ÁLGEBRA
Existen enunciados o expresiones que
resultan muy largas al expresarlas en
palabras. Para hacerlas más sencillas de
manejar se emplean símbolos y nuevas
palabras.
Mahommed, hijo de
al-jebr
Muhammad
ibnde
Musa
Musa, natural
Al-Jwarizmi,
Kharizm
w'al-muqabalah
A la parte de las matemáticas que estudia el
manejo de estos símbolos se llama
Álgebra.
Las letras más
utilizadas son : x, y, z,
a, b, c, d…
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Piensa con qué se corresponde
Son el resultado de expresar en lenguaje
matemático un enunciado en el que aparecen datos
desconocidos y que expresamos con letras
ENUNCIADOS
El doble de un número
Un número impar
La tercera parte de un
número
El cuadrado de un número
EXPRESIÓN
ALGEBRAICA
2x
x
3
x
2
2x 1
Las expresiones algebraicas formadas por
productos de números y letras se llaman
MONOMIOS
EJEMPLOS
 3x
2
2a b
5
Al número se le llama
COEFICIENTE
y a las letras
PARTE LITERAL
IDENTIDADES
Son expresiones algebraicas que se cumplen
siempre para cualesquiera que
sean los valores de sus letras
x  3x  4x
ejemplo
x 1
x2
x  1
xx33xx  44xx
1 3
4
26
8
1 3
4
FÓRMULA
Son igualdades algebraicas que expresan la
relación que existe entre varias magnitudes
Ejemplo: área de un triángulo
A 
bh
2
ECUACIONES
Son igualdades algebraicas que se verifican sólo
para algunos valores
de sus letras a las que llamamos incógnitas
ejemplo
2x  3  5
Esta igualdad sólo
se cumple cuando
x vale 2
ECUACIONES: CONCEPTOS BÁSICOS
Miembros
Expresiones
que
aparecen a
cada lado de
la igualdad
Términos
Sumandos
que forman
los
miembros
Soluciones
Valores para
los que se
cumple la
igualdad
2x  3  5
Primer Segundo
miembro miembro
La
solución
es:
x2
EJEMPLOS SENCILLOS
Ejemplo 1
2  x  10
x  10  2
Ejemplo 2
2 x  10
x
10
x8
x5
2
Ejemplo 3
5 x  4  11
5 x  11  4
5 x  15
x 3
ECUACIONES EQUIVALENTES
Dos ecuaciones son EQUIVALENTES si tienen las mismas
soluciones
Una ecuación se transforma en otra
equivalente mediante estas reglas:
Sumando o restando a sus
miembros un mismo número
Se suman
dos
unidades
a cada
miembro
2x+4+2= 6+2
Multiplicando o dividiendo sus
dos miembros por un mismo
número distinto de cero
Se
multiplica
por dos
cada
miembro
(2x+4)2= 6.2
Se restan
dos
unidades
a cada
miembro
2x+4-2= 6-2
Se divide
por dos
cada
miembro
(2x+4)/2= 6/2
ECUACIONES DE PRIMER GRADO

IDENTIDADES.-

Son las igualdades entre expresiones
numéricas o algebraicas que SIEMPRE
son ciertas para cualquier valor de las
letras.

Ejemplos:

4=4
x=x
x2 – 1 = (x + 1).(x – 1)


•
ECUACIONES.-
•
Son las igualdades de
expresiones alebraicas que
SOLAMENTE son ciertas para
algunos valores de las letras.
•
Ejemplos:
•
•
•
•
x = 5 , sólo es cierto si x = 5
x – 2 = 5 , sólo es cierto si x = 7
x2 = 4 , sólo es cierto si x = 2
o si x = - 2
SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN

VARIABLES E INCÓGNITAS


En un monomio a la x se la denomina VARIABLE.
En una ecuación, por ejemplo 3.x – 1 = x + 2 , a la letra x se la llama
INCÓGNITA.

SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN

Es el valor que debe tomar la incógnita para que se verifique la igualdad.

Resolver una ecuación es hallar sus soluciones.

Si hay solución o soluciones se llaman ECUACIONES COMPATIBLES.
Si no hay solución se llaman ECUACIONES INCOMPATIBLES.

ECUACIONES EQUIVALENTES

Las ecuaciones de primer grado son aquellas igualdades
cuyo EXPONENTE de la incógnita es la unidad.

Ecuaciones equivalentes son las que tienen la misma
solución.

Para resolver una ecuación hay que hallar la ecuación
equivalente que tenga en uno de sus lados únicamente la
INCÓGNITA.

Eso se llama DESPEJAR.
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

1.
Si hay denominadores se halla el mcm y se eliminan éstos.

2.
Si hay paréntesis se suprime aplicando la propiedad distributiva.
Si delante de un paréntesis hay el signo “-” se cambia todo de signo.


