LA INTEGRAL DEFINIDA
VBV
1
 Derivada  Recta tangente
 Integral  Área
 Entendemos:
 Área de una función f : región comprendida entre
la función y el eje X, entre dos líneas verticales.
2
Pensemos en como obtener el
área bajo la función f
f(x)
Sabemos calcular el área de
polígonos…
3
Podríamos …
f(x)
x0
x1
x2
x3
x4
x
Nosotros construiremos
rectángulos!!!
4
Ejemplo:

9

3
Se muestra al grafica de f . Usando fórmulas
f
geométricas. Evaluar y calcular el área
representada por la integral.

f ( x) dx
9
f ( x ) dx
3
En realidad…
 Este es un problema muy
antiguo (Arquimedes se
plantea esto, pero son
Newton y Leibniz los que
lo resuelven) .
 Idea: Construir
rectangulos “bajo” la
curva f(x), encontrar el
área de todos estos
rectangulos.
6
Sea [a,b] un intervalo
cerrado.
 Dividamos el intervalo [a, b] en n sub-intervalos
no necesariamente iguales eligiendo n-1 puntos
entre a y b, y, hagamos x0=a y xn=b de tal forma
que:
x0 < x1 < x2 < x3 < … < xn-2 < xn-1 < xn
 Diremos que P ={x0,x1, . . . ,xn} es una partición de
[a,b]
7
Denotemos por Δxi la longitud de
cada sub-intervalo tal que:
Δx1 = x1 – x0
Δx2 = x2 – x1
…
Δxi = xi – xi-1
…
Δxn-1 = xn-1 – xn-2
Δxn = xn – xn-1
Notar que Δxi corresponderá a la
base de cada rectángulo.
8
Definición:
 La longitud del sub-intervalo (o sub-
intervalos) más largo de la partición P se
llama norma de la partición y se denota
||P||.
 Esto es, ||P||= max{Δxi :i=1,…,n}
9
Ejemplo:
 Considerar el intervalo [1,3] y construir una
partición donde n=4.
10
Pensar en una partición para
[a,b]




Geométrica:
a, ar, ar2,… arm, donde r0
Aritmética:
a, a+d, a+2d, … a+md
11
PARTICIÓN GEOMÉTRICA
 Se define r como la raíz n-ésima del
cuociente: b/a
 Se tiene: xi= x0*rn
 Notar que en esta partición la amplitud de
cada sub-intervalo Δxi NO es constante .
12
PARTICIÓN ARITMÉTICA
 Se define d=(b-a)/n
 Se tiene: xi= x0+id
 Notar que en esta partición la amplitud de
cada sub-intervalo Δxi es constante e igual a d.
 Por esto, denotamos Δx=d.
13
Ejercicios:
Construir en el intervalo [0,1] , las siguientes
particiones y calcular su norma:
1. 10 sub-intervalos usando la partición:
xi= (i/n)2
1. 8 sub-intervalos del mismo largo.
14
Pensemos en la altura de
cada rectángulo…
 Sea f : [a,b] 




una función acotada
P ={x0,x1, . . . ,xn} una partición de [a,b]
Para i = 1, . . . ,n denotamos:
mi = inf { f (x) : x  [xi-1 , xi ] }
Mi = sup { f (x) : x  [xi-1 , xi ] }
 Como [a,b] , y f es acotada, entonces cada i el
conjunto { f (x) : x  [xi-1 , xi ] } es no vacío y
acotado, por tanto existen su ínfimo y supremo.
15
Definición:
SUMA INFERIOR de f asociada a P
f
n
s ( f , P )   m i Δx i
i 1
a=x0
x1
x2
…
xn-1
b=xn
16
Definición:
SUMA SUPERIOR de f asociada a P
f
n
S ( f , P )   M i Δx i
i 1
a=x0
x1
x2
…
xn-1
b=xn
17
Ejemplo:
 Calcular s(f,P) y S(f,P) en el intervalo [1,3],
para la función f(x)=x2+2
 Usando una partición con n=4.
18
Ejercicio:
 Sea
1

,0  x  2

f ( x)   ln( x / 3)
0, x  0

 Encuentre s(f,P) para una partición del
intervalo [0,2] en dos partes iguales.
 Certamen 1 – II sem 2012
19
Proposición:
 Para cada partición, se verifica:
s(f,P) ≤ S(f,P)
 Dem:
mi ≤ Mi  mi Δxi ≤ Mi Δxi
  mi Δxi ≤  Mi Δxi
 s(f,P) ≤ S(f,P)
20
Proposición:
 P1 P2  s(f,P1) ≤ s(f,P2) y S(f,P2) ≤ S(f,P1)
 Dem:
Pensar en agregar puntos (de a uno a la
partición P1).
21
Corolario:
 Sean P1 y P2 dos particiones arbitrarias de
[a,b]. Entonces:
 m (b -a) ≤ s(f ,P1) ≤ S(f,P2) ≤ M (b -a)
 Además, si P= P1  P2 , entonces:
 s(f ,P1) ≤ s(f ,P) ≤ S(f,P) ≤ S(f ,P2)
22
Definición:
INTEGRAL INFERIOR de f en
[a,b]
b
 f ( x)dx  sup{s(f , P) : P particiones de [a, b]}
a
23
Definición:
INTEGRAL SUPERIOR de f en
[a,b]
b
 f ( x)dx  inf{S(f , P) : P particiones
[a, b]}
a
24
OBS:
b

