Departamento de Control, División de Ingeniería Eléctrica
Facultad de Ingeniería UNAM
Representación en espacio
de estado
México D.F. a 21 de Noviembre de 2006
Representación en espacio de estado
Control clásico
El modelado y control de sistemas basado en la transformada de
Laplace, es un enfoque muy sencillo y de fácil aplicación. Permite
analizar sistemas utilizando una serie de reglas algebraicas en lugar
de trabajar con ecuaciones diferenciales. En este enfoque tiene más
valor la simplicidad que la exactitud.
Sistema
X (s)
Entradas
Saturación
Histéresis
Salidas
Características
dinámicas
No Linealidades
Variante en
el tiempo
Fricción no
lineal
Múltiples puntos
de equilibrio
y  3 y y  f ( t )
Modelado y
y
Función de
Transferencia  t
sen  
d
dt
G (s)
Y (s)
Características
dinámicas Lineales
5
s  2s  5
2
km
 ms  1
Representación en espacio de estado
Sin embargo, la descripción de sistemas mediante la función de
transferencia tiene las siguientes limitaciones:
• No proporciona información sobre la estructura física del sistema.
• Solo es válida para sistemas lineales con una entrada y una
salida e invariantes en el tiempo.
• No proporciona información de lo que pasa dentro del sistema.
• Se necesita que las condiciones iniciales del sistema sean nulas.
Ningún sistema dinámico de interés cumple con estos requisitos, es
decir: Los sistemas reales presentan no linealidades, pueden tener
más de una entrada o salida, sus parámetros cambian en el tiempo y
sus condiciones iniciales no siempre tienen un valor de cero.
Representación en espacio de estado
Afortunadamente, para muchos sistemas es posible considerar esas
limitaciones, trabajar sobre un punto de interés, linealizar y utilizar las
ventajas del análisis por Laplace.
Sin embargo otros sistemas son tan complejos que no es posible
utilizar este enfoque. Para este tipo de sistemas se utiliza la
representación en espacio de estado. La representación es espacio de
estado presenta las siguientes ventajas:
• Aplicable a sistemas lineales y no lineales.
• Permite analizar sistemas de más de una entrada o más de una
salida.
• Pueden ser sistemas variantes o invariantes en el tiempo.
• Las condiciones iniciales pueden ser diferentes de cero.
• Proporciona información de lo que pasa dentro del sistema.
• Resultados sencillos y elegantes.
Representación en espacio de estado
Sistemas dinámicos y variables de estado
Definiciones básicas:
Sistema, se entenderá como una relación entre entradas y salidas.
Un Sistema es determinista, si a cada entrada le corresponde una y
solo una salida.
Sistema monovariable. Es aquel que solo tiene una entrada y una
salida. Si el sistema tiene más de una entrada o más de una salida se
llamará multivariable.
Sistema causal o no anticipatorio. Es aquel que su salida para
cierto tiempo t1, no depende de entradas aplicadas después de t1.
Obsérvese que la definición implica que un sistema no causal es
capaz de predecir entradas futuras, por lo tanto la causalidad es una
propiedad intrínseca de cualquier sistema físico.
Representación en espacio de estado
Sistema dinámico. Es aquel cuya salida presente depende de
entradas pasadas y presentes. Si el valor de la salida en t1 depende
solamente de la entrada aplicada en t1, el sistema se conoce como
estático o sin memoria.
La salida de un sistema estático permanece constante si la entrada no
cambia.
En un sistema dinámico la salida cambia con el tiempo aunque no se
cambie la entrada, a menos que el sistema ya se encuentre en estado
estable.
Sistema invariante en el tiempo. Es aquel que tiene parámetros fijos
o estacionarios con respecto al tiempo, es decir, sus características no
cambian al pasar el tiempo o dicho de otra forma, sus propiedades son
invariantes con traslaciones en el tiempo.
Representación en espacio de estado
Representación por medio del espacio de estado
Con la representación en espacio de estado tenemos la capacidad de
conocer y controlar en cierta medida la dinámica interna de un
sistema y su respuesta. Este método principia con la selección de las
variables de estado, las cuales deben de ser capaces en conjunto de
determinar las condiciones de la dinámica del sistema para todo
tiempo. Pueden existir varias representaciones en variables de estado
para un sistema. En forma general, un sistema visto en espacio de
estado tiene la siguiente forma
(1)
x  f ( x , t )  g ( x , t )
n
m
donde x  R , u  R , x  dx dt , f y g son generalmente mapeos
suaves de clase C  (una excepción pueden ser los sistemas con
discontinuidades).
Representación en espacio de estado
El vector x representa las variables de estado y el vector u representa
el control. A la ecuación (1) se le llama ecuación del espacio de
estado. Para realizar la representación en el espacio de estado, se
necesita manipular las ecuaciones físicas del modelo de un sistema,
de tal forma que se pueda obtener la razón de cambio respecto al
tiempo de cada variable de estado seleccionada.
A continuación se define la terminología empleada en espacio de estado:
Concepto de estado. El estado de un sistema al tiempo t0 es la
cantidad de información que junto con una entrada u t 0 ,  
,nos
permite determinar el comportamiento del sistema de manera única
para cualquier t  t 0 .
Estado. Es el conjunto más pequeño de variables (denominadas
variables de estado) tales que el conocimiento de esas variables en
t.  t 0 conjuntamente con el conocimiento de la entrada para t  t 0
determinan completamente el comportamiento del sistema en
cualquier tiempo t  t 0 .
,
Representación en espacio de estado
Variables de estado. Son las variables que constituyen el conjunto
más pequeño de variables que determinan el estado de un sistema
dinámico. Si se requieren al menos n variables ( x1 , x 2 ,..., x n ) para
describir completamente el comportamiento de un sistema dinámico,
se dice que el sistema es de orden n.
Vector de estado. Las n variables de estado forman el vector de
estado, que generalmente es un vector columna de dimensión [n x 1].
Donde n es el número de variables de estado.
Representación en espacio de estado
Sistemas Lineales invariantes en el tiempo
Cuando se trata de sistemas lineales invariantes en el tiempo, la
ecuación (1), se transforma en:
x ( t )  Ax ( t )  Bu ( t )
y ( t )  Cx ( t )  Du ( t )
 x 1 ( t )   a 11
 x ( t )   a
 2    21
    

