Planos en 3D
Dr. Gustavo Rodríguez Zurita
Planos en 3D.
P

r
n
P0

r0

n 
a, b, c
R1 plano
R1 plano
Resta perpendicular a normal al plano n

P0 ( x 0 , y 0 , z 0 )  r0  x 0 , y 0 , z 0

P ( x, y, z )  r  x, y, z
 
r  r0
  
n  r  r   0
Coordenadas de punto en recta cumplen
a( x  x0 )  b( y  y0 )  c( z  z0 )  0
Punto por el que sabemos pasa el plano
Punto cualquiera sobre nuestro plano
Resta vectorial contenida en el plano
Ecuación escalar del plano pasando
por P0(x0,y0,z0).

P0  x 0 , y 0 , z 0  n  a , b , c
a( x  x0 )  b( y  y 0 )  c( z  z 0 )  0
ax  ax 0  by  by 0  cz  cz 0  0
ax  by  cz  ( ax 0  by 0  cz 0 )  0
ax  by  cz  d  0
con
d   ( ax 0  by 0  cz 0 )
Ecuación Lineal
Ejemplo 4.
Encontrar la ecuación del plano pasando por P(2,4,-1)
con normal <2,3,4>. Hallar los interceptos.
Usando la ecuación del plano
a( x  x0 )  b( y  y 0 )  c( z  z 0 )  0
y por los datos, se identifica que
x0  2
a  2
y0  4
b3
z 0  1
c 4
substituyendo
2 ( x  2 )  3 ( y  4 )  c ( z  1)  0
Ejemplo 4
Distribuyendo los factores y simplificando La intersección con el eje x sale de y=z=0,
2x=12, o x=6
2 x  4  3 y  12  4 z  4  0
La intersección con el eje y sale de x=z=0,
2 x  3 y  4 z  4  12  4  0
3y=12, o y=4
2 x  3 y  4 z  16  4  0
La intersección con el eje z sale de x=y=0,
2 x  3 y  4 z  12  0
4z=12, o z=3
2 x  3 y  4 z  12
plano
plano
Ejemplo 5
Encontrar la ecuación del plano pasando por
los puntos P(1,3,2) Q(3,-1,6) y R(5,2,0)
Se requieren dos vectores independientes en el plano para encontrar un
vector normal usando su producto CRUZ, o vectorial.
Los siguientes vectores se encuentran sobre el plano inspeccionado


PQ  Q  P  3,  1, 6  1,3, 2  2 ,  4 , 4


PR  R  P  5 , 2 , 0  1,3, 2  4 ,  1,  2
Usando los vectores se encuentra n con producto X
iˆ
ˆj
kˆ

n  2 ,  4 , 4  4 ,  1,  2  2
4
4
4
1
2
 iˆ
4
4
1
2
 ˆj
2
4
4
2
 kˆ
2
4
4
1
 iˆ 8  4   ˆj   4  16   kˆ   2  16   iˆ (12 )  ˆj (  20 )  kˆ 14 
 12  iˆ  20  ˆj  14  kˆ
Ejemplo 5
Utilizando el vector P y las componentes de n
12 ( x  1)  20 ( y  3 )  14 ( z  2 )  0
12 x  20 y  14 z  12  60  28  0
12 x  20 y  14 z  100  0
6 x  10 y  7 z  50
plano
La intersección con el eje x sale de y=z=0,
6x=50, o x=8.33
La intersección con el eje y sale de x=z=0,
10y=50, o y=5
La intersección con el eje z sale de x=y=0,
7z=50, o z=7.14
plano
Ejemplo 5
Visualizando los puntos P(1,3,2) Q(3,-1,6) y R(5,2,0)
R1 R2 R3 plano
R1 R2 R3 plano
R1 R2 R3 plano
Ejemplo 6
Encontrar el punto de intersección entre la recta de
ecuaciones paramétricas
x  2  3t
y  4  t
y el plano con ecuación
z 5t
4 x  5 y  2 z  18
Como el punto buscado debe cumplir con ambas expresiones, se sustituyen las
paramétricas en la ecuación del plano para hallar t.
4 ( 2  3 t )  5 (  4 t )  2 ( 5  t )  18
8  12 t  20 t  10  2 t  18
12 t  20 t  2 t  8  10  18
Regresando a las ecuaciones paramétricas para
encontrar las coordenadas correspondientes a
t = -2…
x (  2 )  2  3(  2 )  2  6   4
 10 t  2  18
y (2)  4(2)  8
 10 t  20
z (2)  5  (2)  3
t  2
…indicando que las coordenadas buscadas son
 4 ,8 , 3
Ejemplo 6
x  2  3t
y  4  t
z 5t
4 x  5 y  2 z  18
 4 ,8 , 3
R plano
R plano
R plano
Ejemplo 7
Encontrar el ángulo entre los dos planos descritos
por las ecuaciones
x y z 1
x  2 y  3z  1
Encontrar las ecuaciones simétricas para la recta
de intersección L.
Los ángulos entre los planos son los ángulos entre sus respectivas normales
n1 y n2.


