ASÍNTOTAS
Definición de una asíntota
 Cuando la gráfica de una función se acerca a una recta cuando x o y
tienden a infinito, dicha recta se llama ASÍNTOTA de la función.
 No todas las funciones tienen asíntotas.
Las asíntotas de una función pueden ser:
Verticales
Horizontales
Oblicuas
Tipos de asíntotas
Asíntotas Verticales
x=c
y
y
x=c
x
x
Tipos de asíntotas
Asíntotas Horizontales
y
y=L
x
y
y = f(x)
y = f(x)
y=L
x
Tipos de asíntotas
Asíntotas Oblicuas
y
y = ax + b
x
Asíntotas verticales
La recta x = c es una asíntota vertical de una función f(x) si se cumple alguna
de las siguientes condiciones:
lim f ( x)  
x c 
Ejemplo:
lim f ( x)  
x c 
f ( x) 
1
x2
1
lim
 
x2 x  2
1
lim
 
x2 x  2
La recta x
= 2 es una asíntota vertical
lim f ( x)  
x c 
lim f ( x)  
x c 
Asíntotas horizontales
La recta x = L es una asíntota horizontal de una función f(x) si se cumple
alguna de las siguientes condiciones:
lim f ( x)  L
x  
f ( x) 
Ejemplo:
lim
x  
lim
lim f ( x)  L
x  
2x
x 1
2x
2
x 1
x  
2x
2
x 1
La recta y
= 2 es una asíntota horizontal
Asíntotas oblicuas
La recta y = ax + b es una asíntota oblicua de una función f(x) si se
cumple alguna de las siguientes condiciones:
a)
lim
f ( x)
a
x
x  
lim
f ( x)
a
x
x  
x  
b)
x  
lim ( f ( x)  ax )  b
lim ( f ( x)  ax )  b
2x2
f ( x) 
x 1
f ( x)
2x2
lim
 lim 2
2
x 
x


x
x x
Ejemplo:
2x2
lim ( f ( x)  ax)  lim (
 2 x)  2
x 
x  x  1
La recta y
= 2x+2 es una asíntota oblicua
Asíntotas de funciones racionales
Asíntotas Verticales
Una función racional tiene una asíntota vertical cuando el denominador de la
función simplificada es igual a 0.
Recuerda que se simplifica cancelando los factores comunes del numerador y
denominador.
Ejemplo 1: Calcular las asíntotas verticales
Dada la función
f x  
2  5x
2  2x
Calculamos los valores de x
que hacen 0 el denominador:
2 + 2x = 0  x = -1
La recta x = -1 es la única
asíntota vertical de la
función.
Asíntota vertical
x = -1
Ejemplo 2: Calcular las asíntotas verticales
2 x 2  10x  12
f x  
x2  9
Primero simplicamos la función.
2 x 2  10x  12 x  32 x  4

3
x  3x  3
x 9
2x  4

x 3
La(s) asíntota(s) aparecen cuando el
denominator (después de simplificar)
es igual a 0.
x–3=0  x=3
La recta vertical x = 3 es la única
asíntota vertical de esta función.
Ejemplo 3: Calcular las asíntotas verticales
x 5
g x   2
x  x6
x 5
x 5

2
x  x  6 x  2x  3
El denominador es igual a 0 cuando
x + 2 = 0  x = -2
o
x-3=0  x=3
Esta función tiene dos asíntotas
verticales, una x = -2 y la otra x = 3
Asíntotas horizontales
Las asíntotas horizontales aparecen cuando ocurre una de las siguientes
condiciones (ambas condiciones no pueden ocurrir en la misma función):
 El grado del numerador es menor que el grado del denominador. En
este caso, la asíntota es la recta horizontal y = 0.
 El grado del numerador es igual al grado del denominador. En este
caso, la asíntota es la recta horizontal y = a/b, donde a es el coeficiente
de mayor grado del numerador y b es el del denominador.
Cuando el grado del numerador es mayor que el grado del denominador la
función no tiene asíntota horizontal.
Ejemplo 4: Calcular las asíntotas horizontales
x 2  3x  5
f x  
x 3  27
Tiene una asíntota horizontal en
la recta y = 0 porque el grado del
numerador (2) es menor que el
grado del denominador (3).
x 2  3x  5
lim
0
3
x  
x  27
x 2  3x  5
lim
0
3
x  
x  27
La recta horizontal y = 0 es
la asíntota horizontal.
Ejemplo 5: Calcular las asíntotas horizontales
6 x 2  3x  5
g x   2
5x  7 x  9
El grado del numerador (2) es
igual al grado del denominador
(2), luego la recta y = 6/5 es una
asíntota horizontal.
6 x 2  3x  5 6
lim

x   5 x 2  7 x  9
5
La recta y = 6/5 es la
asíntota horizontal.
Ejemplo 6: Calcular las asíntotas horizontales
 2 x3  5x  9
f x  
x2 1
No tiene asíntotas
horizontales porque el
grado del numerador es
mayor que el grado del
denominador.
Asíntotas oblicuas
Las asíntotas oblicuas aparecen cuando el
grado del numerador es exactamente una
unidad mayor que el grado del
denominador.
Ejemplo 7: Calcular las asíntotas oblicuas
x3  2 x 2  5x  9
f x  
x2  x 1
Tiene una asíntota oblicua
porque el grado del numerador
(3) es uno más que el grado del
denominador (2).
f ( x)
x3  2 x 2  5x  9
lim
 lim
1
3
2
x 
x


x
x x x
3x 2  4 x  9
lim ( f ( x)  x)  lim
3
2
x 
x 
x  x 1
La recta y = x + 3 es
asíntota oblicua
Problemas
Calcula las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas
de las funciones:
x 2  2 x  15
f  x  2
x  7 x  10
2 x  5x  7
g  x 
x 3
2
Vertical:
x = -2
Horizontal : y = 1
Oblicua:
no tiene
Vertical:
x=3
Horizontal : no tiene
Oblicua:
y = 2x +11
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