LÍMITE DE UNA
FUNCIÓN
Definición intuitiva de
límite.
3
Consideremos la función
y 
x  x
x 1
El dominio es Df = R \ {1}
Evalúa la función en los números dados y explica
el comportamiento.
X
y
X
y
0
0.5
0.8
0.9
0.99
0.999
0.9999
2
1.5
1.2
1.1
1.01
1.001
1.0001
En el primer cuadro, ¿a qué número se aproxima x?
En el mismo cuadro, ¿a qué valor se aproxima “y”?
Es decir, cuando x se aproxima lo más cercano posible a 1
por la izquierda, el valor de y= f(x) tiende a 2.
En el segundo cuadro, ¿a qué número se aproxima x?
En el segundo cuadro, ¿a qué número se aproxima “y”?
Es decir, cuando x se aproxima lo más cercano posible a 1
por la derecha, el valor de “y” tiende a 2.
¿Crees que si aproximamos todavía más los valores de x al
valor dado, los valores de y se aproximen más al valor
observado?
Concepto de límite
SI f(x) SE ACERCA ARBITRARIAMENTE A
UN NÚMERO L, CONFORME x SE APROXIMA
A UN NÚMERO a TANTO POR LA
IZQUIERDA COMO POR LA DERECHA,
ENTONCES “EL LÍMITE DE f(x) CUANDO x
TIENDE A a ES L”, LO CUAL SE DENOTA
COMO:
lím f ( x )  L
xa
Ejemplo:
Sea la función
Hallar
lím f ( x )
f (x) 
1.8
1.9
1.99
1.999
2.001
Por lo tanto
x2
lím
x2
x22
2
x2
X
y
x2
x22
4
2.01
2.1
2.2
y
y = (x-2)/(sqrt(x+2)-2)
o
4
3
2
1
x
-2
-1
1
2
3
4
5
DEFINICIÓN FORMAL DEL
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN.
Se quiere fabricar placas de acero de
8cm x 8cm.
8 cm
8 cm
Es decir, de 64 cm2 de superficie.
En la realidad, resulta imposible fabricar
placas con 64 cm2 de superficie, siempre
se elabora con cierta aproximación, o
sea, que cumpla las especificaciones
dentro de la tolerancia.
1)
2)
3)
4)
5)
Para cualquier medida de los lados de la placa:
A (L) = L2
Si consideramos las siguientes tolerancias:
A
A
A
A
A
(L)
(L)
(L)
(L)
(L)
=
=
=
=
=
64
64
64
64
64
±0.75
±0.50
±0.25
±0.125
±0.1
esto implica que
63.25< A (L) <64.75
63.5 < A (L) <64.5
63.75< A (L) <64.25
63.875< A (L) <64.125
63.9< A (L) <64.1
Se debe encontrar un intervalo para L de tal
manera que A ( L) esté dentro del intervalo de
tolerancia.
Tolerancia de menos Tolerancia de más
L
L
8
Tolerancia de menos
Tolerancia de más
A(L)
A(L)
64
Es decir:
Si 7.96 < L < 8.04
Si 7.97 < L < 8.03
Si 7.99 < L < 8.01
→
→
→
63.25 < A (L) <64.75 ¡cumple!
63.5 < A (L) <64.5 ¡cumple!
63.75 < A (L) <64.25 ¡cumple!
Si se quiere más precisión de A (L),
significa que L debe estar lo más
cercano posible a 8. O sea, existe una
pequeña diferencia de A (L) con 64,
análogamente, existe también una
pequeña diferencia de L con 8.
Por la definición intuitiva de límite:
lím A ( L )  64
L8
Si esas pequeñas diferencias que existen
de L con 8 y de A (L) con 64 les llamamos
δ(delta) y ε(épsilon) respectivamente,
tendríamos:
8 – δ < L< 8 + δ ↔ 64 - ε < A (L) < 64 + ε
↔ Significa si y sólo si.
También se puede escribir como:
– δ < L - 8 < δ ↔ - ε < A (L) - 64 < ε
Lo anterior quiere decir que si L se
encuentra en el intervalo (8- δ, 8+ δ),
entonces A (L) se encuentra en el
intervalo abierto (64- ε, 64+ ε)
a
L
x
f (x)
a –δ
a +δ
L–ε
L+ε
Por propiedades del valor absoluto, las
desigualdades:
–δ<L-8<δ
↔
- ε < A (L) - 64 < ε
Se pueden escribir como:
L8 

A ( L )  64  
Como el valor de L se aproxima a 8 sin llegar a
ser 8, entonces L – 8 ≠ 0 y por lo tanto
L8  0
De lo anterior:
0 L8 