a
b
b
f ( x) dx   f ( x) dx
f ( x ) dx
a
a
25
DEF:
 f se dice RIEMANN INTEGRABLE, si:
b
b
 f ( x)dx   f ( x)dx
a
 Se escribe:
a
b
 f ( x)dx
a
26
Pensar…
 ¿Qué debe suceder para que …
b
b
 f ( x)dx   f ( x)dx
a
a
??????
27
Ejemplo:
 Calcular la integral de Riemann para f(x) = x
en [a,b].
 Considerando las particiones aritméticas:
 Pn= {xi=a+i(b-a)/n, i=1,…,n}
 Se tiene que:
b a
2
s ( f , Pn ) 

(b  a )
2
2
2n
b a
2
S ( f , Pn ) 
2
2
2

(b  a )
2
2n
28
Teorema
 Si la norma de la partición Pn se aproxima a
cero, la suma inferior y superior coinciden.
 Esto es,
lim s ( f , Pn )  lim S ( f , Pn )
|| Pn ||  0
|| Pn ||  0
 Notar que es equivalente a decir:
lim s ( f , Pn )  lim S ( f , Pn )
n 
n 
29
OBS:
 Si hacemos que la norma de la partición Pn se
aproxime a cero.
 Entonces, la suma de Riemann se aproximará a
un valor A que corresponde a la suma algebraica
de las áreas comprendidas entre la gráfica de la
función y=f(x) , y el eje x desde a hasta b.
30
Interpretación …
La integral definida plantea el límite de una
suma de áreas.
b
Área 

a
f ( x ) dx
Teorema
 Considere una sucesión de particiones Pn de
un intervalo [a,b] tales que:
lim || Pn || 0
n 
 y,
lim{S ( f , Pn)  s ( f , Pn)}  0
n 
 Entonces, f es Riemann integrable,
b
lim S ( f , Pn)  lim s ( f , Pn)   f ( x) dx
n 
n 
a
32
Veamos esto geométricamente…
n = 3 rectángulos
n = 6 rectángulos
n = 12 rectángulos
n = 24 rectángulos
n = 48 rectángulos
n = 99 rectángulos
Pensar en…
 Alguna función que NO sea Riemann
integrable.
39
Definición:
 Sea f : [a,b]  una función acotada
 P una partición de [a,b]
 Una SUMA DE RIEMANN para la función f
respecto a la partición P es una suma finita de
la forma:
n
S ( f , P,  i )   f ( i )Δx i ; i  [ xi 1 , xi ]
i 1
40
En la grafica hemos considerado el
punto medio de cada sub-intervalo.
f
a=x0
x1
x2
…
xn-1
b=xn
41
Otra grafica…
y
•
•
•
•
•
w2
w1
x0=a• x1 • x2
Δ1x
y = f(x)
Δ2x
•0
…
wi
•x• x
i-1
i
Δix …
•
• •
•
•
•
•
•
wn-1 wn
• x • x =b
n
n-1
Δn-1x Δnx
x
Ejercicios:
1. Sea f(x) = x2. Considerar una partición del
intervalo [0,1] en 8 sub-intervalos del mismo
largo.
a) Encontrar la suma inferior, superior y de
Riemann.
b) Estudiar estas sumas para una partición de n
subintervalos.
2. Hallar el área de f(x)=x2+2, entre x=-1 y x =2
mediante la busqueda del limite de las
sumas de Riemann.
43
Ejercicios:
n
3. Evaluar :
lim  ( xi 1  xi ) cos( xi )
n 
i 1
Donde: x0=0, x1= …, xn =/6
3. Evaluar:
n
lim  ( x  2 xi ) x
n 
2
i
i 1
Donde: x0=1, x1=1+x …, xn =3
44
OBS:
 Cuando la función considerada es continua la
suma superior e inferior corresponde a la
suma de Riemann.
 Escribimos:
lim S ( f , P,  i )  L
n 
 Para denotar que:
  0,   0, t.q. || P ||  | S ( f , P,  i )  L | 
45
Teorema:
 Sea f : [a,b] 
una función acotada,
entonces:
b
lim S ( f , P )   f ( x)dx
n
|| P||  0
a
b
lim s( f , P )   f ( x)dx
n
|| P||  0
a
 Si f es integrable en [a,b] , entonces:
b
lim S ( f , P ,  i )   f ( x) dx
|| Pn ||  0
a
46
Propiedades:
 Sean f , g : [a,b] 
 Se cumple:
b
acotadas e integrables.
b
b
 ( f ( x)  g ( x))dx   f ( x)dx   g ( x)dx
a
b
a
a
b
 f ( x)dx   f ( x)dx
a
a
47
b
f ( x)  0   f ( x) dx  0
a
b
b
f ( x)  g ( x), x  [ a, b]   f ( x) dx   g ( x) dx
a
a
Salvo quizás en un un conjunto finito de puntos.
b
 f ( x)dx
a
b
  | f ( x) | dx
a
48
Proposición
 Si m  f(x)  M , salvo quizás en un conjunto
finito de puntos, entonces:
b
m(b  a )   f ( x) dx  M (b  a )
a
49
Proposición(Aditividad):
 Si f : [a,b] 
es acotada e integrable, y para
todo c  [a , b] .
 Se cumple:
 f es integrable en los intervalos [a , c ] y [c , b].
 Además se verifica el reciproco.
b
c
b
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
a
a
c
50
Teorema:
 Si f : [a,b] 
es continua en [a , b] excepto
en x0 , x1 , x2 , …, xn
 Entonces, f es integrable en [a,b].
 Además, se verifica:
b
xo
x1
b
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx  ...   f ( x)dx
a
a
xo
xn
51
Ejercicio:
1. Sea f una función continua en 1, 5, si:

