SISTEMAS DE
ECUACIONES
APRENDIZAJES ESPERADOS
• Reconocer los métodos de resolución de sistemas de
ecuaciones, estableciendo las diferencias entre un
procedimiento y otro.
• Reconocer cuándo un sistema de ecuaciones tiene
infinitas soluciones y cuándo no tiene solución.
• Aplicar los métodos de resolución de sistemas de
ecuaciones en problemas de planteo.
Sistemas de Ecuaciones
1. Sistemas de ecuaciones
2. Métodos de resolución
• Reducción
• Igualación
• Sustitución
• Cramer
• Gráfico
• Cambio de Variables (variables auxiliares)
3. Aplicaciones
1. Sistemas de Ecuaciones
Es un conjunto de ecuaciones donde hay más de
una incógnita.
Para determinar el valor numérico de cada una de
ellas, debe existir la misma cantidad de ecuaciones que
de incógnitas, es decir, si hay 3 incógnitas, debe haber 3
ecuaciones distintas.
Geométricamente, corresponde a la intersección de
dos rectas o dos curvas en el plano cartesiano.
Un sistema de ecuaciones lineales presenta la siguiente
forma:
a 1 x  b1 y  c1
a 2 x  b2 y  c 2
Donde:
a1 ; b1 ; c1 ; a 2 ; b2 ; c 2
“x” e “y” son las incógnitas
son constantes numéricas reales y
2. Métodos de resolución de un sistema de ecuaciones
de primer grado con dos incógnitas:
Son diferentes formas de resolver un sistema de
ecuaciones. Existen varios métodos.
• Reducción:
Consiste en igualar los coeficientes de una misma
incógnita en ambas ecuaciones del sistema
Luego, se suman o restan ambas ecuaciones, de
modo que se eliminen los términos cuyos coeficientes
se igualaron.
Ejemplo:
1) 2x + 3y = 7
2) x – 4y = -2
Para eliminar x, multiplicaremos la ecuación 2) por -2
1) 2x + 3y = 7
2) x – 4y = -2
1) 2x + 3y = 7
(+) 2) – 2x + 8y = 4
11y = 11
y=1
/ · (– 2)
/ Sumando ambas ecuaciones
/ Dividiendo por 11
/ Reemplazando y=1 en la ec. 2)
2) x – 4y = – 2
x – 4 ·(1) = – 2
x=–2+4
x=2
• Igualación:
Consiste en despejar la misma incógnita en
ambas ecuaciones del sistema.
Una vez despejada, se igualan los resultados.
El resultado obtenido se reemplaza en cualquiera
de las ecuaciones originales del sistema.
Ejemplo:
1) 2x + 3y = 7
2) x – 4y = – 2
Despejando x en ambas ecuaciones:
1) 2x + 3y = 7
2) x – 4y = – 2
2x = 7 – 3y
x = 7 – 3y
2
Igualando ambas ecuaciones:
7 – 3y = – 2 + 4y
2
x = – 2 + 4y
7 – 3y = – 2 + 4y
2
/ Multiplicando por 2
7 – 3y = – 4 + 8y
/ + 3y
7 – 3y + 3y = – 4 + 8y + 3y
7 = – 4 + 11y
/+4
7 + 4= – 4 + 11y + 4
11= 11y
/ :11
1= y
Reemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones
del sistema se determina el valor de x.
Reemplazando y = 1 en la ecuación 2) :
x = – 2 + 4y
x = – 2 + 4 · (1)
x =–2+4
x =2
• Sustitución:
Consiste en despejar una incógnita de una de las
ecuaciones del sistema.
Una vez despejada, se reemplaza en la otra ecuación,
despejando la única variable que queda.
El resultado que se obtiene se reemplaza en cualquiera
de las ecuaciones originales del sistema.
Ejemplo:
1) 2x + 3y = 7
2) x – 4y = – 2
Despejando x en la ecuación 2)
2) x – 4y = – 2
x = – 2 + 4y
Reemplazando x en la ecuación 1)
1) 2x + 3y = 7
2(– 2 + 4y) + 3y = 7 / Multiplicando
– 4 + 8y + 3y = 7
/ Sumando 4
11y = 7 + 4
11y = 11
/ Dividiendo por 11
y=1
Como
x = – 2 + 4y x = – 2 + 4 ·(1)
 x =2
• Cramer
a
b
c
d
Este método utiliza el concepto de “determinante”
para resolver el sistema.
 a d  c b
Ejemplo de Aplicación:
3x  4 y  5
2 x  5 y  11
x 
y 
5
4
11
5
3
5
2
11
p 
 25  44  69
 33  10  23
Ejemplo: 2
3
1
4
 2   4  1  3   8  3   11
Resolver el siguiente sistema:
3
4
2
5
 3  5  2   4  15  8  23
x 
y 
x


