Integral Definida y Cálculo
de Áreas.
Área encerrada por una parábola
Definición del área encerrada por una función.
Integrales y primitivas.
Cálculo de áreas
Consideramos el problema de
determinar el área encerrada por la
gráfica de la función f(x)= x2 el eje X
y las rectas x=0 y x=1.
y=x2
0
Determinaremos el área aproximando la región por rectángulos, cuya
área es fácilmente computable. Cuanto más pequeña sea la base de
estos rectángulos, más precisa será la aproximación. Finalmente, en el
límite, obtendremos el área que estamos buscando.
Cuanto mayor sea el
número n de
rectángulos que
tomemos, mejor será
la aproximación.
Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas
1
Cálculo de áreas(2)
Altura del rectángulo k.
E l á re a to ta l d e lo s re ctá n g u lo s se rá : s n 
Si A es el área encerrada por la función,
observamos que sn<A para todo n.
L a a p ro x im a ció n s n u sa re ctá n g u lo s d e a ltu ra
 k  1


 n 
2
e n e l in te rv a lo
k  1 k 
,
.
 n

n


S u stitu im o s e sto s re ctá n g u lo s p o r o tro s d e a ltu ra
k 
 
n
2
 k  1  1 
  n   n .
  
k 1 
n
2
p a ra a p ro x im a r e l á re a p o r e x ce so m e d ia n te
Base del
rectángulo k.
Aprox.
por
defecto
sn
Aprox.
por
exceso
Sn
2
k  1
S n      .
k 1  n   n 
n
Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas
Cálculo de áreas(3)
P ara calcular el área A debem os tener e n cuenta que: s n  A  S n ,
2
 k  1  1 
sn   
   A
n  n
k 1 
n
2
k   1
  n   n   Sn .
  
k 1 
n
S e tie n e e n e ste ca so q u e : S n  s n 
P o r lo ta n to
1
n

 0 .
n 
lim S n  lim s n  A .
n 
n 
P a ra ca lcu la r e l lím ite d e b e m o s o b se rv a r q u e :
Sn 
2
3
k  1 1 
2
  n   n    n   k
      k 1
k 1 
n
n

.

Fórmula de
la suma
Podemos calcular esto directamente usando la fórmula que
vimos anteriormente para sumar cuadrados.
Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas
Cálculo de áreas(4)
n
R e co rd a r q u e :

k 1
k
2

n
3
3

n
2
2

n
.
6
y=x2
P o r ta n to
3
n
1
1
1
1
1 
2 
Sn      k   





.
n
2
3
 n   k 1
 3 2n 6n
0
Conclusión
El área que encierra la curva y=x2 y el eje X en el intervalo [0,1] es:
A=1/3.
Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas
1
Área encerrada bajo la gráfica de una
función
Las consideraciones anteriores estaban basadas en la idea intuitiva
de lo que es el área encerrada por una función. Precisamos todo
esto en el siguiente resultado, aunque no lo demostraremos.
Sea
x 
Teorema
b  a
n
, y
xk  a 
k
n
b
 a
Supongamos que f es continua en el intervalo [a,b].
Entonces:
n
lim
n 
 m in  f  x  | x
k 1
lim
n 
 x  xk  x 
k 1
n
Definición
k= 0,1, 2,…,n.
 m a x f  x  | x
k 1
 x  x k  x
k 1
Suponiendo que f(x) ≥ 0 para todo x, el resultado de estos
límites es el área encerrada por la gráfica de la función en el
intervalo [a,b].
Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas
La Integral (1)
Teorema
Supongamos que f es continua en el intervalo [a,b].
Entonces:
n
lim
n 
 m in  f  x  | x
k 1
k 1
n
lim
n 
 x  xk  x 
 m a x f  x  | x
k 1
 x  x k  x
k 1
Definición
El resultado de estos límites es la integral de la función f en el
intervalo [a,b].
b
Notation
 f  x  dx
a
Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas
La Integral (2)
El resultado anterior muestra que, para funciones continuas, se
tiene:
Observación
Eligiendo un punto cualquiera zk  [xk-1 , xk] para cada
k=1,2,…,n, se verifica
b
n
lim
n 
 f  z  x
k
k 1

 f  x  d x.
a
Esta es una observación importante, ya que nos permitirá
aproximar numéricamente integrales que no podemos calcular de
otra forma.
Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas
Ejemplos (1)
b

C a lcu la r
Ejemplo 1
2
x dx.
0
b
2
Solución
 lim
n
2
 bk   b 
 n  n
 x dx  nlim

  
k 1 
0
n
b
3
n
3
Por definición
n

k
2
Ahora aplicamos la fórmula para la suma de
cuadrados.
k 1
3
3
2
3
3
3
 b3
b n
n
n
b
b  b
 lim 3 

   lim 



.
2 
n n
2
6  n  3
2n 6n 
3
 3
b
Conclusión

0
x dx 
2
b
3
.
3
Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas
Ejemplos (2)
b
C a lcu la r
Ejemplo 2

2
x dx.
a
Solución
In te rp re ta n d o la in te g ra l co m o e l á re a
b a jo la g rá fica d e la fu n ció n y  x
2
0
a
o b se rv a m o s q u e
b
x
a
Conclusión
b
2
dx 
El área roja bajo la gráfica
de x2 en [a,b] equivale a
calcular el área de [0,b] y
restarle el área de [0,a].
a
x
2
dx 
0
x
2
dx.
0
b
b

x dx   x dx 

a
0
0
2
a
2
x dx 
2
b
3
3

a
3
.
3
Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas
b
Integrales y primitivas
Expresando el resultado anterior de la siguiente forma:
x
t
2
dt 
x
3

a
3
a
3
3
observamos que la integral define la función:
Fx 
x
t
2
dt 
a
x
3
3

a
3
.
3
Si derivamos se tiene : F’(x) = x2, por lo que la función F es una
primitiva de la función f(x) = x2.
Este método para calcular integrales usando la fórmula de la
suma, se puede emplear para demostrar que, para cualquier
polinomio p, la integral x
 p  x  dx
a
es una primitiva de p.
Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas
Teorema Fundamental del Cálculo
Teorema
Si f una función continua entonces la función
F x 
x
 f t  dt
a
es una primitiva de la función f, es decir, F’(x) = f(x).
Recíprocamente, si F es cualquier primitiva de f,
b
 f  x  dx
a
 F b   F a.
En las siguientes
secciones se hará
una demostración
de este resultado.
Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas
Cálculo en una variable
Autor: Mika Seppälä
Traducción al español:
Félix Alonso
Gerardo Rodríguez
Agustín de la Villa
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Teoria