Departamento de Control, División de Ingeniería Eléctrica
Facultad de Ingeniería UNAM
Análisis de error en estado
estacionario
México D.F. a 18 de Septiembre de 2006
Análisis de error en estado estacionario
Si en la etapa en estado estable la salida es diferente al valor deseado, se
dice que existe un error en estado estacionario, este error depende
del tipo de sistema de control (en forma específica de la función de
transferencia de lazo abierto) y de la señal de entrada.
Otra clasificación de los sistemas de control: (Tipo)
Se clasifican de acuerdo a su capacidad de seguir entradas escalón,
rampa, parabólicas y otras. Las entradas reales se suelen considerar
como una combinación de ellas. Los valores de los errores estacionarios
debidos a esas entradas individuales son indicativos del desempeño del
sistema.
Análisis de error en estado estacionario
Considere la siguiente función de transferencia de lazo abierto:
G (s)H (s) 
K (T a s  1)( T b s  1)  (T m s  1)
s (T1 s  1)( T 2 s  1)  (T p s  1)
N
El esquema de clasificación está basado en la cantidad de integraciones
indicadas por la función de transferencia de lazo abierto ( ver s N )
Así:
si N=0, el sistema se denomina tipo cero,
si N=1, el sistema se denomina tipo uno, y así sucesivamente.
Comentarios:
1. Esta clasificación es diferente e independiente a la del orden del sistema.
2. Al aumentar el número del tipo, disminuye el error en estado estable.
3. Al aumentar el número del tipo, empeora el problema de estabilidad.
Análisis de error en estado estacionario
Errores en estado estacionario:
Se considera el siguiente sistema de lazo cerrado
R (s)
C (s)
E (s)
+
G (s)
B (s)
H (s)
la señal de error E(s) en Laplace es
E (s) 
1
1  G (s)H (s)
R (s)
utilizando el teorema del valor final podemos encontrar el valor final de la
señal de error
sR ( s )
e es  lim e ( t )  lim sE ( s )  lim
t 
s 0
s 0 1  G ( s) H ( s)
Análisis de error en estado estacionario
Errores en estado estacionario:
De la ecuación se observa que el valor del error depende tanto del sistema
como del tipo de entrada. Se acostumbra definir el error en coeficientes de
error estáticos, dependiendo del tipo de entrada.
Constante K P de error estático de velocidad.
El error estacionario del sistema, para una entrada escalón unitario, es
e es  lim
s
s 0 1 
1
G (s)H (s) s

1
1  G (0) H (0)
la constante K P se define como:
K P  lim G ( s ) H ( s )  G ( 0 ) H ( 0 )
s 0
Análisis de error en estado estacionario
Errores en estado estacionario:
así el error estático en términos de la constante K P es
e es 
1
1 KP
Para un sistema tipo 0
K P  lim
s 0
K (T a s  1)( T b s  1) 
(T1 s  1)( T 2 s  1) 
 K
e es 
1
1 K
Para un sistema tipo 1 o superior
K P  lim
s 0
K (T a s  1)( Tb s  1) 
N
s (T1 s  1)( T 2 s  1) 

e es  0
Análisis de error en estado estacionario
Errores en estado estacionario:
Constante K v de error estático de velocidad.
El error estacionario del sistema, para una entrada rampa unitaria, es
e ss  lim
s
s 0 1 
1
G (s)H (s) s
2
 lim
s 0
1
sG ( s ) H ( s )
La constante K v se define como
K V  lim sG ( s ) H ( s )
s 0
así el error estático en términos de la constante K v es
e es 
1
KV
Análisis de error en estado estacionario
Errores en estado estacionario:
Para un sistema tipo 0
K V  lim
s 0
sK (T a s  1)( T b s  1) 
(T1 s  1)( T 2 s  1) 
0
1
e es 

KV
Para un sistema tipo 1
K V  lim
s 0
sK (T a s  1)( T b s  1) 
s (T1 s  1)( T 2 s  1) 
 K
e es 
1

KV
K
Para un sistema tipo 2 o superior
K V  lim
s 0
K (T a s  1)( Tb s  1) 
N
s (T1 s  1)( T 2 s  1) 

e es 
1
KV
1
0
Análisis de error en estado estacionario
Errores en estado estacionario:
Error en estado estacionario en términos de la ganancia K
Entrada escalón Entrada rampa
r (t )  1
1
Sistema tipo 0
Sistema tipo 1
1 K
0
r (t )  t
Entrada aceleración
r (t )  t


