Conjuntos de puntos en el plano complejo
Un conjunto S de puntos en el plano complejo es
cualquier colección finita o infinita de puntos en el plano
complejo. Por ejemplo las soluciones de una ecuación
cuadrática, los puntos de una línea, los puntos del interior
de un círculo, etc.
¿Qué lugares geométricos describen las siguientes ecuaciones?
  Arg z  
La ecuación Arg z=  define una semirecta infinita de pendiente
. Entonces la desigualdad anterior define un sector infinito
comprendido entre las semirectas infinitas Arg z=  y Arg z= .
  Arg( z  z o )  
(...)
1
Un conjunto de puntos S se llama abierto si cada punto de
S tiene un vecindad constituida enteramente por puntos que
pertenecen a S. Por ejemplo los puntos del interior de un
círculo o un cuadrado.
El complementario de un conjunto de puntos S es el
conjunto de todos los puntos que no pertenecen a S.
Un conjunto de puntos S se llama cerrado si su
complementario es abierto. Ej.: los puntos sobre y dentro de
un círculo o un cuadrado, puesto que sus complementarios
(los puntos exteriores al círculo o al cuadrado) son abiertos.
2
La distancia entre dos puntos z y a es |z-a|. De modo que un
círculo C de radio  y centrado en a, puede expresarse como:
|z-a| = 
y
z
¿C es abierto o cerrado?

a
y
x
En particular, el círculo de radio unidad
centrado en el origen puede escribirse
como:
|z| = 1
i
x
1
3
Los puntos dentro del círculo C vienen representados por:
|z-a| <  (un entorno abierto centrado en a).
y
0 < |z-a| <  define un entorno punteado.
z

|z-a|   define un entorno
circular cerrado centrado en a.
a
y
x
z

a
y
1
a
x
El anillo abierto de radios 1 y 2, viene
2
dado por:
x
1 < |z-a| < 2
4
(1) Determina la región en el plano complejo dada por:
|z-3-i| ≤ 4
Es la región circular cerrada de radio 4
con centro en 3+i.
y
4
3+i
x
(2) Determina las regiones: (a) |z|<1; (b) |z| ≤ 1; (c) |z| >1
(a) Círculo unidad abierto (b) Círculo unidad cerrado (c) Exterior del círculo unidad.
5
¿Qué lugar geométrico describe la siguiente ecuación?
| z  2 |  | z  2 | 5
Una elipse de focos en -2 y 2 (suma de distancias a
los focos igual a 5) con semieje mayor igual a 5/2).
Ejercicio: ¿Qué representan las
siguientes ecuaciones?
( a ) | z  a |  | z  b | c
( b ) | z  a |  | z  b | c
-2
2
( c ) | z  a |  | z  b | c
( d ) | z  a |  | z  b | c
( e ) | z  2 | Re( z )  3
6
• Un punto interior de un conjunto S es un punto para el que
podemos encontrar un entorno o vecindad cuyos puntos
pertenecen todos a S. Por ejemplo, el centro de un círculo.
• Un punto frontera de un conjunto S es un punto tal que
todo entorno alrededor de él contiene puntos que pertenecen a
S y que no pertenecen a S. Por ejemplo los puntos que forman
la frontera de un círculo.
• Si un punto no es interior ni frontera de un conjunto de
puntos S, entonces es un punto exterior a S.
• Entonces, si S es abierto no posee puntos frontera, solo
puntos interiores. Si S es cerrado posee también a sus puntos
frontera.
• Algunos conjuntos no son ni abiertos ni cerrados. Contienen
algunos puntos frontera. Por ejemplo un entorno punteado.
• El plano complejo C es abierto y cerrado a la vez. No posee
7
puntos frontera.
Conjuntos conexos
Un conjunto S se llama conexo si cualquier par de sus puntos pueden
conectarse mediante un camino formado por puntos que pertenecen a S.
Un abierto conexo se denomina dominio. P.ej.: todo entorno es un
dominio. ¿Son los siguientes conjuntos de puntos dominios?
y
Un disco abierto
y