 
x
(
t
)
 n   a n1
 y 1 ( t )   c11
 y (t )   c
 2
   21
    

 
y
(
t
)
 p   c p1
a 12

a 22



an2

c12

c 22



c p2

a 1 n   x1 ( t ) 
a2n   x2 (t )


   


a nn   x n ( t ) 
 b11
b
 21
 

 bn 1
c1 n   x 1 ( t ) 
c2n   x2 (t )


   

c pn   x n ( t ) 
 d 11
d
 21
 

 d p1
b12

b 22



bn 2

d 12

d 22



d p2

b1 m   u 1 ( t ) 
b2 m   u 2 ( t ) 


   


b nm   u m ( t ) 
d 1 m   u1 ( t ) 
d 2m   u2 (t ) 


   

d pm   u m ( t ) 
Representación en espacio de estado
Obtención de las ecuaciones de estado
La representación en espacio de estado puede ser derivada desde las
ecuaciones diferenciales que representan a un sistema, o desde
cualquier arreglo de ecuaciones diferenciales aunque estas no
representen ningún sistema. Si no se tiene el modelo matemático
(ecuaciones diferenciales) será necesario obtenerlo por medio de
leyes o teorías (físicas, químicas, monetarias, etc.)
Una secuencia muy común para obtener el espacio de estado es la
siguiente:
1. Identificar completamente el sistema. Conocer el sistema, que es
lo que hace, cuales son sus variables de interés, su
comportamiento, su interrelación al exterior, etc.
2. Identificar las leyes o teorías que gobiernan el comportamiento del
sistema. Leyes de termodinámica, Leyes dinámicas, segunda ley
de Newton, Ley de voltajes y corrientes de Kirchoff, Ley de
Ampere, Ley de Ohm, Ley de Boyle, etc.
Representación en espacio de estado
3. Definir las ecuaciones diferenciales que representen el
comportamiento del sistema. El grado de complejidad dependerá
de la fidelidad del modelo al comportamiento del sistema y de las
necesidades de simulación, medición o control. Los pasos 1,2,3
son básicos de cualquier modelado.
4. Seleccionar las variables de estado. Son las variables mínimas
que determinan el comportamiento dinámico del sistema. Si se
escogen menos de las necesarias, el espacio de estado no
representa todo el comportamiento del sistema, si se definen más,
el espacio de estado es redundante.
5. Encontrar la dinámica de cada estado. Es decir, encontrar la razón
de cambio respecto al tiempo de cada variable de estado (su
derivada).
6. Desplegar el arreglo de las dinámicas del estado como en la
ecuación (1) o como el arreglo de las ecuaciones (2)-(3) si las
ecuaciones son lineales o linealizadas.
Representación en espacio de estado
Ejemplo:
1) Represente por medio de espacio de estado el siguiente sistema
mecánico.
Donde: u (t ) es la fuerza aplicada, K es
Resorte
la constante del resorte, b es el
u (t )
K
coeficiente de fricción viscosa. La fuerza
masa
y (t )
del resorte se considera proporcional a
la posición y la fuerza del amortiguador
b
es proporcional a la velocidad. y(t) es la
amortiguador
posición de la masa.
Solución:
Utilizando la segunda ley de newton, se obtiene la ecuación de
sumatoria de fuerzas:
masa  aceleració n  fuerza aplicada  fuerza amortiguad or  fuerza resorte
m y( t )  u ( t )  b y ( t )  ky ( t )
Representación en espacio de estado
Se desea conocer la posición y la velocidad de la masa para todo
tiempo. Por esta razón se asignan como variables de estado.
x1 ( t )  y ( t )
x 2 ( t )  y ( t )
El siguiente paso es determinar las dinámicas del estado. Para la
variable de estado x1 ( t ) , su derivada es la variable de estado x 2 ( t )
x 1 ( t )  y ( t )  x 2 ( t )
Mientras que la derivada del estado x 2 ( t ) se obtiene de la ecuación
de sumatorias de fuerzas:
m y( t )  u ( t )  b y ( t )  ky ( t )

