COLEGIO DE EDUCACION PROFESIONAL TECNICA
CONALEP ESTADO DE MEXICO
ANALISIS DERIVATIVO DE FUNCIONES
UNIDAD 1.2
CONTENIDO
CALCULO DE LIMITES DE FUNCIONES
DETERMINACION DE LIMITE DE UNA FUNCION
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
Antes de presentar el concepto de limite, consideremos
la siguiente representación decimal de un número real
muy conocido con el numero ”π”, al que se le van
asignando un valor sucesivamente cada vez más
próximo a él, esto es
el primer valor asignado
el segundo
el tercero
el cuarto
:
el octavo
el noveno
3.14
3.141
3.1415
3.14159
:
3.141592653
3.1415926535
Continuando con los procedimientos se tiene que ;
Para el decimo segundo termino
Para el décimo segundo
3.1415926535897
El décimo tercero
3.14159265358979
Al continuar asignando más cifras decimales a
“x” se obtiene la mejor aproximación al número
π pero más cifras decimales que se consideren,
jamás se podrá llegar al valor de π, lo cual se
denota como
X→π
Que se lee como x tiende a ser π y significa
que a x se le asignan valores
sucesivamente cada vez más cercanos a π
pero nunca iguales que π (x ≠ π )
En general si “a” es un valor fijo, es decir
que x → a significa que a variable
independiente x, se le asignan valores
sucesivamente cada vez más cercanos a
“a” pero nunca iguales que “a”.
Consideremos ahora las siguientes tablas,
las cuales se consideran que x tiende a 2,
esto es
x
1.5
1.8
1.9
1.99
1.999
1.999
9
y
2.5
2.2
2.1
2.01
2.001
2.000
1
Note que en la tabla de lado izquierdo la variable de x primero se le
asignaron valores sucesivamente cada vez más cercanos a 2 pero no
menores que dos
Y en la tabla lado derecho se asignaron valores cada vez más
cercanos a 2 pero no mayores que dos
Con esta ligera introducción te damos una idea de concepto de límite
sin embargo una definición más acertada es :
El límite de una función real de variable real con regla de
correspondencia de y = f(x) cuando la variable independiente x
tiende a un valor fijo “a” es el valor “L”, se denota;
lim f(x)
x→ a
Que se lee: el limite f(x) cuando x tiende a “a” es igual a L
Significa que cuando “x” está muy cercana a “a” la función
y= f(x) está muy cerca de L
Para interpretar geométricamente el valor
de limite, se traza la gráfica de la función
como se muestra en la siguiente figura,
entonces cuando “x” está muy cerca de
“a” , está muy cerca de L, por lo cual L es
el valor límite .
EJEMPLO No 1.
Considérese la siguiente grafica de una cierta función y = f(x),
obtener el valor de su límite cuando tiende a
x → -5, 0, y 7.5
a
cuando x tiende a -5
f(x) está muy cerca de -7
entonces
b
cuando x tiende a ser 0
f(x) está muy cerca de 1
entonces
c
cuando x tiende a 7.5
f(x) no se acerca a ningún
valor, entonces
lim f(x) = -7
x→-5
lim f(x) = 1
x→ 0
lim f(x) = ∄
x→7.5
Actividad
Considere la gráfica de la función y = g(x)
obtenga el valor de su límite cuando x tiende a
-2, 0, 6.5 y 11
Ejemplo: Obtener el valor del límite
lim (x2+1)
x→1
En este caso “x” tiende a 1, se le asignan a “x” valores
sucesivamente cada vez más cercanos a 1, tanto menores
(tabla izquierda) como mayores (tabla derecha) y se evalúa
a la función en cada valor asignado a “x”. El valor hacia cual
tienda la función cuando x este muy cerca del 1
corresponderá al valor del limite
x
0.5
0.8
0.9
0.99
0.999
0.9999
0.99999
f(x) =x2 + 1
1.25
1.64
1.81
1.98
1.998
1.9998
1.99998
x
1.5
1.2
1.1
1.01
1.001
1.0001
1.00001
f(x) =x2 + 1
3.25
2.44
2.21
2.0201
2.002001
2.00020001
2.0000200001