y

p
 3
23
p

69
P(3,1)

23
23
1
• Gráfico
Este método utiliza el gráfico como forma de determinar
el punto de intersección de dos rectas.
y 
1
2
• P(2,4)
y   3 x  10
x  3
• Cambio de Variables:
Este caso considera el uso de otras variables para resolver un
sistema, que por los métodos tradicionales sería mas complicado.
Ejemplo: Resolver el siguiente sistema:
3
x2
2
x2


5
y 1
1
y 1
 14
 5
3
1
x2
Haremos el
siguiente arreglo 2  1
x2
 5
 1
1
y 1
1
y 1
Llamaremos:
 14
u
1
x2
v
1
y 1
5
Al remplazarlo obtenemos el nuevo sistema:
3 u  5 v  14
2u  v  5
Para obtener
3
1
y se puede resolver por cualquier método anterior, obteniéndose
u 3 y
v  1.
" x"e" y "
igualamos los valores obtenidos con las fórmulas anteriores:
3( x  2)  1
1
x2
1
y 1
3x  6  1
3x  7
x 
7
3
Despejamos y obtenemos:
1( y  1)  1
y 1  1
y0
P ( 73 , 0)
La solución de un sistema de ecuaciones,
corresponde
- a la intersección de 2 rectas en el punto (x,y).
- a infinitas soluciones si y sólo si las rectas son
coincidentes.
- a NO tener solución si y sólo si las rectas son
paralelas.
3. Ejercicios de Aplicación
1. Se tienen avestruces y koalas, si hay 55 cabezas y
170 patas, ¿cuántas avestruces y koalas hay?
Solución:
Sea a: N° de avestruces
y k: N° de koalas
 1) a + k = 55
Como las avestruces tienen 2 patas y los koalas 4,
la cantidad total de patas de avestruz será 2a y el
total de patas de koala 4k.
 2) 2a + 4k = 170
Con estas dos ecuaciones se forma el siguiente sistema
de ecuaciones:
/·(– 2)
1) a + k = 55
2) 2a + 4k = 170
1) -2a - 2k = -110
/ Sumando ambas ecuaciones
(+) 2) 2a + 4k = 170
2k = 60

k = 30
/ Reemplazando K=30 en la ec. 1)
1) a + k = 55
a + 30 = 55
 a = 55 - 30  a = 25
Por lo tanto, hay 25 avestruces y 30 koalas.
2.
3x + 2y = 4
9x + 6y = 12
Determinar x e y.
Solución:
3x + 2y = 4
/·(-3)
9x + 6y = 12
-9x + -6y = -12
(+)
/ Sumando ambas ecuaciones
9x + 6y = 12
0=0
Se eliminaron las incógnitas y llegamos a una igualdad,
por lo tanto, el sistema tiene INFINITAS SOLUCIONES.
3. Determinar: a + b + c.
a + 2b + 3c = 51
2a + 3b + c = 72
(+) 3a + b + 2c = 57
/ Sumando las tres ecuaciones
6a + 6b + 6c = 180 / Factorizando por 6
6(a + b + c) = 180
(a + b + c) = 180
6
(a + b + c) = 30
/ Dividiendo por 6
MATERIAL COMPLEMENTARIO

http://es.wikiversity.org/wiki/Sistema_lineal_de_dos_ecua
ciones_con_dos_inc%C3%B3gnitas

http://www.vitutor.com/ecuaciones/sistemas/sisActividade
s.html

https://www.youtube.com/watch?v=vaI_y4-XB40
Propiedad Intelectual
Cpech
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CLASE 4. Sistemas_de_Ecuaciones_2X2