m x 2 ( t )  u ( t )  bx 2 ( t )  kx 1 ( t )

x 2 ( t )  
k
m
x1 ( t ) 
b
m
x2 (t ) 
1
m
u (t )
Representación en espacio de estado
Finalmente se agrupan las dos ecuaciones de estado:
x 1 ( t )  x 2 ( t )
x 2 ( t )  
k
m
x1 ( t ) 
b
m
x2 (t ) 
1
u (t )
m
como la representación es lineal, se puede indicar en matrices
 x1 ( t )   0
k
 x ( t )    
 2   m
1   x (t ) 
b 1
 x (t ) 

m   2 
0
 1 u (t )
 m 
Representación en espacio de estado
Obtención de las ecuaciones de estado a partir de la función de
transferencia
A partir de la función de transferencia, se obtiene la ecuación diferencial,
se definen las variables de estado y se busca su dinámica.
Ejemplo 1:
U (s)
Y (s)

U (s)
K
K
Y (s)
s7
s7

( s  7 )Y ( s )  KU ( s )

dy ( t )
dt
 7 y ( t )  Ku ( t )

dy ( t )
dt
  7 y ( t )  Ku ( t )
Representación en espacio de estado
Ejemplo 2:
Y (s)

U (s)
K
U (s)
s  7 s  5s  2
3
2
( s  7 s  5 s  2 )Y ( s )  KU ( s )
3
2
y  7 y  5 y  2 y  Ku
se define:
y1  y , y 2  y , y 3  y
y las ecuaciones de estado quedan:
y 1  y 2
y 2  y 3
y 3   2 y  5 y 2  7 y 3  Ku
K
s  7 s  5s  2
3
2
Y (s)
Representación en espacio de estado
Si la función de transferencia es muy complicada, se puede utilizar
Matlab.
Ejemplo 3:
Y (s)
U (s)
s  4s  5
3

2
s  17 s  5 s  20 s
4
3
2
Utilizando:
>> num=[1 4 0 5];
>> den=[1 17 5 20 0];
>> [A,B,C,D]=tf2ss(num,den)
Representación en espacio de estado
Se obtiene:
A=
-17
1
0
0
B=
1
0
0
0
C=
1
D=
0
-5 -20 0
0 0 0
1 0 0
0 1 0
x1   17 x1  5 x 2  20 x 3  u
x 2  x1

x 3  x 2
x 4  x 3
y  x1  4 x 2  5 x 3
4
0
5
Representación en espacio de estado
Transformada de Laplace de representaciones en espacio de estado
Obviamente solo podemos obtener la transformada de Laplace de
sistemas lineales invariantes en el tiempo, una entrada, una salida, con
condiciones iniciales iguales a cero. La representación lineal en espacio
de estado en forma vectorial son las ecuaciones (1)-(2)
x ( t )  Ax ( t )  Bu ( t )
y ( t )  Cx ( t )  Du ( t )
La transformada de Laplace de las ecuaciones (1)-(2)
sX ( s )  x 0  AX ( s )  BU ( s )
Y ( s )  CX ( s )  DU ( s )
Modificando las ecuaciones se tiene que
(1)
(2)
Representación en espacio de estado
( sI  A ) X ( s )  x 0  BU ( s )
X ( s )  ( sI  A )
1
Y ( s )  C ( sI  A )
x 0  ( sI  A )
1
1
BU ( s )
x 0  C ( sI  A )
1
BU ( s )  DU ( s )
si las condiciones iniciales son iguales a cero, x 0  0 , entonces

Y ( s )  C ( sI  A )
1

B  D U (s)
o como normalmente se describe
G (s) 
Y (s)
U (s)
 C ( sI  A )
1
BD
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