3.
Se traspasan los términos literales a un lado de la igualdad y los términos
constantes al otro.
(Se aplica la Regla de la Suma).

4.-
Se reducen términos semejantes.

5.
Se despeja la incógnita.
(Se aplica la Regla del Producto).



NOTA: Es muy importante el ORDEN en el proceso a seguir.
REGLA DE LA SUMA

( PRIMER PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA ):

Si en una igualdad sumamos (o restamos) a ambos lados
la misma cantidad, la igualdad sigue siendo cierta
Ejemplo:
x-a=b  x–a+a=b+a  x =b+a
Numéricamente:
x–3=7  x–3+3=7+3  x=7+3
Ejemplo:
x+a=b  x+a–a=b–a  x =b–a
Numéricamente:
x+3=7  x+3–3=7–3  x=7–3








EJEMPLOS








1. Resolver la ecuación:
x–2=5
Sumamos 2 a ambos lados, quedando:
x–2+2=5+2  x=7
O sea, el 2 que estaba restando a la incógnita,
pasa al otro lado sumando.
2. Resolver la ecuación:
x +3 = 7
Restamos 3 a ambos lados, quedando:
x+3–3=7–3  x=4
O sea, el 3 que estaba sumando a la incógnita,
pasa al otro lado restando.

3. Resolver la ecuación:

Cuando hay varios términos con “x”, se pasan
todas las “x” a un lado y los demás términos al
otro.

Sumamos 2 a ambos lados, quedando:
x–2+2=x+5+2  x=x+7
Restamos x a ambos lados, quedando:
x–x=x+7–x  0=7 





x–2=x+5
Esta igualdad resultante es imposible.
La ecuación es INCOMPATIBLE





4. Resolver la ecuación:
x–2=x–2
Sumamos 2 a ambos lados, quedando:
x–2+2=x -2+2  x=x 
Nos ha dado una IDENTIDAD.
Siempre se cumplirá la igualdad, luego hay INFINITAS
SOLUCIONES

5. Resolver la ecuación:
2.x – 2 = 6 + x
Restamos x a ambos lados quedando:
2.x – 2 – x = 6 + x – x  x – 2 = 6
Sumamos 2 a ambos lados, quedando:
x–2+2=6+2  x=8

x = 8 es una ecuación equivalente a la dada.




REGLA DEL PRODUCTO

( SEGUNDO PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA ):

Si en una igualdad multiplicamos (o dividimos) a ambos
lados por la misma cantidad, la igualdad sigue siendo
cierta

Ejemplo:
x
x
--- = b  a. --- = a. b 
a
a
Numéricamente:
x
x
--- = 4  3. --- = 3. 4 
3
3







a.x
------ = a.b  x = a.b
a
3.x
------ = 3.4  x = 12
3

Ejemplo:

a.x
b
a.x = b  -------- = ----  x = b / a
a
a











Numéricamente:
3.x
9
3.x = 9  -------- = ----  x = 9 / 3 = 3
3
3
Importante: Si al despejar la incógnita, x, no queda un valor
entero, se simplifica y se queda como fracción irreducible,
salvo que sea decimal exacto.
x=2
x = 3 / 2 = 1,5
x = 2 / 3 = 0,6666
x=2/3
Bien
Bien
Incorrecto, pues nunca puede ser exacto.
Bien
EJEMPLOS

6.

Dividimos por 2 a ambos lados, quedando:
2.x / 2 = 6 / 2  x = 3
O sea, el 2 que estaba multiplicando a la incógnita pasa al otro lado
dividiendo.


Resolver la ecuación:

7.

Multiplicamos ambos lados por 3, quedando:
x
3.x
3.---- = 3.5  ---------- = 15  x = 15
3
3
O sea, el 3 que estaba dividiendo a la incógnita pasa al otro lado
multiplicando.




Resolver la ecuación:
2.x = 6
x/3=5

8.

Las x deben quedar todas a un mismo lado. ¿Dónde?.
Mejor donde queden positivas.










Resolver la ecuación:
2.x – 2 = 5.x + 4
Restamos 2.x a ambos lados, quedando:
2.x – 2 – 2.x = 5.x + 4 – 2.x  - 2 = 3.x + 4
Restamos 4 a ambos lados, quedando:
– 2 – 4 = 3.x + 4 – 4  – 6 = 3.x 
Dividimos ambos por 3, quedando:
– 6 3.x
---- = ------  – 2 = x
3
3
O sea, primero el 4 que estaba sumando ha pasado restando, luego 2.x que
estaba sumando ha pasado restando, y por último el 3 que estaba
multiplicando ha pasado dividiendo.

