Departamento de Control, División de Ingeniería Eléctrica
Facultad de Ingeniería UNAM
Sistemas de primer orden
México D.F. a 08 de Septiembre de 2006
Sistemas de primer orden
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Los sistemas de primer orden continuos son aquellos que responden a
una ecuación diferencial de primer orden
dc ( t )
dt
 a 0 c ( t )  b0 r ( t )
La función de transferencia es:
C (s)

R (s)
b0
s  a0
reacomodando términos también se puede escribir como:
C (s)
donde K 
 
b0

K
R ( s ) s  1
, es la ganancia en estado estable,
a0
1
, es la constante de tiempo del sistema.
1
el valor s   a 0  
se denomina polo.
a0

Sistemas de primer orden
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Respuesta de un sistemas de primer orden ante una entrada impulso
La salida en Laplace es
C (s) 
b0
s  a0
R (s)
R (s)  1
Utilizando transformada inversa de Laplace
c ( t )  b0L
1 



s

a

0
1
Se obtiene la salida en función del tiempo
c ( t )  b0 e
 a0t
se evalúa la ecuación anterior en tiempos múltiplos de 
Sistemas de primer orden
t
c (t )
0
b0

0 . 367879 b0
2
0 . 135335 b0
3
4
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
respuesta al impulso
0 . 049787 b0
b0
0 . 018315 b0
0 . 367879
b0

t
Sistemas de primer orden
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Respuesta de un sistemas de primer orden ante una entrada escalón de
magnitud A
La salida en Laplace es
C (s) 
b0
s  a0
R (s) 
R (s)
A
s
Utilizando transformada inversa de Laplace
c ( t )  Ab 0L
1 



s
(
s

a
)

0 
1
Se obtiene la salida en función del tiempo
c ( t )  AK (1  e
 a0t
)
Ahora se evalúa la ecuación anterior en tiempos múltiplos de 
Sistemas de primer orden
t
c (t )
0
0

0 . 632120 AK
2
0 . 864664 AK
3
0 . 950212 AK
4
0 . 981684 AK
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
respuesta al escalón
0 . 981684
0 . 632120
AK
AK
AK

4
t
Comentarios:
•La constante de tiempo (  ) es igual al tiempo que tarda la salida en
alcanza un 63.212% del valor final.
•Matemáticamente la salida alcanza su valor final en un tiempo infinito,
pero en el sistema real lo hace en tiempo finito. Para fines prácticos se
considera que la salida alcanza el estado estable en cierto porcentaje
del valor final. Se usan dos criterios: el del 98%(4 ) y el del 95% (5 )
Sistemas de primer orden
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Respuesta de un sistemas de primer orden ante una entrada rampa de
magnitud A
La salida en Laplace es
C (s) 
b0
s  a0
R (s) 
R (s)
A
s
2
Utilizando transformada inversa de Laplace
c ( t )  Ab 0 L
1 

 2

 s (s  a0 ) 
1
Se obtiene la salida en función del tiempo
c ( t )  AK ( t   )  AK  e
 a0t
r ( t )  At
Sistemas de primer orden
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Nota:
Es importante aclarar que la
entrada es de pendiente A,
mientras que la salida presenta
pendiente AK desfasada seg.
respuesta a la rampa
AK 
AKt
En otras palabras siempre que la
ganancia en estado estable (K) del
sistema no sea igual a uno,
existirá un error en estado estable
infinito.

error en
estado estable
c ( t )  AK ( t   )  AK  e

t
 a0t
Sistemas de primer orden
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Con lo visto anteriormente se observa que es posible lo siguiente:
1. De la función de transferencia y conociendo la entrada, obtener la salida.
2. De una gráfica (o datos) de respuesta de salida obtener la función de
transferencia.
Ejercicio:
Un circuito RL tiene la siguiente función de transferencia.
I (s)
V (s)
1

L
sR
L
Determinar la corriente i (t ) cuando se aplica una entrada escalón de 1 volt
Desarrollo:
No se necesita usar fracciones parciales o transformada inversa, basta
normalizar la función de transferencia para visualizar la respuesta:
Sistemas de primer orden
I (s)
1
1

V (s)
L
R
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
R
s 1
R
L
R
 K
Ganancia en estado
estable

Constante de tiempo
entonces directamente se obtiene la ecuación:
1
R
i (t ) 
1
(1  e

R
L
t
)
R
L
R
2
L
R
3
L
R
4
L
R
t
Sistemas de primer orden
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Ejercicio:
Una cautín se conecta a una alimentación de voltaje monofásica 127 volts.
Alcanzar una temperatura estable de 325°C y tarde 130 segundos en
alcanzar un 98% de ese valor. Determine la función de transferencia de
primer orden que represente mejor esta respuesta.
Desarrollo:
Se define la ganancia en estado estable:
K 
Temperatur a en estado estable
Voltaje de entrada

325
 2 . 559
127
Se determina la constante de tiempo:
Usando el criterio del 2% de error, se determina el tiempo que tarda la
salida en alcanzar un 98% de su valor, se divide entre 4 y se obtiene la
constante de tiempo.
130
 
 32 . 5
4
Sistemas de primer orden
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por último se sustituye en la forma:
G (s) 
K
s  1
La función de transferencia que relaciona la temperatura con el voltaje es
T (s)
V (s)
T (s)
V (s)


2 . 559
32 . 5 s  1
0 . 078738
s  0 . 30769
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