1
2

a
Un anillo
abierto

a
x
x
y

Un cuadrado abierto
sin diagonal.
x
No existe camino entre
el triángulo inferior y el
triángulo superior.
8
• Una región es un conjunto formado por un dominio, más,
quizás, algunos o todos sus puntos frontera (Cuidado:
algunos autores usan región para indicar dominio).
• Un conjunto es acotado si todo punto de S está dentro de
algún círculo |z| = R. En caso contrario es no acotado.
• Un punto de S se dice que es de acumulación si cada
entorno punteado del mismo contiene al menos un punto de S.
Entonces, si S es cerrado contiene a todos sus puntos de
acumulación.
• Un punto no es de acumulación si existe un entorno
punteado del mismo que no contenga puntos de S. P.ej.:
Todos los puntos del conjunto S = {i/n} (n = 1,2,...) no son de
acumulación a excepción del cero.
9
Semiplanos infinitos
y
Semiplano superior: el conjunto de todos los
puntos z = x+iy tales que y > 0 o Im(z) > 0.
x
Inferior: z = x+iy tales que y < 0 o Im(z) < 0.
y
x
Derecho:
z = x+iy tales que x > 0 o Re(z) > 0.
y
x
y
Izquierdo:
z = x+iy tales que x < 0 o Re(z) < 0
x
¿Qué regiones describen?
(a) Im(z) = 0, (b) Im(z) = a,
(c) Re(z) = 0, (d) Re(z) = a
10
Funciones complejas
Sea S un conjunto de números complejos z = x+iy.
Una función f definida sobre S es una regla que asigna a
cada z en S un número complejo w llamado valor de f en z.
w = f(z)
–
–
–
z es una variable compleja.
S es el dominio de definición de f.
El conjunto de valores de la función f se llama rango de f.
Como w es complejo (w = u+i v; con u y v reales) podemos
escribir
w = f(z) = u(x,y) + i v(x,y)
–
Una función compleja f(z) es equivalente a un par de funciones
reales u(x,y) y v(x,y), cada una dependiente de dos variables
11
reales x e y.
Ejemplos: f ( z )  z
2
 ( x  iy )
Función de
variable
compleja
2
¿Cuáles son los
2
2
 ( x  y )  i ( 2 xy )
dominios de
definición de estas
funciones?
u ( x, y )
 2i( x  i y )  6( x  i y )
 (6 x  2 y )  i(2 x  6 y )
v( x, y )
w  u ( x, y )  iv( x, y )
Parte real
f ( z )  2 iz  6 z
w  f (z)
Parte imaginaria
¿Cuál es el valor de
en z  3  2 i ?
f (z)
f ( z )  (6 x  2 y )  i(2 x  6 y )
 (6  3  2  2)  i(2  3  6  2)
u ( x, y )
v( x, y )
 14  6 i
12
Ejemplos:
•
Polinomios de grado n:
P ( z )  c 0  c1 z  c 2 z  c 3 z  c 4 z    c n z
2
3
4
n
donde c0, c1...cn son constantes complejas y cn es distinto de
cero.
P(z)
• Funciones racionales (cocientes de polinomios):
Q(z)
•
Si en f(z) = u+iv, v = v(x,y) = 0, entonces f es una
función de variable compleja con valores reales. P.ej.:
f(z)= |z|2 = x2 + y2 .
13
Funciones de variable real
Representación
geométrica
cartesiana
y  f ( x)
y
f ( x)  x
2
Variable real
Asignación
x
14
Funciones de variable compleja
w  f (z)
¿Cómo representarlas geométricamente?
y
Parte imaginaria
f (  1)  (  1)  1
2
Imagen
2i
f (z)  z
2
f (1  i )  (1  i )  2 i
2
Preimagen. ¿Cuál es la otra?
1 i
Parte real
Asignación
1
1
x
15
Representación mediante dos planos: z y w.
z  x iy
f (z)  z
Plano z
Plano w
y
v
z3  1  i
z4  1
z1   2  i
w  u  iv
2
w1  3  4 i
w3  2i
x
w4  1
z2  1  2i
u
w2  3  4i
¿Cómo transforman (a) f(z)  z  c, (b) f(z)  iz, (c) f(z)  z ?
16
Transformaciones mediante funciones lineales
Existen muchas situaciones prácticas donde podemos simplificar
un problema mediante una transformación en el plano complejo.
Translación:
w  f (z)  z  c
con c  ( c1 , c 2 )
z  ( x , y )  w  ( x  c1 , y  c 2 )
Rotación alrededor del origen y alargamiento/contracción:
w  f ( z )  bz
con b  | b | (cos   i sin  )
z  r (cos   i sin  )  r | b | [cos(    )  i sin(    )]
( r ,  )  ( r | b |,    )
17
Funciones lineales
w  f ( z )  bz  c
Translación
Rotación y alargamiento/contracción
Ejemplo:
w  f ( z )  iz  ( i  1)
Esta función transforma el cuadrado A en el cuadrado B.
18
La función/transformación
f (z)  z
2
z  w  z  r [cos( 2 )  i sin( 2 )]
2
2
y
v
x
u
Observemos que la transformación no es biyectiva. Los puntos
+z y –z se transforman en el mismo w.
19
Curva en el plano z Transformación f(z)
Curva en el plano w
F ( x, y )  0
w  f (z) 
 (u , v )  0
z  z (t ) 
u ( x , y )  iv ( x , y )
u ( t )  u [ x ( t ), y ( t )]
x ( t )  iy ( t )
 u ( t )  iv ( t )
v ( t )  v [ x ( t ), y ( t )]
¿En qué curva se transforma el círculo de radio unidad
centrado en el origen a través de la función f(z)=z2?
F ( x, y )  x  y  1  0
2
u ( t )  (cos t )  (sin t )  cos( 2 t )
u ( x, y )  x  y
2
v ( t )  2 cos t sin t  sin( 2 t )
2
2
v ( x , y )  2 xy
z  z ( t )  cos t  i sin t
2
2
 ( x, y )  u  v  1  0
2
2
La imagen traza una circunferencia
dando dos vueltas.
20
f  ( z )  (1   ) z   z
2
;   [ 0 ,1]
21
22
23
¿En qué curvas se transforman rectas verticales en el
plano z a través de la función f(z)=z2 en el plano w?
xk
z  k  iy
u ( x, y )  x  y  k  y
2
2
2
2
v ( x , y )  2 xy  2 ky
2
k u
 2
2
2
v