En ambas tablas cuando los valores tienden de “x” se acerca cada
vez más a 1,la función se acerca cada vez más a 2, esto es, cuando
x→1, entonces f(x) → 2 por lo tanto el límite de la función es igual
a 2 esto es;
Lim (x2 + 1)
x→1
Actividad No 2
Obtenga el valor del siguiente límite
Lim (x3 – 1)
x→1
LIMITES LATERALES
Al asignar los valores sucesivamente cada vez más cercanos al
valor hacia cual tiende “x” tanto con valores menores como
mayores, se denomina; cálculo de limite mediante literales
El límite por el cual se asignan valores sucesivamente cada vez
más cercanos al valor hacia el cual tiende “x”, pero menores se
denomina límite lateral izquierdo
El limite lateral por la izquierda de una función f(x) cuando x
tiende a un valor fijo se representa por
Lim f(x)
x→a-
El limite lateral por la derecha de una función f(x) cuando x tiende a
un valor fijo z se representa por
Lim (x)
x→a+
El límite de una función existe, si y solo si, sus límites laterales existen
y sus iguales, esto es;
Lim f(x)
x→a-
↔
Lim f(x)
x→a+
Del teorema anterior se deduce que para calcular el límite de una
función, primero se deben obtener sus límites laterales y a partir de
ellos, se determina el valor del límite
Es muy importante identificar aquellas funciones en las cuales se
requiera para calcular su límite se necesita el uso de limites laterales.
Lim (x)
x→-3-
Lim (x)
x→-3+
Lim (x)
x→2-
Lim (x)
x→2+
De esta grafica se deduce el valor de los límites laterales, los
cuales resultan
Lim (x) =-∞
x→-3-
Lim (x)=+∞
x→-3+
Lim (x)= 0
x→2-
Lim (x)= 0
x→2+
Actividad No 3 determina el valor de cada uno delos limites
laterales con respecto a la gráfica presentada de cierta
función f(x)
Lim (x)
x→2-
Lim (x)
x→-2+
Lim (x)= 0 Lim (x)= 0
x→3x→3+
Calcular el límite por la derecha
de la función f(x) = 2-4 cuando
x tiende a 2
Existen funciones como esta en
la cual no es posible calcular los
dos limites laterales en algunos
de los puntos
Aquí no es posible calcular el
limite por la izquierda cuando x
tiende a 2, por que la función no
esta definida para valores
cercanos a 2 pero menores
Construyendo la tabla en la
cual se le van asignando a la
variable x valores
sucesivamente cada vez más
cercanos a 2 por la derecha,
esto es, valores mayores que 2
x
2.1
2.01
2.001
2.001
2.0001
f(x) =  2-4
0.64031
0.20025
0.06325
0.02000
0.00632
Cuando los valores de x se acercan a 2 por la derecha,
la función se acerca cada vez más a 0, esto es cuando
x→2+, entonces f(x) →0 y por lo tanto él;
Lim  2-4
X→2+
Actividad
Calcule el límite por la izquierda de la función f(x) =
2-4 cuando x tiende a -2
Mediante límites laterales calcular el límite
Lim |x+1|/x+1
x→ -1
En este caso se obtiene el límite de la función tanto por la
izquierda como por la derecha, para lo cual se elaboran las
siguientes tablas
limite por la
izquierda
x→ -1
-1.1
-1.01
-1.001
-1.0001
-1.00001
Lim |x+1|/x+1 limite por la
derecha
x→ -1+
-1
-0.9
-1
-0.99
-1
-0.999
-1
-0.9999
-1
-0.99999
Lim |x+1|/x+1
1
1
1
1
1
Con los valores obtenidos en las tablas anteriores se
deduce que;
Lim |x+1|/x+1
x→ -1-
Lim |x+1|/x+1
x→ -1+
Como los dos límites laterales no son iguales,
el límite no existe. Esto es;
Lim |x+1|/x+1 = ∄
x→ -1
Actividad
Mediante límites laterales calcule el valor del límite
Lim x/x
x→0
TEOREMAS PARA CALCULAR LIMITES
Si k es una constante y a un número cualquiera,
entonces;
donde k es un número real
Para cualquier número dado a,
Si m y b son dos constantes
cualesquiera, entonces
teorema 4
teorema 5
Si f es un polinomio y a es un número real, entonces
