LIMITES

Imagínate que sufres una pesadilla
(por tanto estudiar matemática) en la
que te encuentras cerca de una
puerta. Decides abrirla, así que te
acercas. Te das cuenta que estas
cada vez más cerca, pero no alcanzas
a tocar el picaporte. Corres tratando
de llegar, mas, siempre hay espacio
entre tu mano y ese picaporte, no
importa cuanto lo intentes. Esa
"pesadilla" tiene nombre matemático
"límite
Introducción
El concepto de límite es un concepto
central en el desarrollo y aplicaciones del
cálculo.
Este concepto involucra el entender el
comportamiento de una función cuando la
variable independiente está "muy cerca"
de un número "a" pero sin llegar a tomar
ese valor.
Si tomamos una cantidad variable x a la cual se le asignan
los valores siguientes, se forma una sucesión de
números crecientes:
1, 2, 3, 3.5, 3.9,3.99,3.999, 3.9999, …..
La misma variable puede tomar los valores decrecientes:
5,4.2,4.1, 4.01,4.001,4.0001, …..
Observando los ejemplos,
Aceptamos que la variable x tiende a una constante a , en
este caso 4, como un límite. Se dice que se aproxima al
límite 4, que x tiende a 4, y esto se representa:
x→4
o lim x =4
Noción intuitiva de límite

Veamos el
comportamiento de
una función cuando
los valores de la
variable
independiente estén
muy cerca de un
número especificado
que llamaremos
"a".
x2
f(x)=
con a=2.
Por la izquierda
x
f(x)
Por la derecha
x
f(x)
1.75 3.06 2.25 5.06
1.94 3.75 2.06 4.24
1.98 3.92 2.02 4.08
1.99 3.96 2.01 4.04
2.00 4.00 2.00 4.00
¿Se acercan los valores de la función a algún número en particular (uno sólo)?
Se dice que ese número al que se acerca la función, llamémosle L, es el "Límite
de f(x) cuando x tiende al número a".
Observación importante: En ningún
momento nos interesamos por el valor de
f(x) cuando x=a, es decir, el número f(a).
Lo único que nos interesa son los valores
de la función cuando x está "muy cerca"
de a pero x es diferente de a.
Concepto de Límite
Cuando una variable x se aproxima cada vez
más y más a una constante a, de tal
manera que la diferencia x-a, en valor
absoluto, puede ser tan pequeña como se
quiera, se dice que la constante a es el
límite de la variable x
Se expresa x → a
o lim x = a
Limites laterales
y = 4 + x.
al darle valores a x obtenemos "esos" números que se
acercan a 4 por derecha e izquierda.
x
Y=4+x
x
Y=4+x
-0.1
-0.01
3.9
3.99
0.1
4.1
0.01
4.01
0.001
4.001
-0.001 3.999
-0.0001 3.9999
Por izquierda
0.0001 4.0001
Por derecha
Límites laterales

Definición de límite
por la izquierda
Se dice que

Definición de límite
por la derecha
Se dice que
No siempre los límites son iguales, vamos:
Determinar los límites, en los puntos de
discontinuidad, de la función definida por
El punto de
discontinuidad se
presenta cuando
x=1
Luego:
Como los dos limites son
diferentes, se dice que
no hay límite
En el caso:
Si hay valor en el límite
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