9.

Multiplicamos ambos lados por 3, quedando:
2.x
3.[------- – 2] = 3.( x – 6)  2.x – 6 = 3.x - 18
3
Restamos 2.x a ambos lados, quedando:
2.x – 6 – 2.x = 3.x - 18 – 2.x  - 6 = x - 18










Resolver la ecuación:
( 2.x / 3 ) – 2 = x - 6
Sumamos 18 a ambos lados, quedando:
– 6 + 18 = x - 18 + 18  12 = x
MUY IMPORTANTE:
Siempre que en una ecuación haya fracciones, hay que aplicar primero
la Regla del Producto, multiplicando ambos lados por el denominador
de la fracción.
Si hay varios denominadores se multiplica todo por el MCM de los que
haya ( o por el producto de los denominadores).
10








Resolver la ecuación:
2 - (3.x / 2) = x – 6
Multiplicamos ambos lados por 2, quedando:
3.x
2.[2 - ---------)] = 2.(x – 6)  4 – 3.x = 2.x - 12
2
Sumamos 3.x a ambos lados, quedando:
4 – 3.x + 3.x = 2.x - 12 + 3.x  4 = 5.x – 12
Sumamos 12 a ambos lados, quedando:
4 + 12 = 5.x - 12 + 12  16 = 5.x

Dividimos por 5 a ambos lados, quedando:
16
5.x
---- = --------  16 / 5 = x  x = 3,2
5
5

Si la fracción resultante no es decimal exacto, se deja en fracción.



ECUACIONES DE PRIMER GRADO. PARÉNTESIS
Resolver la
ecuación
4 ( x  10 )   6 ( 2  x )  5 x

Quitamos
paréntesis

Agrupamos las
incógnitas en un
miembro y los
números al otro
4 x  6 x  5 x   12  40

Operamos cada
miembro por
separado
3 x  28

Hallamos el
valor de la
incógnita
4 x  40   12  6 x  5 x
x
28
3
ECUACIONES DE 1º GRADO CON DENOMINADOR
Resolver la
ecuación
x 1
4

Calculamos el mínimo común
múltiplo de los denominadores

Multiplicamos los
dos miembros de la
ecuación por ese
número

Realizamos las
divisiones numéricas
los
 Operamos
paréntesis

Agrupamos las
incógnitas

36 ( x  1)
4
x5

x5
36
9
m.c.m. (4, 9, 36)= 36

36 ( x  5 )

36 ( x  5 )
36
9
9 ( x  1)  ( x  5 )  4 ( x  5 )
9 x  9  x  5  4 x  20
9 x  x  4 x  20  9  5
4 x  24
x6
Resolución de ecuaciones lineales
•Empiece con ejercicio fáciles, sin fracciones, pero que las incógnitas estén
en ambos lados de la ecuación.
• No le enseñe el fatídico algoritmo de que “si está un término con signo más
pasa al otro lado con signo menos, y si está con menos pasa al otro lado con
signo más”. Deje que el propio estudiante, a base de varios ejercicios,
descubra por sí solo esa regla.
• Luego empiece con coeficientes fraccionados, pero tampoco enseñe el
fatídico algoritmo “si está dividiendo pasa al otro lado multiplicando, y si está
multiplicando pasa al otro lado dividiendo”. Nuevamente deje que el propio
estudiante descubra esa regla.
• Convenza al estudiante que las ecuaciones lineales existen en la vida
diaria, de modo que usted deberá plantearles problemas reales o lúdicos
(nada más real que los juegos para los niños).
Resolución de ecuaciones lineales
Juan, Pedro y Diego deciden hacer una “vaca” para salir a divertirse
un fin de semana. Juan puso una cierta cantidad, Pedro puso el
doble que Juan, y Diego puso el triple del aporte de Juan. En total
reunieron 6000 pesos. ¿Cuánto puso cada uno?
Sea z la cantidad desconocida que puso Juan, entonces Pedro puso
2 z, y Diego entonces puso 3 z, y puesto que el total de los aportes
es de 6000 pesos, tenemos la ecuación:
z  2 z  3 z  6000
Resolviendo
6 z  6000
Dividiendo en ambos miembros por 6, nos queda
z
6000
6
 1000
1000 pesos aportó
Juan, 2000 pesos
aportó Pedro y
3000 pesos Diego
MATERIAL
COMPLEMENTARIO



http://www.educarchile.cl/ech/pro/app/detalle?id=224145
http://www.authorstream.com/Presentation/migv-125432ecuaciones-de-primer-grado-ec1grado-entertainment-pptpowerpoint/
https://www.youtube.com/watch?v=h4gt8tsVJbw
02/10/2015
Descargar

CLASE 3. ecuaciones_de_primer_grado