Tema:
13
Tendencia y continuidad de funciones
1
Euler - Matemáticas I
Límite finito en el infinito
Se considera la función f(x) = 5000x / (x + 1000), x  0. Su comportamiento cuando
x toma valores cada vez mayores es el siguiente:
2
x
10
f(x)
4 54 ,54 54
10
3
10
2 500 ,0 000
7000
4
4 545 ,5 455
10
5
4 950 ,4 959
10
6
4 995 ,0 050
10
7
4 999 ,5 001
10
8
4 999 ,9 500
10
9
4 999 ,9 950
Y
6000
5000
4000
3000
2000
1000
X
0
-1000
-1000
2000
5000
8000
11000
14000
El límite de una función cuando x tiende a infinito es L si los valores de la función se
hacen tan próximos a L como se quiera al hacer x suficientemente grande.
Tema:
13
Tendencia y continuidad de funciones
Euler - Matemáticas I
2
Límite infinito en el infinito
Se considera la función f(x) = x2. Su comportamiento cuando x toma valores cada
vez mayores es el siguiente:
x
10
2
10
3
10
4
10
f(x)
10
4
10
6
10
8
10
7000
5
10
6
10
10
10
7
10
12
10
8
10
14
10
16
10
18
Y
y=L
6000
5000
4000
3000
2000
1000
X
Dado un número L, por
grande que sea, siempre
podemos conseguir que la
función se coloque por
encima de la recta
horizontal y = L
0
-1000 -1
9
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
El límite de una función cuando x tiende a infinito es infinito si los valores de la
función se hacen tan grandes como se quiera al hacer x suficientemente grande.
Tema:
13
Tendencia y continuidad de funciones
3
Euler - Matemáticas I
Algunas definiciones de límite de una función en el infinito
lim f(x) = L
x 
El límite de f(x) cuando x tiende a infinito es L si para todo número e > 0 se tiene
|f(x) - L| < e si x > K, donde K debe ser elegido en función de e.
lim f(x) = L
x  
El límite de f(x) cuando x tiende a menos infinito es L si para todo número e > 0 se
tiene |f(x) - L| < e si x < K, donde K debe ser elegido en función de e.
lim f(x) = 
x 
El límite de f(x) cuando x tiende a infinito es infinito si para todo número L se tiene f(x)
> L si x > K, donde K debe ser elegido en función de e.
lim f(x) = - 
x  -
El límite de f(x) cuando x tiende a menos infinito es menos infinito si para todo número
L se tiene f(x) < L si x < K, donde K debe ser elegido en función de e.
Tema:
13
Tendencia y continuidad de funciones
4
Euler - Matemáticas I
Aproximación a un punto. Concepto de límite
Se considera la función f(x) = (x2 – 1)/(x – 1). Su comportamiento cuando x toma valores
cada vez más próximos a 1, pero mayores que 1 es el siguiente:
x
x– 1
2
x –1
1 ,1
1 ,0 1
1 ,0 0 1
1 ,0 0 0 1
1 ,0 0 0 0 1
1 ,0 0 0 0 0 0 1
2 ,1
2 ,0 1
2 ,0 0 1
2 ,0 0 0 1
2 ,0 0 0 0 1
2 ,0 0 0 0 0 0 1
El límite de una función cuando x tiende a p por la derecha es L si los valores de la
función se hacen tan próximos a L como se quiera al hacer x suficientemente próximo
a p, con valores mayores que p.
El comportamiento de la función anterior cuando x toma valores cada vez más próximos
a 1, pero menores que 1 es el siguiente:
x
x– 1
2
x –1
0 ,9
0 ,9 9
0 ,9 9 9
0 ,9 9 9 9
0 ,9 9 9 9 9
0 ,9 9 9 9 9 9
1 ,9
1 ,9 9
1 ,9 9 9
1 ,9 9 9 9
1 ,9 9 9 9 9
1 ,9 9 9 9 9 9
El límite de una función cuando x tiende a p por la izquierda es L si los valores de la
