Tema:
11
Funciones: límites y continuidad
1
Algoritmo 2001 - Matemáticas I
Límites de sucesiones
En la medida en que n toma valores cada vez mayores, ¿a quién se acerca an?
n
10
an =
1
n
0 ,1
n
100
0 ,0 1
10
1000
0 ,0 01
100
2n
1 ,3 3 .. 1 ,9 8 …
an =
n+1
n
1
2
an = n +1
n
10
2
101
1
2
a n = -n + 1
0
10
-9 9
1 0 0 00
1 0 0 00 0
0 ,0 00 1
1 0 0 00
….

+
0 ,0 00 0 1
….

0
1 0 0 00 0 0
….

+
1 ,9 99 …
1 ,9 99 9 ..
….

2
100
1000
….

+
1 0 0 01
1 0 0 00 0 1
100
1000
-9 9 9 9
-9 9 9 9 9 9
….
….
….



+
lim
1
=0
n
lim
2n
= 2
n+ 1
2
lim (n + 1)= +
+
-
2
lim (-n + 1)= -
IMAGEN FINAL
Tema:
11
Funciones: límites y continuidad
Algoritmo 2001 - Matemáticas I
2
Representación de los términos de la sucesión an = 1/n
a1
1
0,9
0,8
0,7
0,6
a2
0,5
a3
0,4
a50
a20
0,3
a96
0,2
0,1
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
IMAGEN FINAL
100
Tema:
11
Funciones: límites y continuidad
Algoritmo 2001 - Matemáticas I
3
Representación de los términos de la sucesión an = 2n/(n + 1)
2,1
2
1,9
a96
a50
a20
1,8
1,7
1,6
a3
1,5
1,4
a2
1,3
1,2
a1
1,1
1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
IMAGEN FINAL
100
Tema:
11
Funciones: límites y continuidad
Algoritmo 2001 - Matemáticas I
4
Representación de los términos de la sucesión an = n2 + 1
10000
9500
9000
8500
8000
7500
7000
6500
6000
a50
5500
5000
a90
4500
4000
3500
3000
a20
a5
2500
2000
1500
1000
500
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
IMAGEN FINAL
Tema:
11
Funciones: límites y continuidad
Algoritmo 2001 - Matemáticas I
5
Representación de los términos de la sucesión an = -n2 + 1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
-1
-501
-1001
-1501
-2001
-2501
-3001
a5
a20
-3501
-4001
-4501
-5001
-5501
-6001
a50
a90
-6501
-7001
-7501
-8001
-8501
-9001
-9501
-10001
IMAGEN FINAL
Tema:
11
Funciones: límites y continuidad
Algoritmo 2001 - Matemáticas I
6
Representación de los términos de la sucesión an = (-1)n . n2
2500
2000
Esta sucesión no tiene límite
1500
a10
1000
500
a44
a1
0
-500 0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
-1000
-1500
-2000
a23
-2500
IMAGEN FINAL
Tema:
11
Funciones: límites y continuidad
Algoritmo 2001 - Matemáticas I
7
El número e
n

1

1
+ 
n
10
1 00
1 000
1 000 0
1 000 00
….

+
….

e
n
2,5937424601 2,7048138294 22 2,7169239322 36 2,7181459268 25 2,7182682371 92
lim


1

+
1 
n 
n
= e
IMAGEN FINAL
Tema:
11
Funciones: límites y continuidad
Algoritmo 2001 - Matemáticas I
8
Representación de los términos de la sucesión an = (1+1/n)n
2,8
2,7
a20
2,5
2,4
a96
a50
2,6
a3
2,3
a2
2,2
2,1
2
a1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
IMAGEN FINAL
Tema:
11
Funciones: límites y continuidad
Algoritmo 2001 - Matemáticas I
9
Límites de funciones en un punto
En la medida en que x toma valores cada vez más próximos a “a”,
¿a quién se acerca f(x)?
x
2
f(x ) = x
x
f(x) = x
2
1
1
1 ,9
3 ,6
1 ,9 9
3 ,9 6
….
….
1 ,9 99
3 ,9 96
-


2
2
4
lim x = 4
x 2
-
+
3
2 ,1
2 ,0 1
2 ,0 01
….

2
9
4,4
4,04
4,004
….

4
2
lim x = 4
x 2+
-
x
1
1 ,9
1 ,9 9
1 ,9 99
….

2
f(x ) = E n t(x )
1
1
1
1
….

1
x
3
2 ,1
2 ,0 1
2 ,0 01
….

2
f(x ) = E n t(x )
3
2
2
2
….

2
lim E nt(x) = 1
x 2
-
+
lim E nt(x) = 1
x 2+
IMAGEN FINAL
Tema:
11
Funciones: límites y continuidad
Algoritmo 2001 - Matemáticas I
10
Límites de funciones en el infinito
En la medida en que x se hace muy grande, con valores positivos ¿a quién se acerca f(x)?
x
f(x ) = x
2
10
100
1000
….

+
lim x = + 
1
100
1 0 0 00
1 0 0 00 0 0
….