4
k
(
u

k
)
v

y

2k 
y
La ecuación de un parábola abierta hacia la izquierda:
con vértice en (k2, 0) y foco en el origen.
Idem para rectas horizontales (pero serán parábolas
hacia la derecha):
y k
u ( x, y )  x  y  x  k
z  x  ik
v ( x , y )  2 xy  2 kx
2
2
2
2
2
u  k 
2
2
2
v

4
k
(
u

k
)
v

x
2 k 
x
24
Tomemos como dominio un rectángulo con esquinas en ±3/2±3/2i. Observa
como las líneas verticales, formadas por complejos de parte real constante, se
convierten en parábolas abiertas hacia la izquierda. Y las líneas horizontales,
formadas por números complejos de parte imaginaria constante, en parábolas
abiertas a la derecha. Observa también como los ángulos entre rectas amarillas y
rosas siguen siendo rectos: la transformación es conforme.
.
http://www.ima.umn.edu/~arnold/complex.html
Douglas N. Arnold
25
f  ( z )  (1   ) z   z
2
;   [ 0 ,1]
26
27
28
Observa que puesto
que la transformación
w = f(z) = z2 es:
u ( x, y )  x  y
2
2
v ( x , y )  2 xy
( x , y )  ( x  y , 2 xy )
2
2
Los puntos z sobre la hipérbola x2 – y2 = k se transforman en lineas u = k.
Los puntos z sobre la hipérbola 2xy = k’ se transforman en lineas v = k’.
29
2
f(z) = z
Esquema de color dependiente del valor real
Dominio
http://winnie.fit.edu/~gabdo/function.html
Rango
30
3
f(z) = z
Esquema de color dependiente del argumento
Dominio
Rango
31
Transformación w = f(z) = 1/z
En este caso la transformación si es biyectiva excluyendo al origen.
En coordenadas polares la transformación es:
( r ,  )  (1 / r ,  )
Una inversión en el círculo unidad (lo de fuera pasa adentro y al
contrario) seguida de una reflexión respecto al eje x.
Los puntos del círculo unidad permanecen invariantes.
Los círculos se convierten en círculos.
Las líneas que pasan por el origen se convierten en líneas que
pasan por el origen.
32
f(z) = 1/z
Esquema de color dependiente del argumento
Dominio
Rango
33
f(z) = 1 /z
E sq u e m a d e c o lo r d e p e n d ie n te d e l m ó d u lo
D o m in io
Rango
34
Veamos con más detalle la transformación f(z) = 1/z.
u  iv 
x
1
x  iy
u
u v
2
2
; x  iy 
; y
1
u  iv
u v
2
2
i
u v
2
2
;
2
2
a  0  ecuación
u v
2
v
v
a ( x  y )  bx  cy  d  0
2