A ( L )  64  
Ahora, generalizando para cualquier
función f (x) cuando x → a, tenemos:
0 xa 

f (x)  L  
Definición formal de límite.
Consideremos un intervalo abierto que
contenga al número a. Sea f una
función definida en todos los números
del intervalo excepto posiblemente en
a y sea L un número real. Entonces:
lím f ( x )  L
xa
Significa que para todo ε > 0 existe una δ > 0
tal que:
Si 0 < | x – a | < δ, entonces | f (x) – L | < ε
Interpretación geométrica:
L+ε
L
L-ε
ε
ε
δ
a-δ
δ
a
a-δ
Ejemplo:
1. Sea la función f definida por f (x) = 4x – 7. Suponiendo
que
lím f ( x )  5
x3
a) Utilizando una figura, para ε = 0.01, determinar una δ > 0
tal que si 0 < | x – 3 | < δ entonces | f (x) – 5 | < 0.01
b) Usando las propiedades de las desigualdades, determinar una δ > 0
tal que si 0 < | x – 3 | < δ entonces | f (x) – 5 | < 0.01
Solución:
f (x) =4 x - 7
5.01
5
4.99
x1
3
x2
Solución a)
4 x1 - 7 = 4.99
x 
1
11 . 99
4
 2 . 9975
4 x2 – 7 = 5.01
x 
2
Como 3 – 2.9975 = 0.0025
Y
3.0025 – 3 = 0.0025
Se elige δ = 0.0025, de tal forma que
0 < | x-3| < 0.0025 entonces | f (x) – 5 | < 0.01
Lo cual es verdadero.
12 . 01
4
 3 . 0025
Solución b)
Para toda ε > 0 y δ > 0, se debe cumplir que:
0 xa 

f (x)  L  
Donde a = 3, L = 5 y f (x) = 4 x – 7, ε = 0.01
Entonces:
0 < | x - 3 | < δ si y sólo si
| (4x – 7) - 5 | < 0.01
Tomando la segunda ecuación:
| (4x – 7) - 5 | < 0.01
| 4x – 7 - 5 | < 0.01
| 4x – 12 | < 0.01
| 4 (x – 3 ) | < 0.01
| 4 | | x – 3 | < 0.01
4 | x – 3 | < 0.01
x3 
0 . 01
4
Si tomamos
 


0 . 01
4
 0 . 0025
4
entonces:
0 < |x - 3 | < δ si y solamente si
es verdadero!
Puesto que:
0 < | x - 3 | < 0.0025
4 | x - 3 | < 4 ( 0.0025 )
| 4 (x – 3) | < 0.01
| 4x - 12 | < 0.01
| ( 4x – 7) - 5 | < 0.01
| f (x) - 5 | < 0.01
QUEDA DEMOSTRADO!
| (4x – 7) - 3 | < ε
Límites de funciones
Analicemos la función:
La función está definida para toda x diferente de 1.
Podemos simplificar la función de la siguiente manera:
x 1
2
f x  
x 1

 x  1 x  1
x 1
x1
 x 1
y
y
2
2
1
y  f x  
x 1
2
y=x+1
1
x 1
–1
–1
0
1
x
0
1
x
Valores de x menores y
mayores 1que 1
0.9
1.1
0.99
1.01
0.999
1.001
0.999999
1.000001
f x  
x 1
2
x 1
 x 1
x1
1.9
2.1
1.99
2.01
1.999
2.001
1.999999
2.000001
Decimos que f(x) está muy cercano a 2 conforme x se
aproxima a 1.
2
lim f  x   2 o lim
x 1
x 1
x 1
x 1
2
Funciones sin límite
en un punto
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
 , x0
b) y   x

 0, x  0
0
-0.2
-0.4
-0.6
Crece
demasiado
-0.8
-1
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
10
 0, x  0

