MATH 112
Lección 11
Capítulo 5 Sec. 5.5
Solución de Ecuaciones Racionales
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1
Ecuaciones Racionales
• Una ecuación racional o fraccional es una
ecuación conteniendo uno o mas
expresiones racionales.
• Para resolver una ecuación racional, el
primer paso es despejar la ecuación de las
fracciones.
– Para hacer esto, multiplicamos en ambos lados
de la ecuación por el mínimo común múltiplo
(LCM) de todos los denominadores.
– Luego llevamos a cabo el proceso de resolver
ecuaciones.
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2
Ecuaciones Racionales
2
1. Resuelva:
2
3

5
6


3
1
x
2 5 1
6x     
3 6 x

6x

2  2  x  5  x  1 6
4x  5x  6
x6
x  6
5
6

1
x
Encontramos el LCM de 3, 6 y x.
Encontramos que el LCM = 6 ∙ x =
6x ; ya que el 3 es un múltiplo del 6.
Multiplicamos por 6x en ambos
lados para despejar las fracciones
y resolvemos.
Si hacemos la verificación sustituyendo
en la ecuación original la variable x por
-6, encontramos que la ecuación
verifica.
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3
Ecuaciones Racionales
• Cuando multiplicamos en ambos lados de una
ecuación por un LCM, la ecuación resultante
puede resultar en números que no son solución
de la ecuación original. Por lo tanto, siempre
tenemos que verificar posible soluciones en la
ecuación original.
1. Si usted llevo a cabo todos los procedimientos
algebraicos correctamente, solamente lo que
tiene que verificar si un número hace un
denominador 0 en la ecuación original.
2. Para estar seguro que errores de cómputos no
se han hecho y que realmente tiene una
solución, una verificación completa es necesario.
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Ecuaciones Racionales
x 1
2. Resuelva:
x 1

2
x3

2
3
3
 x 1 x  3 
6

  36
3 
 2
6
x 1
2
6
x3
 18
x3
3
3
Encontramos el LCM de 2, 3 y 1.
LCM = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6
Multiplicamos en ambos lados por el
LCM.
Multiplicamos para remover paréntesis.
3
3  x  1  2  x  3   1 8
3 x  3  2 x  6  18
Simplificamos, multiplicamos y
coleccionamos términos iguales.
x  9  18
x  18  9
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x eccin-11-solucin-de-ecuaciones-racionales9
55
5
Ecuaciones Racionales
2. Verificamos:
x 1

x3
2
3
9 1
93

2
3
3
3
10
2

6
Sustituimos la posible solución para
verificar si es cierta.
3
3
52  3
33
Encontramos que 9 es una
solución.
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6
Ecuaciones Racionales
3. Resuelva:
2x
x3

6
x

18
x  3x
2
2x
x3

6
x

18
x  3x
2
Encontramos que el LCM es x(x – 3), y
multiplicamos ambos lados por este LCM.
 2x 
 6   18 
x  x  3 
  x  x  3     2
 x  x  3
 x3
 x   x  3x 
2 x  6  x  3   18
2
2 x  6 x  18  18
2
2x  6x  0
2
2 x  x  3  0
2x  0 o
x0 o
Multiplicamos para remover
paréntesis, simplificamos,
factorizamos y usamos el
principio del cero como
producto.
x3 0
x3
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Ecuaciones Racionales
3. Verificamos:
P ara 0 :
2x
x3
2 0
03

6
P ara 3 :

x

0
18
2x
x  3x
x3
2

2 3
0
2
0  30
33
6
18
6
0


Indefinido
0

x
18
6
6
0

6

3
2
18
x  3x
2
18
3  30
2
18
Indefinido
0
La ecuación no tiene solución.
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Ecuaciones Racionales
4. Resuelva:
x
2
x2
2
x
x2
 x  2

x2

x2
4
LCM = x - 2
x2
2
x

4
4
x2
 x  2
x 4
2
x 40
2
 x  2 x  2  0
x20 o
x  2
o
Multiplicamos,
simplificamos y
usamos el principio
del cero como
producto.
x20
xhttp://www.slideshare.net/wilfredorivera/l
2
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Ecuaciones Racionales
4. Verificamos:
P a ra  2 :
P a ra 2 :
x
2
x2
2

x
x2
x2
4
 2 
22
2  2
2
22
4
0


2
4
4
4
0
x2
2
4
Indefinido

4


4
2  2
4
4
 1  1
Cierto
El número -2 es una solución, pero el 2 no (el resulta en una
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división por 0).
eccin-11-solucin-de-ecuaciones-racionales10
55
Ecuaciones Racionales
2
5. Resuelva:
x 1
2
x 1
 x  1  x  1 
2
x 1



3
x 1
3
LCM = (x + 1)(x – 1)
x 1
3
x 1
  x  1  x  1
2  x  1  3  x  1
2x  2  3x  3
Multiplicamos y
simplificamos.
3  2  3x  2x
5 x
El número 5 http://www.slideshare.net/wilfredorivera/l
verifica y es la solución.
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11
Ecuaciones Racionales
6. Resuelva:
2
x5

1
x5
2
x5
2
x5
 x  5 x  5 
2
x5


16

x  25
2
1
x5
1
x5
  x  5 x  5 
16


1
x5
x  25
2
16
 x  5 x  5

16
 x  5 x  5
 x  5 x  5
2  x  5    x  5   16
2 x  10  x  5  16
3 x  5  16
3 x  21
x7
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El número 7 verifica
y es la solución.
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Ecuaciones Racionales
7. Dado que y = x + 6/x, encuentre todos los
valores de x por el cual y = 5.
x
6
5
Sustituimos por y = 5.
x
xx x
6
 5x
x
Encontramos que el LCM = x, y
multiplicamos por el x en ambos lados.
x  6  5x
2
Simplificamos, factorizamos y
usamos el principio de cero
como producto.
x  5x  6  0
2
 x  2  x  3  0
x2 0 o x3 0
x2 o
x
Verificamos y encontramos que tanto 3
y 2 son soluciones de la ecuación
http://www.slideshare.net/wilfredorivera/l
3
racional.
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