n

1
,
1
,
1
n
 1,  2 , 3
Por los coeficientes de las ecuaciones:
1
2
De:
 
 
a  b  a  b  cos(  )

 
a b
cos(  )   
a b


n1  n 2
cos(  )  

n1  n 2
Ejemplo 7
Substituyendo para el coseno:


n1  n 2
cos(  )  
 
n1  n 2


1,1,1  1,  2 ,3
1 1 1  1  2  3
2
2
2
2
2
2
1 2  3
3  14
2
42
Tomando el arco coseno de 2/√(42) se obtiene un ángulo entre planos de valor
1.257 rad o 72.025°
plano_1
plano_2
Ejemplo 7
Se requiere además un punto de cada plano. Puede buscarse uno cualquiera pero
común a ambos, el cual pertenecerá a la recta de intersección L.
Tomando z = 0 en las ecuaciones de ambos planos, se simplifican éstas.
Resolviendo
x y 1
x  2y 1
2x  2 y  2
x  2y 1
3x  3
El punto tiene coordenadas <1,0,0>
Con ese punto y con los números directores
de las normales, las gráficas de los planos,
por separado primero, son
x 1

y  0
plano_1
plano_1  plano_2
plano_2
Ejemplo 7
Para hallar la ecuación de L, notamos que debe ser perpendicular a los dos
vectores normales “simultáneamente”.
Un vector perpendicular a las dos normales puede encontrarse con su producto
vectorial o CRUZ (X):
Las ecuaciones simétricas se pueden
ˆ
ˆj
iˆ
k
escribir entonces como



v  n1  n 2  1
1
2
1
 iˆ
1
1
1
2
3
x 1
3
 ˆj
5
1
1
1
3
 kˆ
1
1
1
2
 iˆ ( 3  2 )  ˆj ( 3  1)  kˆ (  2  1)
 5 iˆ  2 ˆj  3 kˆ
Así, los números directores que pueden
usarse para L son a = 5, b = -2 y c = -3.
plano_1  plano_2  R1

y
 2

z
 3
Ejemplo 8
Encontrar la distancia D entre el punto P1(x1,y1,z1)
y el plano ax+by+cz+d = 0. Use P0(x0,y0,z0).
P1

b
P0

b  x1  x 0 , y 1  y 0 , z 1  z 0
 
b n
D 

n


n
a ( x1  x 0 )  b ( y 1  y 0 )  c ( z 1  z 0 )
a b c
D

2
ax 1  by 1  cz 1  ( ax 0  by 0  cz 0 )
a b c
2
2

ax 1  by 1  cz 1  (  d )
a b c
2
plano_zero R Raux
2
2
2
2
2

ax 1  by 1  cz 1  d
a b c
2
2
2
Ejemplo 9
Encontrar la distancia D entre los planos paralelos
10x+2y-2z = 5 y 5x+y-z = 1.
Los planos son paralelos porque sus normales <10,2,-2> y <5,1,-1> lo son.
Tomamos cualquier punto de un plano y calculamos su distancia al otro plano.
Se toma un punto con coordenadas y=0 y z=0
y  z  0
10 x  5
x  1/ 2
La coordenada x faltante resulta
Usando la fórmula de distancia D, por substitución
1 / 2 ,0 ,0
D 
1
5 ( )  1( 0 )  1( 0 )  1
2
5  1  (  1)
2
5


1
25  1  1
2
27
10 x  2 y  2 z  5
plano_1  plano_2
2
2
3
5 x  y  z  100
2
 1

2 3

2
2

 
9 3
3 3
 3

 6
3

3
Ejemplo 9 bis
Encontrar la distancia D entre los planos paralelos
10x+2y-2z = 5 y 5x+y-z = 1.
Los planos son paralelos porque sus normales <10,2,-2> y <5,1,-1> lo son.
Tomamos cualquier punto de un plano y calculamos su distancia al otro plano.
Se toma un punto con coordenadas x=0 y z=0
x  z  0
2y  5
y  5/2
La coordenada y faltante resulta
Usando la fórmula de distancia D, por substitución
0 ,5 / 2 , 0
D 
5 ( 0 )  1( 5 / 2 )  1 ( 0 )  1
27

5/2 1
27
5 x  y  z  100
10 x  2 y  2 z  5
plano_1  plano_2

3
6
Ejemplo 10
Encontrar la distancia D entre las líneas rectas
oblicuas del ejemplo 3.
L1 , t
x 1 t
y   2  3t
z  4t
L2 , s
x  2s
y  3 s
z  3  4 s
Puede considerarse que las rectas están en
planos paralelos. La distancia entre esos planos
es la distancia entre las rectas.
RA RB
Conclusiones
Descargar

Planos en 3D