INAOE
CURSO PROPEDEUTICO PARA LA
MAESTRIA EN ELECTRONICA
2010
Métodos
Matemáticos
Capítulo 2
EDO de segundo orden
Métodos Matemáticos - INAOE
Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de 2o. Orden
Forma General
2
a
d y
dx
2
b
dy
 cy  f ( x )
dx
y  yc  y p
Sol. Complementaria es la sol.
de la ec. homogénea asociada
La solución particular proviene
de la forma de f(x)
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
Ecuaciones Homogeneas
Ecuación diferencial de segundo orden, lineal, de coeficientes constantes,
homogénea
2
a
d y
dx
2
2
am e
b
dy
ye
 cy  0
dx
mx
 bm e
mx
 ce
mx
0
Ecuación
característica
am  bm  c  0
2
m1 
b 
b  4ac
2
2a
an d m 2 
mx
b 
b  4ac
2
2a
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
La ecuación auxiliar: Raices reales y diferentes.
Si la ecuación auxiliar:
am  bm  c  0
2
Con solución:
m1 
b 
b  4ac
2
2a
an d m 2 
b 
b  4ac
2
2a
donde:
m1 , m 2  R , y m1  m 2
Entonces la solución a:
2
a
d y
dx
2
b
dy
 cy  0 es
y  Ae
dx
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m1 x
 Be
m2 x
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
La ecuación auxiliar: Raices reales e iguales.
Si la ecuación auxiliar:
am  bm  c  0
2
Con solución:
m1 
b 
b  4ac
2
2a
an d m 2 
b 
b  4ac
2
2a
donde:
m1 , m 2  R , y m1  m 2
Entonces la solución a:
2
a
d y
dx
2
b
dy
 cy  0 es
y  ( A  B x)e
dx
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m1 x
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
La ecuación auxiliar: Raices complejas.
Si la ecuación auxiliar:
am  bm  c  0
2
Con solución:
m1 
b 
b  4ac
2
2a
an d m 2 
b 
b  4ac
2
2a
donde:
m1 , m 2 Î C
Entonces las soluciones a la ecuación auxiliar son complejas
conjugadas, y por tanto :
m1    j  y m 2    j 
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Ecuaciones diferenciales de segundo orden
La ecuación auxiliar: Raices complejas.
Y la solución a la ecuación diferencial es de la forma:
y  Ae
e
x
(  j  ) x
 Ae
 Be
j x
(  j  ) x
 Be
 j x

Como:
e
j x
 cos  x  j sin  x and e
 j x
 cos  x  j sin  x
Entonces:
Ae
j x
 Be
 j x
 ( A  B ) co s  x  j ( A  B ) sin  x
 C co s  x  D sin  x
Y la solución a una ecuación diferencial con raíces complejas esta dada por:
ye
x
 C cos  x  D sin  x 
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Ecuaciones diferenciales de segundo orden
Ecuaciones Homogeneas: ejemplos
Solucionar:
Cuya ecuación característica es:
Cuyas raíces son
reales y distintas
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Ecuaciones diferenciales de segundo orden
Ecuaciones Homogeneas: ejemplos
Solucionar:
Cuya ecuación característica es:
Cuyas raíces son
reales e iguales
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Ecuaciones diferenciales de segundo orden
Ecuaciones No-homogeneas. Coeficientes indeterminados
La ecuación diferencial de segundo orden, de coeficientes constantes, lineal,
no homogénea, es del tipo:
2
a
d y
dx
2
b
dy
 cy  f ( x )
dx
La solución está dada en dos partes y1 + y2:
(a) La parte 1, y1 es la solución a la ecuaciòn homogénea, y es llamada la
solución complementaria.
(b) La parte 2, y2 la cual es llamada la solución particular.
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Ecuaciones diferenciales de segundo orden
Ecuaciones No-homogeneas: Solución complementaria
ejemplo, para solucionar :
2
d y
dx
2
5
dy
 6y  x
2
dx
(a) solución complementaria
Ecuación auxiliar: m2 – 5m + 6 = 0  la solución m = 2, 3
Y la solución complementaria es y1 = Ae2x + Be3x , donde:
2
d y1
dx
2
5
dy1
dx
 6 y1  0
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Ecuaciones diferenciales de segundo orden
Ecuaciones No-homogeneas: Solución Particular
(b) Solución Particular
Se presupone una forma para y2 tal que y2 = Cx2 + Dx + E, y se sustituye en:
2
d y2
dx
Lo cual da:
2
5
dy 2
dx
 6 y2  x
2
6 C x  (6 D  10 C ) x  (2 C  5 D  6 E )  x  0 x  0
2
2
permitiendo:
C  1 / 6 : D  5 /18 : E  19 /108
De forma que:
y2 
x
2
6

