x n   , ¿cuál es el valor
x  
de los siguientes límites?
lim
x  
lim
x  
1
x
n
1
x
n


6
límite al infinito para funciones racionales
a n x  a n 1 x
n
f ( x) 
n 1
b m x  b m 1 x
m
m 1

 a1 x  a 0

 b1 x  b0
Resolución:
Divida el numerador y denominador entre el x elevado
al mayor grado del denominador y calcule el límite de la
nueva expresión:
 a n x n  a n 1 x n 1 

m
x
lim f ( x )  lim 
m
m 1
x  
x  
b
x

b
x

m 1
 m
m

x
 a1 x  a 0 


 b1 x  b0 

7
a n x  a n 1 x
n
Para funciones racionales:
f ( x) 
n 1
b m x  b m 1 x
m
m 1

 a1 x  a 0

 b1 x  b0
Resolución simplificada:
Calcular el límite, tomando en cuenta el término
dominante del numerador y del denominador:
lim
x  
an x
n
bm x
m
8
Ejercicios:
Calcule los siguientes límites
4x  5
2
1. lim
x  
2x  3
2
x  3x
4
2.
lim
x  
1 2x
x  3x
4
3. lim
x  
4.
lim
x  
1 2x
x7
x 3
2
9
Problema
Si se siembra cierto cultivo en una tierra donde el nivel
de nitrógeno es N, entonces el volumen de la cosecha Y
puede modelarse con la función de Michaelis – Menten:
Y (N ) 
AN
BN
N 0
donde A y B son constantes positivas. ¿Qué le sucede a
la cosecha cuando el nivel de nitrógeno se incrementa
indefinidamente?
10
Límites infinitos
Se dice que lim f ( x ) es un límite infinito si f (x)
x a
aumenta o disminuye ilimitadamente cuando x→a.
Técnicamente, este límite no existe, pero se puede
dar más información acerca del comportamiento
de la función escribiendo:
lim f ( x )  
si f (x) crece sin límite cuando x→a.
lim f ( x )  
si f (x) decrece sin límite cuando x→a.
x a
x a
11
¡Interrogante!
A partir de la gráfica…….
En qué valor de a, se
cumple:
lim f ( x )  
x a
12
Ejemplo 1:
a. Estime lim
1
x  1

 x  1
2
, lim 
x  1
¿A dónde tiende f ( x ) 
b. Estime lim
x 2

2
x2
¿A dónde tiende lim
x 2
 x  1
1
 x  1
, lim
x 2
1
2
x2
2
x2
2
2
cuando x tiende a −1?
.
?
13
Ejemplo 2:
De la gráfica de la función f, hallar en caso exista, los
siguientes límites:
14
Ejemplo 3:
Esboce el gráfico de una función f con dominio R que
cumpla con las siguientes condiciones:
15
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