Sheyla Asís Mantilla
Alicia Berrio Mantilla
Marcela Donado Barraza
Ángela Morales Mejía
Sergio Mozo Muñoz
¿ Qué es variación?
Es el nombre que se da al estudio de los
efectos de los cambios entre cantidades
relacionadas.
VARIACIÓN DE UN INTERVALO
EN UNA FUNCIÓN
Dada la función y=f(x), se llama
variación de una función en un
intervalo I, entre x1 y x2, siendo
xI < x2, al valor de f(x2) – f(x1).
Si f(x2)-f(x1) > 0 con x1 < x2,
entonces se dice que f(x) es
creciente.
Si f(x2) - f(x1) < 0 con x1 < x2,
entonces se dice que f(x) es
decreciente.
Ejemplo
La siguiente grafica muestra la variación de la
temperatura en una ciudad durante un día.
a) Hallar la temperatura a las 5 de la
mañana.
 b) Hallar la variación de la temperatura
desde las 8 de la mañana hasta las 10 de la
mañana.
 c) Indicar si la función es creciente o
decreciente en el intervalo de las 8 de la
mañana hasta las 10 de la mañana.
 d) Encontrar una hora tal que la variación
de la temperatura entre las 6 de la mañana y
dice hora sea 10°C.
 e) Encontrar dos horas tales que la
variación de la temperatura entre ellas sea 5°C.

Solución
a) En la grafica se observa que a las 5 de la mañana la temperatura era 10°C. Esta
temperatura se expresa escribiendo t(5) = 10
b) la variación de la temperatura desde las 8 horas hasta las 10 horas fue de 5°C.
Esta variación se presenta escribiendo t(10) – t(8) = 27° - 22° = 5°
c) En el grafico se observa que, en el intervalo considerado, la función es creciente,
es decir, la variación de la temperatura es positiva.
d) En la grafica se observa que a las 6 de la mañana la temperatura era de 15°C, y
que una variación de temperatura de 10°C se obtiene a las 9 de la mañana pues a
dicha hora la temperatura era de 25°C.
e) La grafica muestra que entre las 15 horas y las 17 horas la variación fue de -5°C.
Es decir t(17) – t(15) = 15 – 20 = -5. En este intervalo la función es decreciente.
VARIACIÓN MEDIA DE UNA
FUNCIÓN
Se llama variación
media de una función
y = f(x) en un
intervalo [ a, b], al
Δ
cociente , definido
Δ
así:
Δ
Δ
f(b) − f(a)
=
b−a
Ejemplo
Un vehículo realiza un recorrido entre dos
ciudades distantes entre si 500 km. A los
100 km del punto de partida, modifica su
velocidad, manteniéndola hasta los 450 km
del recorrido. Los últimos 50 km, el
vehículo disminuye la velocidad.

La siguiente grafica muestra la variación
de la distancia del vehículo a medida que
transcurre el tiempo.

a) Hallar la variación de la distancia entre las
3 y cinco horas.

b) Hallar la variación de la distancia entre las
6 y 10 horas.

c) ¿ Varia la distancia con la misma rapidez?

d) Hallar la variación media en los intervalos
[3,5] y [6,10].
Solución
a) la variación de la distancia entre las 3 y 5
horas se puede calcular así:
d(5) – d(3) = 330 – 100 = 230 km
b) Entre las 6 y 10 horas la variación de la
distancia es:
d(10) – d(6) = 500 – 450 = 50 km
c) La grafica muestra que la distancia no ha variado con la
misma rapidez.
d) Para calcular la variación media en cada intervalos, se
utiliza el concepto anotado anteriormente.
Entre 3 y 5:
Δ d(5) – d(3) 330 – 100 230
= 5–3 =
=
= 115 km/h
2
2
Δ
Entre 6 y 10:
Δ d(10) – d(6)
500 – 450
=
=
= 12.5 km/h
Δ
10 – 6
4
Velocidad media
Δ
Δ
corresponde al
cambio de la
distancia con
respecto al tiempo.

