SERIES Y SUCESIONES
Series.
Sea  a  una sucesión, entonces una serie, viene dada por:
n

a
n
 a1  a 2  a 3    a n  
n 1
Convergencia Serie.

Dada una seria 
n 1

an
, tal que  a
n
 Sn
, entonces:
n 1
Si
lim S n
n 
existe y es igual a S, entonces la serie Converge a S.
Si
lim S n
no existe entonces la serie Diverge.
n 
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SERIES Y SUCESIONES
Propiedades de las Series
• Dadas las series convergente  a
n
 A
, b
n
 B
y c un
número real, entonces las siguientes series también son
convergentes, y sus sumas son:
ca
n
(a
 cA
n
 bn )  A  B
(a
n
 bn )  A  B
• Si  a es convergente y  b es divergente, entonces:
n
n
(a
n
es Divergente
 bn )  A  B
Importante: Si  a y  b son Divergente, entonces no se
tiene certeza si  ( a  b )  A  B es Convergente o Divergente
n
n
n
n
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SERIES Y SUCESIONES
Serie Geométrica.
A toda aquella serie que se puede expresar de la forma:

 ar
n0
n
o

 ar
n 1
n 1
se denomina serie geométrica.
La Convergencia o no de una serie geométrica viene dada
por:
• Si
• Si
r 1
r 1
, entonces la serie Diverge.
, entonces la serie Converge y su suma es
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S 
a
1 r
SERIES Y SUCESIONES
Serie Telescópica.
Es aquella serie que se puede expresar de la forma:

a
n
 a n 1
n 1
La serie telescópica siempre converge a L si
lim a n  L .
n 
Serie Armónica.
Es aquella serie que se puede expresar de la forma:


n 1
1
n
La serie armónica siempre es Divergente.
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SERIES Y SUCESIONES
Serie p
A toda aquella serie que se puede expresar de la forma:


se denomina serie p.
n 1
1
n
p
La Convergencia o no de una serie p viene dada por:
• Si
p 1,
entonces la serie Diverge.
• Si
p 1,
entonces la serie Converge.
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SERIES Y SUCESIONES
Criterio de la Divergencia

Si la serie infinita  a converge, entonces
n
n 1
lim a n  0 ,
n 
con
lo cual se puede concluir que:
Si
lim a n  0
n 
, entonces la serie es Divergente.
a n  0 no implica que la serie sea
Importante: Si lim
n 
Convergente, por lo tanto se debe utilizar otro criterio.
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SERIES Y SUCESIONES
Criterio de la Integral
Si
a n  f (n )
, tal que f es continua, positiva y decreciente,
entonces:

a
n 1

n
y

f ( n ) dn
1
Convergen o Divergen ambas en forma simultanea.
Importante: Antes de aplicar el Criterio de la Integral se
debe verificar que cumpla con las condiciones iniciales,
sino se debe utilizar otro criterio
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SERIES Y SUCESIONES
Criterio de Comparación
Si
0  a n  bn
, para todo n entonces:


n 1
n 1
• Si  b n Converge, entonces  a n también Converge.


n 1
n 1
• Si  a n Diverge, entonces  b n también Diverge.
Importante: En caso de que no se cumpla alguna de las
dos condiciones anteriores, no se tiene certeza si la serie
converge o no, por lo tanto se debe elegir otro criterio.
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SERIES Y SUCESIONES
Criterio de Comparación
Sean  a y  b , dos series de términos positivos entonces:
n
• Si
lim
• Si
lim
• Si
n 
n 
lim
n 
an
n
0
, entonces ambas series Converge o Divergen.
0
y  b Converge, entonces  a Converge.

y  b Diverge, entonces  a Diverge.
bn
an
bn
an
bn
n
n
n
n
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SERIES Y SUCESIONES
Criterio del Cociente o de la Razón
Sea  a una serie de términos positivos tal que an es
n
distinto de 0, entonces:
• Si
• Si
• Si
lim
n 
lim
n 
lim
n 
a n 1
1
an
a n 1
1
an
a n 1
an
1
, entonces  a Converge.
n
ó
lim
n 
a n 1
an

, entonces  a Diverge.
el criterio falla.
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n
SERIES Y SUCESIONES
Criterio de la Raíz
Sea  a una serie de términos no negativos, entonces:
n
• Si
lim
• Si
lim
• Si
lim
n
n 
n
n 
n 
n
an  1
an  1
an  1
, entonces  a
ó
lim
n 
n
an  
n
Converge.
, entonces  a Diverge.
el criterio falla.
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n
SERIES Y SUCESIONES
Series Alternantes
Son aquellas series que poseen términos tanto positivos
como negativos en forma alternante. Estas series tienen la
forma :


n 1

(  1) a n
n
ó

n 1
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(  1)
n 1
an
SERIES Y SUCESIONES
Criterio de las Series Alternantes
Se dice que una serie alternante es convergente si cumple
con las siguientes condiciones:
•
lim a n  0
n 
• Sea decreciente para todo n, es decir que se cumpla:
a n  a n 1
Importante: En caso de que no se cumpla alguna de las
dos condiciones anteriores, se dice que la serie es
Divergente.
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SERIES Y SUCESIONES
Convergencia Absoluta

Se dice que la serie alternante  (  1)

convergente si 
n
an
es absolutamente
n 1
an
es convergente.
n 1
Convergencia Condicional

Se dice que la serie alternante  (  1)
n 1

convergente si  (  1)
n 1
n
an
n
an
es condicionalmente

es convergente y 
n 1
divergente.
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an
es
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Series. - Cristian Castillo