Funciones
Continuidad de una función
Tipos de discontinuidad
Funciones definidas a trozos
Continuidad de Funciones
1
Una función f(x) es continua en un punto x = a
si cumple:
1. Existe f(a)
lim  f ( x)  lim f ( x)   lim f ( x)
2. Existe x
a
x a
x a 
lim f ( x)
3. Se cumple que f(a) = x
a
Si una función no cumple alguna de estas condiciones, decimos
que la función es discontinua en x = a
Continuidad de Funciones
Ejemplo: Estudiar la continuidad de la función
2 1
x
f (x) 
x2
Estudiemos
Tenemos que
como
el dominio
no se cumple
de la función
la definición
es R-{2},
de continuidad
por lo tanto xy =
que
2
tipo
seráde
una
discontinuidad
punto de discontinuidad.
tenemos.
No se puede
dividir por 0
Evidentemente no existe f(2)
Calculamos los limites a la izquierda y derecha de x=2
2
lim x  1  5   
x 2  x  2 0
2
lim x  1  5  
x 2  x  2 0
Númerosson
muydistintos
pequeñostenemos una función
Como los límites izquierda y derecha
pero negativos:
Números
muy pequeños
discontinua en x = 2 de 1ª especie
con salto infinito
(diferencia
entre los
pero positivos:
1,90 – 2 = - 0,1
límites laterales)
1,99 – 2 = - 0,01
Continuidad de Funciones
1,90 - 2 = 0,1
1,99 - 2 = 0,01
3
Veamos la gráfica de la función:
2 1
x
f (x) 
x2
Cuando me acerco a 2+
la función va hacia +∞
Cuando me acerco a 2-
Aquí tendremos
la función va hacia -∞
Una Asíntota vertical
De ecuación x=2
Continuidad de Funciones
4
Veamos el siguiente ejemplo con una función
definida a trozos:









5
x2
f ( x)  x 2  6 x  10 2  x  5
4 x  15
x 5
Aquí tenemos una parábola.
Siempre es continua en su
intervalo de definición.
Aquí tenemos una recta
Asíparalela
que soloalprocederemos
a estudiar la continuidad en los
horizontal,
eje de
x = 2 es
y x = 5 . Que
los puntos
donde puede ocurrir
abcisas casos
X. Siempre
Aquíson
tenemos
una recta.
respecto
aSiempre
la continuidad
continuaalgún
en sucambio
intervalo
de
es continua en su
definición.
intervalo de definición.
Continuidad de Funciones
5
Si nos fijamos en la gráfica de esta función
veremos que:
Continuidad de Funciones
6
Estudiamos analíticamente el caso de x = 2
f (2)  5
lim 5  5
x 2 
lim x 2  6 x  10  2
x 2 









5
x2
f ( x)  x 2  6 x  10 2  x  5
4 x  15
x 5
Como tenemos que el limite por la izquierda y el limite por la derecha en
x=2 son distintos tenemos que f(x) es discontinua de 1ª especie en x =2,
donde se produce un salto de 3 unidades.
Continuidad de Funciones
7
Estudiamos analíticamente el caso de x = 5
f (5)  5
lim x 2  6 x  10  5
x 5
lim 4 x  15  5
x 5









5
x2
f ( x)  x 2  6 x  10 2  x  5
4 x  15
x 5
Como tenemos que el limite por la izquierda y el limite por la derecha en
x=5 son iguales tenemos que f(x) continua de en x = 5
Continuidad de Funciones
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Veamos algún caso con una discontinuidad del
tipo “Evitable”
2  3x  2
x
f (x) 
x 1
Tenemos que Dominio de f = R - { 1 }
Solo tendríamos que estudiar el caso x = 1
1. f(1) no existe ya que x = 1 no está en el dominio
2.
x 2  3x  2  0  lim x 1 x  2  lim x  2  1
 


x 1
x 1
0 x 1
x 1
x 1
lim
x 1  x  2 
2  3x  2 0

x
lim
  lim
 lim x  2  1



x 1
x 1
0 x 1
x 1
x 1
 lim f ( x )
x1
Continuidad de Funciones

f (1) q u e n o existe
9
Veamos ahora la gráfica de la función
Tenemos un agujero para x = 1
Continuidad de Funciones
10
Otro ejemplo de una función con discontinuidad
“de 1ª Especie con salto ∞”
2
f ( x )  x  3x  2
x3
Tenemos que Dominio de f = R - { 3 }
Solo tendríamos que estudiar el caso x = 3
1. f (3) no existe ya que x = 3 no está en el dominio
2.
2
x2  3x  2
lim

 

x3
0
x  3
2
x2  3x  2
lim



x3

0
x 3
f(x) es discontinua de 1ª especie con
salto de lim f ( x )  lim f ( x )  


x 3
Continuidad de Funciones
x 3
unidades
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Veamos ahora la gráfica de la función
Continuidad de Funciones
12
Otro ejemplo de una función con discontinuidades
 x3  8
f ( x) 
x3  x 2  x  1
Tenemos que Dominio de f = R - { -1, 1 }
Si estudiamos caso x = -1
1. f (-1) no existe ya que x = -1 no está en el dominio
2.
9
 x3  8 x
lim

 

3
2
x   1 x  x  x  1 0
9
 x3  8 x
lim

 

3
2

x 1 x  x  x 1 0
Pero el limite no es igual que la imagen en x= -1 ya que no existe f(-1)
f(x) es discontinua evitable en el
infinitode 1ª especie en el infinito
Continuidad de Funciones
13
Otro ejemplo de una función con discontinuidades
 x3  8
f ( x) 
x3  x 2  x  1
Tenemos que Dominio de f = R - { -1, 1 }
Si estudiamos caso x = 1
1. f (-1) no existe ya que x = 1 no está en el dominio
2.
7
 x3  8 x
lim

 

3
2
x  1 x  x  x  1 0
7
 x3  8 x
lim



3
2

x 1 x  x  x  1 0
f(x) es discontinua de 1ª especie con
salto de lim f ( x )  lim f ( x )  


x 3
Continuidad de Funciones
x 3
unidades
14
Veamos la gráfica de esta función:
A.V. x= -1
A.V. x= 1
A.H. y= -1
Continuidad de Funciones
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Fin del ejercicio
Continuidad de Funciones
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