Si s(t) corresponde a posición de
un objeto en el tiempo t al
moverse sobre una curva,
entonces la velocidad media del
objeto en el intervalo [t1,t2] es

_

V=
Δ
Δ
s(t2) – s(t1)
=
t2 – t1
Ejemplo
La función de una partícula es s(t) = 4 –  2 .
Hallar la razón media de cambio de esta partícula en el intervalo
[ 0, 1]
La razón media de cambio de una partícula corresponde a la
velocidad media.
_
s(1) – s(0)
Δ
V= =
=-1
Δ
1−0
Luego la razón media de cambio en el intervalo [0,1] es
–
V = -1
VARIACIÓN INSTANTÁNEA DE
UNA FUNCIÓN
Para conocer la variación instantánea de
una función en un instante dado, se de be
considerar ∆ cada vez mas pequeño. Por
tanto, si se halla el limite de la variación
media cuando ∆ tiende a cero, se obtiene
la variación instantánea de una función.
Entonces la variación instantánea de una función
f(b) – f(a)
Δ
y = f (x) es: lim
= lim
−
∆ −0 Δ
b−a
Ejemplo
Al soltar un objeto desde una altura de 100
metros, su altura en el instante t está dada
por la expresión f(t) = -16 2 + 100, con f(t)
medido en metros y t en segundos.
Determinar:
a) como varia la altura en el instante t = 2.
b) la variación instantánea en t = 2
Solución
a) para saber como varia la altura, se
pueden considerar distintos intervalos que
incluyan t = 2
 En el intervalo [2, 3]: la variación media en
dicho intervalo es:
Δ
Δ
80
f(b) – f(a) f(3) – f(2) −44 − 36
=
=
=
=b−a
1
3–2

b) Para conocer la variación instantánea en t = 2,
se calcula el limite de la variación media en el
intervalo [2, 2 + ∆], donde ∆ es un valor muy
pequeño.
Δ
lim
∆−0 Δ
=
  −()
 2+∆ −(2)
lim
=
−
2+∆−2
−
Δ
−16 2 + ∆ 2 + 100 − 36
lim
= lim
∆−0 Δ
∆−0
∆
Δ
lim
∆−0 Δ
=
−16∆ (4+∆)
lim
∆
∆−0
= -64
Luego la variación instantánea en el momento t = 2
es -64 m/s
Velocidad instantánea
Si s(t) corresponde a la función de
posición de un objeto en movimiento
rectilíneo, la velocidad del objeto en el
instante t o velocidad instantánea vi,
en t, viene dada por:
vi =
Δ
 +∆ −()
lim = lim
∆
∆−0 Δ ∆−0
La rapidez corresponde al
valor absoluto de la velocidad,
e indica lo rápido que se
mueve un objeto, sin importar
la dirección.
Ejemplo
La función de posición de una partícula que se
mueve en línea recta está dada por la función s(t) =
2 2 + 1, s medida en metros y t medido en
segundos. Hallar la velocidad instantánea de la
partícula para los siguientes instantes de tiempo:
a) T = 1
b) T = 3
c) T = 5
d) T = 10
Luego, representar gráficamente la situación.
Solución
Por la definición de velocidad instantánea
Vi = =
 +∆ −()
lim
∆
∆−0
Vi =
2 + ∆ 2 +1 −(2 2 +1)
lim
∆
∆−0
Vi = lim
∆
2 2 +4∆+2∆ 2 +1−2 2 −1
lim
∆
∆→0
∆→0
=
2  2 +2∆+ ∆ 2 +1 −2 2 − 1
=
4∆+2∆ 2
lim
∆
∆→0
= lim
=
∆(4+2∆)
lim
∆
∆→0
4 + 2∆ = 4
∆→0
A partir del proceso anterior, se determina la
función de velocidad instantánea Vi
Así,Vi = 4t. Luego,
a. Vi t = 1 = 4(1) = 4 m/s
b. Vi para el instante t = 3 viene dada por:
Vi t = 3 = 4(3) = 12 m/s
c. Vi t = 5 = 4(5) = 20 m/s
d. Vi t = 10 = 4(10) = 40 m/s
La gráfica de s(t) =
2 2 + 1 y la recta que
representa su
velocidad instantánea
se muestra a la
derecha.
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