Si q es una función racional y a pertenece al dominio de q,
entonces
teorema 8
Solución 1
Solución 2
Solución 3
Solución 4
Solución 5
Solución 6
No es posible aplicar directamente el TL7, pues se obtendría
la forma indeterminada 0/0; no obstante, luego de factor izar
y simplificar la expresión, se obtiene fácilmente el límite
aplicando el TL1:
7. Solución:
No es posible aplicar directamente el TL7, pues se obtendría la forma
indeterminada 0/0; no obstante, luego de factorizar y simplificar la
expresión se obtiene fácilmente el límite aplicando el TL7 o el TL4(III):
8. Solución:
Si pretendiéramos aplicar el límite directamente a partir del TL7, nos
daría la forma indeterminada 0/0; por lo que, se debe factorizar y
luego simplificar la expresión antes de poder hacer uso del TL6:
9. Solución:
No se puede aplicar el límite directamente, daría la forma indeterminada
0/0; no obstante, luego de multiplicar tanto el numerador como el
denominador por la conjugada de la expresión en el numerador y luego
reduciendo y simplificando, se puede aplicar el TL para hallar el límite:
10. Solución:
Luego de la transformación de la expresión se aplican los TL7 y TL8
11. Solución:
El límite no se puede aplicar directamente, resultaría la forma
indeterminada 0/0; no obstante, una vez factorizando y
simplificando, la expresión queda expedita para hallar el límite
mediante los TL7 y TL6:
12. Solución:
LIMITES TRIGONOMÉTRICOS
El límite de una función trigonométrica se obtiene
utilizando los siguientes teoremas en los cuales se
consideran que u = f(x)
1
2
3
4
5
Lim sen u = sen Ѳ
u →Ѳ
lim cos u = cos Ѳ
u →Ѳ
lim sen u = 0
u→0
lim cos u = 1
u→0
lim sen u /u =1
u →0
Con estos teoremas es
posible obtener el límite de
las funciones
trigonométricas.
Cuando la función dada es
diferente de la función seno
y coseno, primero se aplican
identidades trigonométricas
y después teoremas
correspondientes
Entre las identidades más usuales para el
cálculo de límites se tiene, las siguientes
tan u = sen u /cos u cot u = cos u/sen u
sec u = 1/ cos u
csc u = 1/sen u
La aplicación de los
primeros dos teoremas se
muestra enseguida
i.- obtener el valor del
límite
lim sen x
x→2
Como x tiende a ser 2
entonces el valor del límite
es
lim sen x
x→2
= sen 2
= 0.9092
Calcular el límite trigonométrico
Lim cos 5x
x →0
El argumento de la función es 5x, entonces haciendo que u
= 5x
Cuando x → 0 también 5x → 0 esto es, el límite se puede
escribir como
Lim cos 5x
x→0
Aplicando el teorema lim cos u = 1, se tiene el valor del
límite, esto es
lim cos 5x =1
x→0
el argumento de la función es 5x entonces haciendo u = 5x
Cuando x→0 también 5x→0 esto es, el límite se puede escribir
lim cos 5x
x→0
Aplicando el teorema cos u = 1 se tiene que el valor del
límite, esto es
lim cos 5x =1
x→0
Actividad
Calcule el limite trigonométrico de
lim cos 3x
x→0
Ejemplo obtener el valor límite de
lim sen 7x
x→0
Haciendo u = 7x
se tiene un límite de la forma
lim sen u = 0
x→0
lim sen 7x = 0
x→0
Actividad
Obtenga el valor límite de
lim sen 2x
x→0
Ejemplo:
Determine el valor límite de
Lim 3 sen 4x /x
x→ 0
Al calcular el limite directamente resulta una
indeterminación de la forma 0/0 por lo cual se debe
aplicar el teorema
Lim sen u /u = 1
Considerando u = 4x , entonces x = u/4, sustituyendo 4x
y x se tiene
Lim 3 sen 4x /x =
x→0
Lim sen 3 sen u / u /4
x→0
Multiplicando extremos por extremos y medios
por medios
lim (3)(4) sen u /u
x→0
lim (12) sen u /u
x→0
=(12)(1)
=12
Actividad
Determine el valor límite de