u
(a, b, c, d   )
a  0  ecuación
de un círculo
de una recta
d ( u  v )  bu  cv  a  0
2
2
(1) a y d distintos de 0: círculos que no pasan por el centro
se transforman en círculos que no pasan por el centro.
(2) a distinto de 0 y d = 0: círculos que pasan por el centro
se transforman en rectas que no pasan por el centro.
(3) a = 0 y d distinto de 0: rectas que no pasan por el centro
se transforman en círculos que pasan por el centro.
(4) a = d = 0: rectas que pasan por el centro se transforman
en rectas que pasan por el centro.
35
Ejemplo: ¿Cuál es la imagen de la recta x = c bajo la transformación
f(z) = 1/z?
x 
u
u v
2
u v 
2
2
2
u
c
( x  c)
c 
2
 0
u
u v
2
2
1 

 1 
2
u 
  v 

2c 

 2c 
2
Es decir, un círculo de centro (1/2c, 0) que pasa por el origen.
El semiplano x > c se transforma en el interior del círculo.
36
f(z) = 1 /z
E sq u e m a d e c o lo r d e p e n d ie n te d e l a rg u m e n to
D o m in io
Rango
37
Transformaciones bilineales o de Moebius
f (z)  w 
az  b
cz  d
La transformación inversa es
también bilineal:
( ad  bc  0 , a , b , c , d  C )
f
1
(w)  z 
 dw  b
cw  a
Observemos que la transformación no está definida para z = -d/c.
Y lo mismo ocurre con w = a/c en el caso de la inversa.
El conjunto de posibles transformaciones bilineales forman un grupo.
38
¿Cómo transforma la bilineal?
d  
ad 
ad 


a z     b 

b 

az  b
c  
c  a 
c 

f (z)  w 

 
d 
cz  d
c
cz  d

c z  
c 

De modo que cualquier
ad


transformación bilineal
b 

a 
c 
puede obtenerse como
z '  cz  d


una composición de
c
z'
transformaciones lineales
1
a bc  ad 
y la transformación 1/z.
z''


z''
z'
c
c
Así que para las transformaciones bilineales transforman el conjunto de
círculos y líneas en si mismo.
39
Ejemplo: Sea a una constante compleja tal que Im(a) > 0.
Encontrar la imagen del semiplano infinito
za
w
superior bajo la transformación bilineal:
za
Consideremos primero el borde. Para los puntos z sobre el
eje x, tenemos:
|za|
| z  a | | z  a |
| w |
1
|za|
De modo que el eje x
se transforma en el
círculo unidad con
centro en el origen.
z = a se transforma en
w = 0 (un punto interior
del círculo).
La transformación es continua, y de aquí podemos deducir que
la imagen del semiplano superior es el interior del círculo.
40
La transformación de
Zhukovsky
1
w z
z
Más general:
w z
a
2
z
Nikolai Egorovich Zhukovskii (1847-1921)
(o Zhukovsky o Joukowski)
La imagen de un círculo que pasa por z = 1 o z = -1 es una curva
similar a la sección transversal de un ala de avión.
41
Límite
Una función f(z) se dice que tiene límite w0 cuando z tiende a z0, y
se escribe:
lim f ( z )  w 0
z  z0
si f está definida en un entorno de z0 (a excepción tal vez de z0 mismo) y si:
 real  > 0,  un real  > 0:  z  z0 , y |z - z0| < , entonces |f(z) - w0| < .
y
v


z0
f(z)
En general =(, z0)
w0
Si el límite existe,
es único.
z
x
u
Es decir: si dado un entorno de radio  alrededor del límite, podemos
determinar un entorno de radio (, z0) alrededor de z0.
42
Observemos que como en el caso de variable real, la definición
de límite no nos dice cómo encontrarlo.
Demostremos que:
lim ( z  i )  2 i
zi
Utilizando la notación anterior, tenemos en este caso:
f (z)  z  i
| z  z 0 | | z  i |
| f ( z )  w 0 | | ( z  i )  2 i | | z  i |
0  | z  i | 
Tomando  = ,
por ejemplo,
siempre se
cumple.
0  | z  i | 
Ejercicio: Demostrar que si el límite existe,
es único. (Nota: Suponer dos valores distintos
para el límite, aplicar definiciones y demostrar entonces
que ambos valores han de ser, a la fuerza, el mismo).
43
¿Cuál es el equivalente a límite por la derecha y por la izquierda
de variable real en el caso de variable compleja?
En el plano complejo podemos acercarnos al límite a través de
una infinidad de trayectorias. Por ejemplo:
y
f ( z )  Arg z
   Arg z   
C2
Toda vecindad de z0 contiene
valores de Arg z en el segundo
cuadrante arbitrariamente cerca
de , pero también del tercer
cuadrante arbitrariamente cerca
z0
de   . Acercándonos por C1 y por
C2 obtenemos dos valores distintos
del límite.
x
C1
44
x  x
2
Ejemplo
f (z) 
x y
i( y  y )
2