5x
18

19
108
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Ecuaciones diferenciales de segundo orden
Ecuaciones No-homogeneas: Solución Completa
(c) La solución completa a:
2
d y
consiste de:
dx
2
5
dy
 6y  x
2
dx
Solución complementaria + solución particular
La cual es:
y  y1  y 2  A e
2x
 Be
3x
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
x
2
6

5x
18

19
108
COEFICIENTES INDETERMINADOS
Ecuaciones No-homogeneas: Solución Particulares
La forma general que se presupone para la integral particular depende de la
forma del lado izquierdo de la ecuación no homogénea. La tabla siguiente
puede ser usada como una guía:
f (x)
A ssu m e y
k
C
kx
Cx  D
2
Cx  Dx  E
k sin x o r k co s x
C sin x  D co s x
k sin h x o r k co sh x
C sin h x  D co sh x
kx
e
2
kx
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Ce
kx
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
Solucionar:
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Ecuaciones diferenciales de segundo orden
Solucionar:
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EJEMPLO: Resolver la sig. Ec. Dif. no-homogénea de coef. constantes :
y´´ 8 y  2 e
x
 5x
Se propone sol. particular:
Ec. Homogénea asociada:
y p  Ae
x
 Bx  C
y ´´  8 y  0
Derivando dos veces:
Polinomio característico:
y p ´´  Ae
1 , 2   j 2 2
 8 0
2
y c  k1e
j2
2
 k 2e
 j2
2
x
Substituyendo en la ec. original y
resolviendo para las constantes ABC:
A  2/9
B  5/8
Por ecuación de Euler:
y c  c1 cos ( 2 2 ) x  c 2 sen ( 2 2 ) x
yp 
y  c1 cos ( 2 2 ) x  c 2 sen ( 2 2 ) x 
2
9
e
2
e
x

9
x
C 0
5
8

5
8
x
x
ECS. DIF. LINEALES DE ORDEN SUPERIOR :
Homogénea:
Ejemplo:
Polinomio característico:
Sacando raíces:
Solución:
Cada par de raíces complejo conjugadas DIFERENTES :
Genera un par de funciones linealmente independientes:
N funciones “y” son linealmente independientes si :
Ejemplo:
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
Variación de Parámetros
Variación de parámetros es otro método para encontrar una solución particular de la ecuación
diferencial de orden n:
Si y1(x), y2(x),..., yn(x) son soluciones n-linealmente independientes de la ecuación homogénea
entonces la solución complementaria está dada por:
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(Recordar brevemente el método ya visto de “Variación de
Parámetros” para el caso de 1er. Orden)
METODO DE VARIACION DE PARAMETROS EN LA
SOLUCION DE ECS. DIF. LINEAL NO-HOMOGENEA
dy
 P ( x) y  f ( x)
dx
y  yc  y p
Sol. Complementaria es la sol.
de la ec. homogénea asociada
P ( x ) dx

y1  e

La solución particular proviene
de la forma de f(x)
y  v y1
v 

f ( x)
y1 ( x )
dx  c
METODO DE VARIACION DE PARAMETROS
(AHORA PARA ORDEN “n”)
y  yc  y p
Sol. Complementaria es la sol.
de la ec. homogénea asociada
La solución particular proviene
de la forma de f(x)
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
Variación de Parámetros
Una solución particular de L(y) = f(x) tiene la forma:
donde yi = yi(x) (i = 1,2,..., n) fueron obtenidas a partir de la homogénea asociada,
vi (i = 1,2,..., n) son las funciones por determinar.
Para hallar vi, Hay que solucionar primero simultáneamente las siguientes ecuaciones lineales vi’ para :
Y entonces se integra cada uno para obtener vi, despreciando todas las constantes de integración, lo
cual se permite porque solo buscamos solamente una solución particular
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Ecuaciones diferenciales de segundo orden
Solucionar:
  0
3
1  0 ;
 2 ,3   j
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y c  c1  c 2 cos x  c 3 senx
Ejemplo: Resolver por variación de parámetros la sig. ec.
 1  0
2
y ´´  y  sec x
1, 2   j
y c  c1 cos x  c 2 senx
y p  v1 cos x  v 2 senx
v1 ´ cos x
 v 2 ´ senx  0
v1 ´(  senx )  v 2 ´(cos x )  0
v1 ´  
sen x
cos x
v 2 ´ 1
v1  ln cos x ;
v2  x
y p  cos x ln cos x  x senx
y  y c  y p  c1 cos x  c 2 senx  cos x ln cos x  x senx
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
Ecuaciones Homogeneas: ejemplos
Solucionar:
Cuya ecuación característica es:
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