+
x 
x
f(x ) =
2
1
x + 1
x
1
10
100
1000
….

+
2
1 ,1
1 ,0 1
1 ,0 01
….

1
x+ 1
lim
= 1
x
x +
En la medida en que x se hace muy grande, con valores negativos ¿a quién se acerca f(x)?
x
f(x ) = x
-1 0
-1 0 0
-1 0 00
….

-
lim x = + 
1
100
1 0 0 00
1 0 0 00 0 0
….

+
x  -
2
x
f(x ) =
2
-1
x + 1
x
-1
-1 0
-1 0 0
-1 0 00
….

-
0
0 ,9
0 ,9 9
0 ,9 99
….

1
x+ 1
lim
= 1
x
x - 
IMAGEN FINAL
Tema:
11
Funciones: límites y continuidad
11
Algoritmo 2001 - Matemáticas I
Significado geométrico del límite finito de una función, para x  + 
10
x + 1
y=
x -1
8
6
x+ 1
lim
= 1
x-1
x +
4
2
-
4
-
2
2
4
6
8
10
IMAGEN FINAL
Tema:
11
Funciones: límites y continuidad
12
Algoritmo 2001 - Matemáticas I
Significado geométrico del límite infinito de una función para x
tendiendo a un número real
10
x + 1
y=
x -1
8
6
x + 1
lim
= +
x - 1
4
x 
2
-
4
-
2
2
4
6
8
10
IMAGEN FINAL
Tema:
11
Funciones: límites y continuidad
Algoritmo 2001 - Matemáticas I
13
Cálculo de límites (I)
4
x + 1
lim
=
= 2
x -1
2

x 
No hay indeterminación
x+ 1
lim
= + 
x - 1
x 
x+ 1
lim
=
x-1

x 
k
Indet
0

x+ 1
lim
= -
x - 1
x 
1
1 +
x + 1
x
lim
= lim
=
x -1
1
x 
1 x
x 

Indet

1
IMAGEN FINAL
Tema:
11
Funciones: límites y continuidad
14
Algoritmo 2001 - Matemáticas I
Cálculo de límites (II)

1
1 +
x + 1
x
lim
= lim
=
x -1
1
x 
1 x
x 

Indet

2

x -1
lim
=
x-1
x 
0
In d et
0
1
(x - 1)(x + 1 )
lim
=
x-1
2
x 
IMAGEN FINAL
Tema:
11
Funciones: límites y continuidad
Algoritmo 2001 - Matemáticas I
15
Cálculo de límites (III)

lim
x
1-
x  
0
In d et
0
2
1-x
= lim
x(1 +
(1 -
x  
x + x
 lim
= lim
x
x   
x   
1 - x)
1 - x) (1 +
1
1 +
x
=
1
1 - x)
= lim ( 1 +
1 - x) =
x  
1

In d et

1
2
12
x -x
x
x + x
= lim
=
 lim
= lim
-x
-1
x
x   
x   
x   

In d et

-1
IMAGEN FINAL
2
Tema:
11
Funciones: límites y continuidad
16
Algoritmo 2001 - Matemáticas I
Límites de funciones trigonométricas
sen x
. S e p o n e la calcu lad o ra en m o d o R ad p ara co n stru ir las sigu ien tes t ab las.
x
x 0
E stu d io d el lim
x
sen x
x
0 ,1
0 ,0 1
0,9983341664 68 0,9999833334 16
0 ,0 01
0 ,0 00 1
0 ,0 00 0 1
0 ,0 00 0 00 1
0,9999998333 33
0,9999999983 33
0,9999999999 8
0,9999999999 99
sen x
L o s resultad o s sugieren q ue lim
=1
x
+
x 0
x
sen x
x
- 0 ’1
- 0 ’01
0,9983341664 68 0,9999833334 16
- 0 ’00 1
- 0 ’00 0 1
- 0 ’00 0 01
- 0 ’00 0 00 0 1
0,9999998333 33
0,9999999983 33
0,9999999999 8
0,9999999999 99
sen x
=1
x
x 0
L os resultados sugieren que lim
IMAGEN FINAL
sen x
=1
x
x 0
E n co nsecuencia: lim
Tema:
11
Funciones: límites y continuidad
17
Algoritmo 2001 - Matemáticas I
sen x
E l lim
geo m étricam en te
x
x 0
1
• La función no está
definida en 0.
• Pero está definida en
las proximidades del
punto 0
0.8
0.6
0.4
0.2
- 10
-5
5
10
- 0.2
IMAGEN FINAL
Tema:
11
Funciones: límites y continuidad
Algoritmo 2001 - Matemáticas I
18
Continuidad en un punto
Gráfica de la función f (x) =
 x+ 1 si x  0

 x - 1 si x > 0
Y
x + 1 si x  0
x - 1 si x >0
1
-1
1
X
-1
 lim f(x) = lim (x - 1 ) =
+
+
x 0
x 0
-1
 lim f(x) = lim (x + 1 ) =
x 0
x 0
1
 f(0) = 1
f(x) no es continua en el punto xo = 0
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Tema 11. Funciones: Límites y continuidad