3
f ( x) dx  4
y
1

5
f ( x) dx  7
1
Determine el valor de:

5
f ( x) dx 
3
52
Definición:
 Sea f : [a,b] 
 Definimos:
acotada e integrable.
a
 f ( x)dx 0
a
b
a
 f ( x)dx    f ( x)dx
a
b
53
CRITERIOS DE INTEGRABILIDAD
54
Teorema:
 S f : [a,b] 
es monótona entonces f es
integrable.
55
Observación
 Muchas de las funciones con las cuales se
trabaja en cálculo son monótonas por
intervalos.
 Por la propiedad de aditividad y este teorema
podemos argumentar la integrabilidad de
prácticamente todas las funciones
elementales, como por ejemplo: ex , ln x,
arctan x, etc.
56
Teorema:
 S f : [a,b] 
es continua entonces f es
integrable.
57
VEAMOS UNA APLICACIÓN DE LA
INTEGRAL…
58
Definición:
 Sea f : [a,b]  integrable .
 se define el VALOR PROMEDIO de f en [a,b]
por:
AV ( f ) 
1
b
f ( x) dx

ba
a
59
Teorema:
 Sea f : [a,b] 
continua.
 Entonces existe c[a,b] tal que f ( c ) = AV(f).
60
EJERCICIOS PROPUESTOS
61
1. Calcular:
4
3
 (2)
[ x]
[
x
]
dx

2
dx
0
1
b
2. Dem.
e
x
dx  e  e
b
a
a
3. ¿Qué valores de a y b maximizan el valor de:
b
(
x

x
)
dx

2
?
a
62
4. Hallar el valor medio de f(x) = 3x2-2x en [1,4]
5. Sea f una función continua y positiva en [a, b]
b
tal que:
 f ( x)dx  0
a
Prueba que : f(x) = 0, x
6. Justificar:
1
6
2

0
dx
10  x
[a, b]

1
5
63
7. Sea:
x
f ( x) 
e sen( x)
x
Justifica que f es integrable en [0,1], y se verifica
la desigualdad:
1
0   f ( x) dx  e  1
0
64
8. Expresa el siguiente límite como sumas de Riemann:
n
lim
n 
e
n
e  ... 
2
n
e
n
n
9. Estimar el área bajo la gráfica de f(x) = sen x en [0, π]
usando la suma superior e inferior , para una partición
regular con n = 4.
Además calcular la suma de Riemann con la elección de
los puntos medios de los sub-intervalos.
65
10. Determine el valor de k, de modo que:
k
 (3x
2
 2 x) dx  2
1
11. Hallar el valor de c tal que el valor medio de
la funci´on f(x) = x4 − 1 sobre [−c, c] es 0.
66
10. Sea:
 x  2;1  x  1
f ( x)  
1  2 x;1  x  2
2
Calcular:
 f ( x)dx
1
67
12. Justificando su respuesta, responda lo
siguiente:
¿Será correcto afirmar que:
1
1
1
 ( x  1)
2
1
dx  2 
0
1
( x  1)
3
 (1 | x
2
2
 4 |) dx 
40
3
2
dx  
1
( x  1)
1
|
0
?????
68
Observación:
 En algunos de los ejercicios propuestos
resulta necesario utilizar la regla de Barrows,
que veremos la próxima semana.
69
Descargar

La Integral Definida