1

K
2
Sistema tipo 2
0
0
K
2
Departamento de Control, División de Ingeniería Eléctrica
Facultad de Ingeniería UNAM
Sistemas de orden superior
México D.F. a 18 de Septiembre de 2006
Sistemas de orden superior
La soluciones analíticas que describen las respuestas transitorias de los
sistemas de orden superior son complejas
Sin embargo, casi siempre es posible representar la respuesta transitoria de
un sistema de alto orden por medio de un modelo de orden inferior
Por ejemplo, la respuesta transitoria ante un escalón del sistema de cuarto
orden
136
G (s)  4
3
2
s  18 s  87 s  70 s  136
Para fines prácticos puede ser representada por el sistema de segundo orden
G (s) 
1 .6
2
s  0 .5 s  1 .6
Se verificará lo anterior utilizando Matlab
Sistemas de orden superior
Dependiendo de los requerimientos de exactitud y simplicidad, es posible
aceptar o no el modelo reducido, con el fin de realizar los cálculos analíticos
para el control del sistema original. Lógicamente, trabajar con el modelo
reducido es más sencillo y económico, siempre y cuando la pérdida de
exactitud no sea relevante.
Respuesta transitoria de los sistemas de orden superior
La función de transferencia de un sistema de lazo cerrado es
C (s)

K ( s  z1 )( s  z 2 )  ( s  z m )
( s  p1 )( s  p1 )  ( s  p n )
R (s)
A contiinuación se analiza el comportamiento de respuesta de este sistema
ante una entrada escalón unitario. La ecuación se reescribe como
C (s) 
a
s
q
 
j 1 s
aj
 pj
r
 
bk ( s   k  k )  c k  k 1   k
k 1
2
s  2 k  k s 
2
2
k
(q  2r  n)
Sistemas de orden superior
En la ecuación anterior, pueden existir polos múltiples, tanto de primer como
de segundo orden. Se observa que la respuesta del sistema de orden
superior se compone de la suma de respuestas de sistemas de primer y
segundo orden. La respuesta en el tiempo es
q
c (t )  a   a j e
j 1
 p jt
r
  bk e
k 1
 k  k t
cos  k 1  
2
k t
r
  ck e
k 1
 k  k t
sen  k 1   k t
2
Entonces la respuesta de un sistema estable de orden superior es la suma de
una combinación de curvas exponenciales (primer orden) y sinusoidales
amortiguadas (segundo orden).
Si el sistema es estable, el valor final es c (  )  a
Es importante comentar que los polos de lazo cerrado dan valor a los
términos esponenciales y/o sinusoidales amortiguados, mientras que los
ceros de lazo cerrado afectan la magnitud y signo de los residuos.
Sistemas de orden superior
¿Porqué un modelo de orden inferior es capaz de representar un sistema
de alto orden?
Ya se dijo que la respuesta transitoria de un sistema de orden superior está
compuesta de una combinación de términos de respuestas de primer y
segundo orden
Ahora bien, el efecto de cada uno de estos términos sobre la respuesta total
no es el mismo, dependen de las partes reales de los polos de lazo cerrado
( p j o´  k  k ) como del valor de los residuos ( a j , b k , c k ) .
Los polos que tienen parte real más negativa tienen residuos generalmente
pequeños, además duran un tiempo muy corto. Por consiguiente contribuyen
poco a la respuesta transitoria. Si se desprecian estos efectos, el sistema de
orden superior se aproxima mediante uno de orden inferior.
Por otra parte, los polos más cercanos a eje jw, tienen respuestas transitorias
que disminuyen más lentamente y dominan el comportamiento de la
transitoria total. Se denominan polos dominantes de lazo cerrado.
Sistemas de orden superior
En el caso del ejemplo, el sistema en lazo cerrado
136
G (s)  4
3
2
s  18 s  87 s  70 s  136
Tiene los siguientes polos de lazo cerrado
-9.1543
Sus efectos son de corta duración (se desprecian)
-8.3369
-0.2544+1.3105i
Polos dominantes de lazo cerrado
-0.2544-1.3105i


Mientras que el sistema de segundo orden
1 .6
G (s)  2
s  0 .5 s  1 .6
-0.2500 + 1.2400i
Polos de lazo cerrado
-0.2500 - 1.2400i

Sistemas de orden superior
Con el comando: step([136],[1 18 87 70 136])
Se obtiene la gráfica de la respuesta transitoria del sistema de cuarto orden
Step Response
From: U(1)
Amplitude
To: Y(1)
1.6
1.4
1.2
Step
From:Response
U(1)
0.6
To: Y(1)
Amplitude
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
Time (sec.)
15
20
25
Sistemas de orden superior
step([1.6],[1 0.5 1.6])
Ingresando los comandos: hold on y
Se retiene la gráfica anterior y se obtiene la respuesta del modelo reducido
Step Response
From: U(1)
1.6
1.4
1.2
To: Y(1)
Amplitude
1
0.8
0.6
Sistema original 4 orden
0.4
Sistema segundo orden
0.2
0
0
5
10
Time (sec.)
15
20
25
Sistemas de orden superior
Nota de ejemplo:
Aunque la ganancia de 1.6 en el sistema de segundo orden no hace que los
polos de lazo cerrado, sean los mismos que los polos dominantes de lazo
cerrado del sistema de alto orden, la aproximación es suficiente para
considerarlo como útil. (vease a las figuras del ejemplo).
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