x y
Esta función no está definida para z = x+iy = 0, (x = 0, y = 0).
Veamos que no existe el límite de la función cuando z tiende a 0.
(1) Nos aproximamos al origen a lo largo del eje y. Tomando
x=0 en f(z), tenemos:
Que se aproxima a i,
a medida que nos
acercamos al origen.
i( y  y )
2
f (z)
x0

 i ( y  1)
y
(2) Tomando y=0 nos aproximamos a lo largo del eje x:
Que tiende a 1.
2
x x
Como el límite por ambos
f ( z ) y0 
 x 1
caminos no coincide, el
x
límite no existe.
45
Ejercicios:
(1) Sean: f ( z )  u ( x , y )  i v ( x , y ), z 0  x 0  iy 0 y w 0  u 0  iv 0
Entonces:
lim f ( z )  w 0 sii
z  z0
lim
( x , y ) ( x0 , y0 )
u ( x, y )  u0 y
lim
( x , y ) ( x0 , y0 )
v ( x, y )  v0
(2) Demostrar que si
lim
z  z0
f ( z )  w 0  lim | f ( z ) | | w 0 |
z  z0
Nota: Utilizar la definición de límite y la desigualdad:
| f ( z ) |  | w0 |  | f ( z )  w0 |
46
Propiedades de los límites
Sean w0 y w'0 los límites, cuando z
tiende a z0, de f(z) y g(z) respectivamente. Entonces:
lim [ f ( z )  g ( z )]  w 0  w 0
'
z  z0
lim
z  z0
f (z)
g (z)

w0
w
'
0
si w  0
'
0
lim [ f ( z )  g ( z )]  w 0  w 0
'
z  z0
Nota: Es fácil demostrar estas
propiedades a partir de u(x,y) y v(x,y).
En particular si f(z) = g(z) = z : lim z 2  w 02
z  z0
y por inducción:
lim z  w 0
n
z  z0
n
Como además:
lim c  c
z  z0
Entonces, para un polinomio P(z) = a0+a1z+...+anzn,
tendremos: lim P ( z )  P ( z 0 )
z  z0
47
Punto del infinito
•El número complejo infinito o punto del infinito,
denotado por  , no posee signo ni argumento.
•Su módulo es mayor que |z| para todo z complejo.
•¿Es un punto del plano complejo? No es localizable,
pero sí “alcanzable” a través de cualquier trayectoria
en la que |z| sea creciente.
•Se “opera” como en los reales. Por ejemlo:
z /  = 0, z/0 =  , etc.
•Cuando el plano complejo incluye al punto del infinito  ,
hablamos de plano complejo extendido.
48
Esfera de Riemann
Bernhard Riemann
(1826 - 1866)
Esfera de radio unidad centrada en
el cero del plano complejo.
Proyección estereográfica: hacemos
corresponder cada punto del plano con
un punto de la esfera como muestra la
gráfica. El polo norte N de la esfera
corresponde al punto del infinito.
49
Otra forma de la
esfera de Riemann
Ahora ya podemos definir
límites al infinito. Si
lim f ( z )  w 0
z 
para todo real  > 0,  un real
> 0: |f(z) - w0| <  para todo
z: |z|> 1/.
O:
lim
z  z0
f (z)  
si para todo real  > 0,  un real  > 0:
|f(z)| < 1/ siempre que |z - z0| < .
50
Espirales esféricas de M.C. Escher
La proyección estereográfica tiene dos
propiedades importantes: las circunferencias
siempre se transforman en circunferencias y
la transformación conserva ángulos.
| z | r  Arg( z )
Espiral de Arquímedes. Dado que    Arg z    , la ecuación
anterior solo representa una espira de la espiral.
51
52
Funciones continuas
Una función f(z) se dice que es continua en z = z0 si f(z0)
está definida en z0 y lim f ( z )  f ( z 0 )
z  z0
Decimos que f(z) es continua
en una región si es continua
en todo punto de la región.
(Nota: si en el límite  = (, z0)
no depende de z0, la continuidad
es uniforme).
Ejercicio:Las sumas, diferencias y productos de funciones
continuas son continuas. El cociente de dos funciones
continuas es continuo salvo en los puntos en que se anula el
denominador. La composición de funciones continuas es
continua. Sea f(z) = u(x,y) + iv(x,y), entonces u y v serán
continuas en todo punto en el que f(z) lo sea. Y a la inversa:
f(z) será continua en todo punto en que u(x,y) y v(x,y) lo sean.
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Ejemplo:
 z2 1