función se hacen tan próximos a L como se quiera al hacer x suficientemente próximo
a p, con valores menores que p.
Tema:
13
Tendencia y continuidad de funciones
5
Euler - Matemáticas I
Definición de límite de una función en un punto
lim –f(x ) = L
x p
El límite de f(x) cuando x tiende a p por la izquierda es L si para todo número e > 0 se
tiene |f(x) – L| < e si p – d < x < p , donde d debe ser elegido en función de e.
Es importante observar que no es necesario que la función esté definida en p
lim +f(x ) = L
x p
El límite de f(x) cuando x tiende a p por la derecha es L si para todo e > 0 se tiene |f(x)
– L| < e si p < x < p + d , donde d debe ser elegido en función de e.
Es importante observar que no es necesario que la función esté definida en p
lim f(x ) = L
x p
El límite de f(x) cuando x tiende a p es L si para todo número e > 0 se tiene |f(x) – L| <
e si |x - p| < d , donde d debe ser elegido en función de e.
Es importante observar que una función tiene límite en un punto p si tiene límites por
la izquierda y por la derecha en p y ambos coinciden.
Tema:
13
Tendencia y continuidad de funciones
Euler - Matemáticas I
6
Ejemplos de límites laterales en un punto de una función
3
Y
2
1
X
0
-1
1
2
3
4
5
6
-2
a)
lim +f(x ) = 0 ; f(0 ) = 2
b)
c)
lim +f(x ) = 1 ; f(3 ) = 1
d)
x 0
x 3
lim –f(x) = 2 ; f(6 ) = 0
x 6
lim –f(x ) = 2 ; f(3 ) = 1
x 3
Tema:
13
Tendencia y continuidad de funciones
Euler - Matemáticas I
7
Límite infinito en un punto
Se considera la función A(x) = -3/(x - 3). Su comportamiento cuando x toma valores
cada vez más próximos a 3 por la derecha y por izquierda es :
x
–3
x– 3
2 ,5
2 ,9
2 ,9 9
2 ,9 9 9
2 ,9 9 9 9
2 ,9 9 9 9 9
6
30
300
3000
30000
300000
x
–3
x– 3
3 ,5
3 ,1
3 ,0 1
3 ,0 0 1
3 ,0 0 0 1
3 ,0 0 0 0 1
-6
-3 0
-3 0 0
-3 0 0 0
-3 0 0 0 0
-3 0 0 0 0 0
El límite de una función cuando x tiende a p por la (izquierda) derecha es infinito si los
valores de la función se hacen tan grandes como se quiera al hacer x suficientemente
próximo a p, pero menor (mayor) que p.
Y
lim –f(x ) = 
x 
X
lim +f(x ) = – 
x 
Tema:
13
Tendencia y continuidad de funciones
8
Euler - Matemáticas I
Técnicas para el cálculo de límites de funciones
S ean f y g d o s funcio nes tales q ue lim f(x) = L y lim g(x) = M existen y so n fin ito s:
x p
x p
lim [f(x)+ g(x)] = lim f(x) + lim g(x) = L + M
x p
x p
x p
lim [f(x)– g(x)] = lim f(x) – lim g(x) = L – M
x p
x p
x p
.
.
.
lim [f(x) g(x)] = [ lim f(x) ] [ lim g(x) ] = L M
x p
x p
x p
lim [cf(x)] = c . lim f(x) = c . L , siend o c una co n stante.
x p
x p
lim |f(x)| = |L |
x p
lim f(x)
lim
x p
f(x)
L
x p
=
=
si lim g(x) = M  0
g(x) lim g(x) M
x p
lim [f(x)]
x p
x p
b/n
= [ lim f(x) ]
x p
b /n
= L b /n si lim f(x) = L > 0 y n p ar y L  0 si b < 0
x p
Estos resultados valen también cuando p es  o – , y para límites laterales
Tema:
13
Tendencia y continuidad de funciones
9
Euler - Matemáticas I
Expresiones determinadas e indeterminadas
Cuando se manejan límites cuyo valor es infinito es necesario tener en cuenta que:
L +  = 
L –  = – 
 +  = 
 .  = 
L .  =  si L > 0
L

