LÍMITE DE UNA SUCESIÓN
El valor al que se acerca indefinidamente los términos de
una sucesión se llama límite.
Una sucesión tiene límite +∞ cuando, para cualquier número real y positivo
k, siempre existe un valor n0 de n, a partir del cual los términos de la
sucesión son mayores que k:
lim an = L
n
∞
n
Una sucesión an, tiene límite L si, cuando n tiende a infinito,
la diferencia entre an y L es cada vez menor. Es decir,
cuando n ∞, |an - L|
0.
lim an = +∞
∞
Una sucesión tiene límite -∞ cuando, para cualquier número real y negativo
k, siempre existe un valor n0 de n, a partir del cual los términos de la
sucesión son menores que k:
Sucesión convergente: tiene un límite finito.
n
lim an = -∞
∞
Sucesión divergente: tiene límite +∞ o -∞.
Sucesión nula o infinitésimo: su límite es cero.
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OPERACIONES CON SUCESIONES
Adición de sucesiones
Cociente de sucesiones
x
lim xn
lim n =
y
lim yn
n
n
∞
lim (xn + yn) = lim xn + lim yn
∞
n
n
∞
n
∞
n
∞
siempre que yn no sea una sucesión nula.
Producto de sucesiones
lim (xn · yn) = lim xn · lim yn
n
∞
n
∞
n
∞
Potencia de sucesiones
lim (xn)yn = (lim xn)lim
n
∞
n
yn
∞
Las sucesiones xn e yn pueden ser convergentes o divergentes.
Podemos obtener las indeterminaciones ∞0, 00 y 1∞.
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CÁLCULO DEL LÍMITE DE SUCESIONES
Sucesiones que tienen término general como un polinomio en n
siempre son divergentes.
Sucesiones con radicales del tipo x = k a ,donde an es un
n
n
polinomio en n, siempre son divergentes.
Su límite será +∞ o -∞ en función del signo del coeficiente del
término de mayor grado.
Su límite será +∞ o -∞ en función del signo del coeficiente del
término de mayor grado. Si k es par, el coeficiente del término de
mayor grado no puede ser negativo.
Sucesiones que tienen término general como un cociente de
polinomios son:
En una sucesión cuyo término general es la suma o diferencia de
dos raíces, puede dar lugar a la indeterminación (+∞) + (-∞) , que
se resuelve comparando los grados de los términos de mayor
grado y los índices de las raíces:
• divergentes: si el grado del numerador es mayor que
el del denominador.
o límite +∞ si los signos de los términos de
mayor grado del numerador y del denominador
coincide.
o límite -∞ si los términos de mayor grado del
numerador y del denominador tienen signos
distintos.
• convergentes:
o límite cero si el grado de numerador es menor
que el del denominador.
o limite L si el grado del numerador es igual al
del denominador.
• si son iguales y tienen el mismo índice, el signo del
infinito se determina por sus coeficientes.
• si, además, tienen el mismo coeficiente, se multiplica
por el conjugado de la suma de raíces:
lim
an + bn = lim( an + bn ) .
an -
bn
an -
bn
tér mino de mayor grado
L = coeficiente del Ž
coeficiente del téŽrmino de mayor grado
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EL NÚMERO e
e = lim (1 +
n
Sucesiones cuyo término general es:
Sucesiones cuyo término general es:

(1 +
∞
1 n
)
n
1 n+ a
)
n

(1 +
1 n+a
)
=
n
n
∞
1 n
1 a
= lim (1 + ) . lim (1 + ) = e  1 = e
n
n
n
∞
n
∞
1 kn
)
n
lim (1 +
lim (1 +


1
n
(1 +
)
n+a
∞
n
1 n
1 n +a - a
) = lim (1 +
)
n
+
a
n
+
a
n
∞
n
∞
1 n+a
(1 +
)
n+a
e
= lim
= =e
1
1
a
n
∞
(1 +
)
n+a
lim (1 +
(1 +
1 kn
k
) =e
n
1 n
)
kn
n
lim (1 +
∞
1
= ek =
k
1 n
1 kn 1
) = lim (1 +
) k
kn
n+a
n
∞
e
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PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON LÍMITES DE FUNCIONES
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CONTINUIDAD
Clasificación de discontinuidades
Una función f(x) es continua en a si:
• Existe f(a)
• Existe lim f(x) = f(a)
n
• Discontinuidad evitable se produce cuando:
O Existe f(a) y lim f(x), pero f(a) ≠ lim f(x)
n
a
O
n
a
a
No existe f(a) y sí lim f(x)
n
a
• Discontinuidad de salto finito se produce cuando no existe lim f(x) porque los dos
n
a
límites laterales son finitos, pero desiguales.
Si no cumple alguna de las condiciones, f(x)
es discontinua en a.
Propiedades de las funciones continuas
• Si f(x) y g(x) son continuas en a entonces:
O
O
O
• Discontinuidad asintótica o de salto infinito se produce cuando uno o los dos
límites laterales son infinito. En este caso, f(a) puede existir o no
(f + g)(x) es continua en a
(f · g)(x) es continua en a
( f )(x) es continua en a, si g(a) ≠ 0
g
• Si f(x) es continua en a y g(x) es continua en f(a)
entonces la composición (g ◦ f)(x) es continua en a.
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