, z i
Sea: f ( z )   z  i

3i , z  i

¿Es continua f(z) en z = i? (1) f(i) = 3i está definido.
(2) Calculemos el límite de la función cuando z tiende a i:
z 1
2
lim
zi
zi
 lim
zi
( z  i )( z  i )
zi
 lim ( z  i )  2 i
zi
El límite existe pero no coincide con el valor de la función:
la función no es continua.
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Ejercicios:
(1) Demostrar que si f(z) es continua en una región cerrada y
acotada entonces es uniformemente continua.
(2) Demostrar que si f(z) es continua en una región R,
entonces la función |f(z)| también lo es.
(3) Demostrar que si se cumplen las condiciones de (2)
entonces existe M > 0 tal que |f(z)|  M para todo z de R.
Y donde la igualdad estricta es al menos válida para un
punto de R.
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Complex function revisited
Cuando definimos al principio del capítulo una función compleja,
en realidad lo hicimos para una función univaluada: a cada valor de
z le correspondía un único valor w = f(z). Por ejemplo: f(z) = z2.
Las funciones complejas pueden ser multivaluadas cuando para algún
valor de z le corresponde más de un valor de f(z), como ocurre,
por ejemplo con f(z) = √z.
Podemos considerar una función multivaluada como una colección
de funciones univaluadas. Cada miembro de esta colección se llama
una rama de la función multivaluada. Es usual tomar una de estas
ramas como la rama principal y el valor f(z) en esta rama como el
valor principal. Para el caso de funciones reales pasa algo semejante.
Por ejemplo, para f(x) = √x tendríamos dos ramas (la positiva y la
negativa). Y solemos tomar como rama principal a la positiva y como
valor principal a +√x. Pero en variable compleja hay más sutilezas...
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Puntos de Ramificación y cortes de rama
Para univaluar la raíz cuadrada de z hagamos como en el caso real,
tomando arbitrariamente una de las dos posibilidades:


r

2
z 
r     r 

2
2

f (z) 
w
 z  r 0
r
0
2
f (z)
Si giramos siguiendo un camino
continuo como muestra la figura
tendremos:
z  r 0  2 
f (z)
w
r  0 
2
¡f(z) sufre una crisis de identidad!
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Este camino continuo
no nos genera problemas.
¿Cuál es la diferencia?
Rodear el origen z = 0
parece ser lo que nos
genera la crisis.
z = 0 es en este caso un
punto de ramificación de
la función raíz cuadrada.
¿Qué ocurre si damos dos
vueltas alrededor del origen?
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Decimos que z0 es un punto de ramificación de f(z) si
el valor de f(z) no regresa a su valor original cuando
trazamos una curva cerrada alrededor de él, de manera
que f varía de forma continua a medida que recorremos
la curva.
Observación: debe ocurrir para cualquier curva alrededor
de z0 (lejana o cercana). La función no tiene por qué ser
continua o existir en z0.
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¿Cuál es la región más grande posible sin crisis de identidad?
Para todos los puntos
de la región R la raíz cuadrada
está univaluada.
Deseamos una región, lo mayor
posible, tal que no exista
posibilidad de trazar un camino
continuo y cerrado que contenga
al origen en su interior: una rama.
Región infinitesimal alrededor
del eje x positivo.
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Univaluamos la función raíz cuadrada “cortando”
el plano complejo a lo largo del eje real positivo.
A es un punto infinitesimalmente cercano
al corte por arriba. Y B por abajo. La función
es discontinua a través del corte de rama.
Cortes de rama
Rama
0    2
Nota: El corte es totalmente arbitrario.
Rama      
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Hojas y superficies de Riemann
En la superficie de Riemann la función está univaluada. Cada rama
corresponde a un piso (hoja de Riemman). Para el caso de la raíz
cuadrada: las vueltas impares “tocan arriba” y las pares “abajo”.
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Superficie de Riemann para f(z) = z1/3
f(z) = z1/n tendrá
n hojas de Riemann.
En particular si f(z)
no posee puntos
de ramificación,
la superficie de
Riemann coincide
con el plano
complejo C.
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2. Funciones