=  si L > 1
L .  = –  si L < 0
L

L / = 0
= 0 si 0 < L < 1
• Los teoremas anteriores nos permiten el cálculo del límite de la operación de dos
funciones, aun sin conocerlas: en este caso se dice que el límite es determinado.
• Cuando no podemos determinar el límite de la operación de dos funciones a priori,
siendo necesario conocer las funciones para poder calcularlo, decimos que el límite
es indeterminado. Entonces no es posible aplicar ninguno de los teoremas
anteriores.
 0
.

A lguno s caso s d e ind eterm inació n: , ,  –  , 0  , 1
 0
Tema:
13
Tendencia y continuidad de funciones
10
Euler - Matemáticas I
Algunos límites indeterminados
2
lim
(x + 3)(x – 3)
x –9
= lim (x – 3 ) = - 6
= lim
x  – 
x
+
3
x + 3 x  – 
lim
( x + 6 – 3)( x + 6 + 3)
x +6 – 3
=
= lim
(x – 3)( x + 6 + 3 )
x  3
x –3
x  – 
x  3
=
lim
x  3
x–3
(x – 3)( x + 6 + 3 )
=
1
6
3
2
3
1
3x + 2x – 1
3 + – 3
3
3
2
x x
3
x
3x + 2x – 1
lim
=
=
3
lim
= lim
3
2
8
x   
2x
+
8
2x + 8
x   
x   
2 + 3
3
x
x
Tema:
13
Tendencia y continuidad de funciones
11
Euler - Matemáticas I
Continuidad. Puntos de discontinuidad
U na fu nció n f es co ntin ua en un p u nto p d e su d o m inio si se c u m p le q ue
lim f(x ) = f(p )
x  p
S i no existe el lím ite o es d iferen te d e f(p ) se d ice q ue f es d isco ntin ua
Y
f(p)
Y
Y
• (p, f(p))
X
X
p
C o n tin u a en p :
D isc o n tinu a en p :
lim f(x ) = f(p )
lim f(x )  f(p )
x  p
p
p
x  p
D isc o n tinu a en p :
N o existe
lim f(x )
x  p
Una función es continua en un intervalo I = (a, b) si I está en el dominio de f y f es
continua en todos los puntos del intervalo I
Tema:
13
Tendencia y continuidad de funciones
12
Euler - Matemáticas I
Asíntotas verticales
La recta x = p es una asíntota vertical de la función f(x) si el límite de la función
cuando x tiende a p, por la derecha o por la izquierda, es infinito o menos infinito
x=1
L a recta x = 1 es asínto ta vertical d e la fu nció n y =
x+ 1
x– 1
Tema:
13
Tendencia y continuidad de funciones
13
Euler - Matemáticas I
Comportamiento en torno a la asíntota vertical
p
p
p
lim f(x) = – 
lim f(x) = + 
lim f(x) = – 
x  p
x  p
x  p
–
lim f(x) = + 
x  p
+
–
lim f(x) = + 
x  p
+
x  p
–
lim f(x) = – 
x  p
+
lim f(x) = – 
x  p
+
p
p
lim f(x) = – 1
–
p
lim f(x) = + 
lim f(x) = + 
x  p
x  p
–
lim f(x) = – 
x  p
+
–
lim f(x) = 3
x  p
+
Tema:
13
Tendencia y continuidad de funciones
14
Euler - Matemáticas I
Asíntotas horizontales
 f(x) tie ne co m o asínto ta ho rizo ntal la recta y = c cua nd o x   si lim f(x) = c
x 
 f(x) tie ne co m o asínto ta ho rizo ntal la recta y = c cua nd o x  –  si lim f(x) = c
x 
L as sig uie ntes funcio nes tie nen co m o a sínto ta ho rizo ntal el eje y (x = 0 )
Y
Y
1
= 0
x
lim
1
= 0
x

lim
lim
x  – 
X
lim
x  +
x  – 
x  +
1
3 = 0
x
X
1
3 = 0
x

Y
Y
1
2 = 0
x
lim
1
2 = 0
x

lim
lim
x  – 
X
lim
x  +
x  – 
x  +
1
4 = 0
x
1
4 = 0
x

X
Tema:
13
Tendencia y continuidad de funciones
15
Euler - Matemáticas I
Asíntotas oblicuas
f(x )
L a recta y = ax + b es un a asíntota oblicu a si: a = lim
 0; b = lim ( f(x ) – ax)
x
x 
x  
D e igual m anera es para x  – 
x2 + x – 1
3+2
f(x) =
tiene
como
asíntota
oblicua
x
x
g(x) =
no tiene asíntotas oblicuas
x
y = x + 1 para x y para x – 
Tema:
13
Tendencia y continuidad de funciones
16
Euler - Matemáticas I
El número e
f(x) =








1  x
1 + 
x
tiene una asíntota horizontal
2
x
1
10
10
1  x
1 + 
x
2
2 ,5 9 3 7 4 2 4 6 0
2 ,7 0 4 8 1 3 8 2 9




1  x
E l núm ero e es el lím ite lim
1 +  .
x
x 
10
3
2 ,7 1 6 9 2 3 9 3 2
10
4
2 ,7 1 8 1 4 5 9 2 7
10
5
2 ,7 1 8 2 6 8 2 3 7
Su valor es:
2,7182818284590452353602874713526624977572470936999
5957496696762724076630353547594571382178525166427...
Y
y=e
X
Tema:
13
Tendencia y continuidad de funciones
17
Euler - Matemáticas I
Límites en los que aparece el número e




1  f(x )
Se cum ple que: lim
1 +
= e
f(x) 
f(x)  
Se tienen entonces los siguientes resultados:

a  x

lim
I. lim
1 +  =
1 +
x

x   
x 





1
a
x
 x /a  a
=





ea siendo a  R y no nulo.

1
1  x
–1
-1  x

II. lim
1 +  = lim  1 – x  = e = e

x
x  
x 








1  b x
III. lim 1 +
=

x

x 




a  bx
IV . lim
1 +  =
x
x 
 
lim   1 +
x   
1  x  b

=
x  
eb siendo b  R cualquiera.
eab siendo a  R y no nulo, b  R cualquiera.
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