  
→

LIMITES INFINITOS
Definición 1
Se dice que x tiende a mas infinito (x→+∞) si a
partir de un número real cualquiera, este y todos los
que siguen son mayores que cualquier número real
dado
Definición 2
Se dice que x tiende a menos infinito (x→+∞) si a a
partir de un número real cualquiera, este y todos los
que le siguen son menores que cualquier número
real dado
Definición 3
Se dice que x tiende a infinito cuando (x→∞) si
(x→+∞)(x→-∞)
Definición 4
Se dice que una función tiende a mas infinito
cuando x→ a, si cada vez a “x” se le asigna
valores cercanos a “a”, los valores de la función
son cada vez más grandes que cualquier
número real dado, esto es;
lim   = +∞
→0
Definición 5
Se dice que una función tiende a menos infinito
cuando x→ a , si cuando a “x” se le asignan valores
cada vez más cercanos a “a” , los valores de la
función son cada vez más que cualquier número real
dado esto es;
Lim f(x) = -∞
x→ a
Definición 6
Se dice que “L” es el límite de la función f(x) cuando la variable
“x” tiende a mas infinito, si cuando a “x” se le asignan valores
cada vez mayores, los valores de la función son cada vez más
cercanos a un número real “L”, esto es ;
Lim f(x) = L
x→+∞
Definición 7
Se dice que L es el límite de una función f(X) cuando la variable x
tiende a menos infinito, si cuando a “x” se le asignan valores cada
vez menores, los valores de la función son cada vez más cercanos al
número real L, esto es
Lim f(x) = L
x→ -∞
Ejemplo
Obtener el valor del límite
lim 1/x-3
x→ 3+
Construyendo la tabla de en la cual se asignan valores a x
valores cercanos a 3 por la derecha
x
3.1
3.01
3.001
3.0001
:
1/x-3
10
100
1000
10000
:
De la tabla se concluye, que a
medida que los valores de “x” se
acercan por la derecha cada vez
más a 3, los valores de la función
crecen indefinidamente por lo
tanto
lim 1/x-3 = +∞
x→ 3+
Actividad
Obtenga el valor del límite
1

→3−  − 3
Ejemplo calcular el valor del límite
1
lim− 2
→2  −4
x
1.9
1.99
1.999
1.9999
:
1/x2-4
-2.5641
-25.0626
-250.0625
-2500.0625
:
De la tabla se concluye,
que a medida que los
valores de “x” se acercan
por la izquierda cada vez
más a 2, los valores de la
función decrecen
indefinidamente, por lo
tanto;
Lim 1/x2-4 = -∞
x→ 2-
Actividad
Calcule el valor del límite

→  − 

TEOREMA
Lim k/xn = 0
X→∞
para k ∈ R y n ∈ N
Cuando el limite se tiene que x → ∞, significa que x→-∞
o que x→ +∞.
Se omite la demostración del teorema, la cual se
interpreta de la siguiente manera; cuando a “x” se le
asigna valores cada vez más grandes de forma
Se omite la demostración del teorema,
el cual se
interpreta de la siguiente manera cuando a “x” se le asignan
valores cada vez más grandes (positivos, negativos), al
elevarse a un exponente natural, los valores se hacen más
grandes, de tal manera que cuando x→∞
xn también tiende a infinito, entonces si xn → ∞ el cociente
1/xn tiende a cero y por lo tanto el límite es igual a cero
para calcular el límite de una función en la cual x → ∞, se
divide cada término de la función de la variable con mayor
exponente del denominador
Ejemplo
Calcular el límite
3 − 5
lim
→∞ 9 + 7
La variable con mayor exponente del
denominador es x; entonces dividiendo
cada termino entre x,
3 5
− 
3 − 5

lim
= lim
7
→0 9 + 7
→0 9
+


5
3− 
lim
7
→∞
9+
Simplificando
Aplicando los teoremas correspondientes y
simplificando se tiene el valor límite.
=
3−0
9−0
=
1
3
Actividad
Calcule el límite infinito
2 − 8
lim
→∞  + 5
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