Funciones
Continuidad de una función
Tipos de discontinuidad
Funciones definidas a trozos
Continuidad de Funciones
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Una función f(x) es continua en un punto x = a
si cumple:
1. Existe f(a)
lim  f ( x)  lim f ( x)   lim f ( x)
2. Existe x
a
x a
x a 
lim f ( x)
3. Se cumple que f(a) = x
a
Si una función no cumple alguna de estas condiciones, decimos
que la función es discontinua en x = a
Continuidad de Funciones
Ejemplo: Estudiar la continuidad de la función
2 1
x
f (x) 
x2
Estudiemos
Tenemos
como
queno
el se
dominio
cumple
delaladefinición
función es
deR-{2},
continuidad
por lo tanto
y quex tipo
=2
de discontinuidad
será una punto
tenemos.
de discontinuidad.
No se puede
dividir por 0
Evidentemente no existe f(2)
Calculamos los limites a la izquierda y derecha de x=2
2
lim x  1  5   
x 2  x  2 0
2
lim x  1  5  
x 2  x  2 0
Númerosson
muydistintos
pequeñostenemos una función
Como los límites izquierda y derecha
pero negativos:
Números muy pequeños
discontinua en x = 2 de 1ª especie
con salto infinito
1,90 – 2 = - 0,1
1,99 – 2 = - 0,01
Continuidad de Funciones
pero positivos:
2,1 - 2 = 0,1
2,01 - 2 = 0,01
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Veamos la gráfica de la función:
2 1
x
f (x) 
x2
Cuando me acerco a 2+
la función va hacia +∞
Cuando me acerco a 2-
Aquí tendremos
la función va hacia -∞
Una Asíntota vertical
De ecuación x=2
Continuidad de Funciones
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Veamos el siguiente ejemplo con una función
definida a trozos:









5
x2
f ( x)  x 2  6 x  10 2  x  5
4 x  15
x 5
Aquí tenemos una parábola.
Siempre es continua en su
intervalo de definición.
Aquí tenemos una recta
Asíparalela
que soloalprocederemos
a estudiar la continuidad en los
horizontal,
eje de
x = 2 es
y x = 5 . Que
los puntos
donde puede ocurrir
abcisas casos
X. Siempre
Aquíson
tenemos
una recta.
respecto
aSiempre
la continuidad
continuaalgún
en sucambio
intervalo
de
es continua en su
definición.
intervalo de definición.
Continuidad de Funciones
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Si nos fijamos en la gráfica de esta función
veremos que:
Continuidad de Funciones
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Estudiamos analíticamente el caso de x = 2
f (2)  5
lim 5  5
x 2 
lim x 2  6 x  10  2
x 2 









5
x2
f ( x)  x 2  6 x  10 2  x  5
4 x  15
x 5
Como tenemos que el limite por la izquierda y el limite por la derecha en
x=2 son distintos tenemos que f(x) es discontinua de 1ª especie en x =2,
donde se produce un salto de 3 unidades.
Continuidad de Funciones
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Estudiamos analíticamente el caso de x = 5
f (5)  5
lim x 2  6 x  10  5
x 5
lim 4 x  15  5
x 5









5
x2
f ( x)  x 2  6 x  10 2  x  5
4 x  15
x 5
Como tenemos que el limite por la izquierda y el limite por la derecha en
x=5 son iguales tenemos que f(x) continua de en x = 5
Continuidad de Funciones
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Veamos algún caso con una discontinuidad del
tipo “Evitable”
2  3x  2
x
f (x) 
x 1
Tenemos que Dominio de f = R - { 1 }
Solo tendríamos que estudiar el caso x = 1
1. f(1) no existe ya que x = 1 no está en el dominio
2.
x 2  3x  2  0  lim x 1 x  2  lim x  2  1
 


x 1
x 1
0 x 1
x 1
x 1
lim
x 1  x  2 
2  3x  2 0

x
lim
  lim
 lim x  2  1



x 1
x 1
0 x 1
x 1
x 1
 lim f ( x )
x1
Continuidad de Funciones

f (1) q u e n o existe
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Veamos ahora la gráfica de la función
Tenemos un agujero para x = 1
Continuidad de Funciones
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Otro ejemplo de una función con discontinuidad
“de 1ª Especie con salto ∞”
2
f ( x )  x  3x  2
x3
Tenemos que Dominio de f = R - { 3 }
Solo tendríamos que estudiar el caso x = 3
1. f (3) no existe ya que x = 3 no está en el dominio
2.
2
x2  3x  2
lim

 

x3
0
x  3
2
x2  3x  2
lim



x3

0
x 3
f(x) es discontinua de 1ª especie con
Salto infinito
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Veamos ahora la gráfica de la función
Continuidad de Funciones
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