c) y  
1
sen , x  0

x

8
0, x  0
a) y  
 1, x  0
6
4
2
0
La función
salta
Oscila
demasiado
-2
-4
x
-6
-8
-10
-3
-2
-1
0
1
2
3
0.5
Límites por un lado y
bilaterales
Una función f(x) tiene un limite cuando x tiende a c si y sólo
si tiene límites por la derecha y por la izquierda en ese punto
y éstos son iguales:
Limx  c f (x) = L  Limx  c– f (x) = L y Limx  c+ f (x) = L
Ejercicio
Encontrar
y
y = g(x)
lim g  x 
x  1
lim g  x 
x  2
lim g  x 
x  3
1
1
2
3
x
Aplicación práctica de Límites
¿Por qué las marcas de una taza de medir de un litro miden alrededor de
un milímetro de ancho?
Si la taza es un cilindro circular recto de 6 cm de radio, el volumen
es
V = p62h = 36ph
¿Con qué precisión se debe
medir h para medir 1 L(1000
cm3) con un error no mayor de
1% (10 cm3)?
r = 6 cm
Para que valores de h se satisface
| V – 1000 | = | 36ph – 1000 |  10
| 36ph – 1000 |  10
–10  36ph – 1000  10
990  36ph  1010
990 /36p  h  1010 /36p
8.8  h  8.9
8.9 – 8.8 = 0.1 cm = 1mm
h
Reglas para calcular
límites
Teorema #1
Las reglas siguientes son válidas si limxc f(x) = L y limxc g(x) =
M (L y M son números reales)
1. Regla de la suma:
limxc [f(x) + g(x)] = L + M
2. Regla de la resta:
limxc [f(x) – g(x)] = L – M
3. Regla del producto:
limxc f(x) ∙ g(x) = L ∙ M
4. Regla del producto:
limxc k f(x) = kL
por una constante
5. Regla del cociente: limxc f(x) / g(x) = L / M, M  0
6. Regla de la potencia:
limxc [f(x)]m/n = Lm/n
Límites de Polinomios
Teorema #2
Los límites de polinomios pueden ser calculados por sustitución
Si P(x) = anxn + an–1 xn–1 +...+ a0, entonces
limxc P(x) = P(c) = ancn + an–1 cn–1 +...+ a0
Teorema #3
Los límites de las funciones racionales pueden calcularse por
sustitución si el límite del denominador no es cero.
Si P(x) y Q(x) son polinomios y Q(c)  0, entonces
limxc P(x) / Q(x) = P(c) / Q(c)
Eliminación de
denominador cero
Si en el cálculo del límite de una fracción el denominador es
cero, se puede en algunos casos simplificar la fracción y
calcular el límite.
x x2
2
lim
x 1
lim
h 0
x x
2
2h 
h
2
Teorema del
emparedado
supóngase que g(x)  f(x)  h(x) para toda x en algín intervalo
abierto que contenga a c, excepto posiblemente en x = c.
Supóngase tambien que
lim g  x   lim h  x   L
x c
x c
Entonceslim f  x   L
y
x c
h
f
L
g
c
x
ejemplos
y
lim
y 5
2
5 y
5
lim
h 0
5h  4  2
x  3 x  10
2
lim
x 5
lim
x 1
x5
x 1
x32
Límites infinitos
Si el valor de una función crece rebasando el valor de
cualquier real positivo, se dice que la función tiende a
un límite infinito positivo.
lim f  x   
x c
Similarmente si el valor de la función disminuye
rebasando el valor de cualquier real negativo, se dice
que la función tiende a un límite infinito negativo.
lim f  x   
x c
y = 1/(x – 1)
y
6
lim 
4
x 1
1
x 1

2
0
x
-2
lim 
x 1
-4
-6
-2
-1
0
1
2
3
1
x 1
 
y = 1/x²
y
25
lim 
x 0
20
15
y
x 0
5
0
-2
-1
0
1

2
lim 
-3
x
2
1
x
10
1
2
3
x
1
x
2

y = 1/(x + 3)²
y
25
lim
x  3
20
15
y
10
 x  3 2
x 3
5
0
-4
-2
0

x  3
2

1
lim 
-6
1
2
4
6
x
1
x  3
2

LÍMITES AL INFINITO
En una función “f” de variable real “x”, pudiera pasar que la
variable independiente tienda al infinito y aún así el límite de
la función existe y es un número L, es decir:
Lim f(x)= L
x→∞
Determine :
Lim 2x-1/x+2
x→∞
Continuidad
Continuidad en un punto
Una función f es continua en un punto interior x = c de su
dominio, si
lim f  x   f c 
x c
Ejemplos
y
y = f(x)
1
1
x
0
x
0
y
y
2
1
y = f ( x)
1
y = f( x)
y = f(x)
x
0
x
Criterio de continuidad
Una función f es continua en un punto x = c si y solo si
cumple las tres condiciones siguientes:
1. f(c) existe
(c está en el dominio de f)
2. Limx c f(x) existe
(f tiene un límite cuando xc)
3. Limx c f(x) = f(c)
función)
(el límite es igual al valor de la
Reglas de continuidad
Teorema 6
Si las funciones f y g son continuas en x = c, entonces las
siguientes funciones son continuas en:
1. f + g y f – g
2. f g
3. kf, donde k es cualquier número
4. f/g (si g(c) ≠ 0)
5. (f(c))m/n (si f(x) está definida en un intervalo que contenga
a c, y m y n son enteros)
Continuidad de
polinomios
Teorema 7
Todo polinomio es continuo en cualquier punto de la recta real.
Toda función racional es continua en todo punto donde el
denominador sea distinto de cero.
Ejemplo:
r x  
f x 
g x 
x  20
4

5 xx  2 
Es continua para toda x, excepto en x = 0 y x =
2.
La función f(x) = | x | es continua dado que f(x) = x (un
polinomio) si x>0 y f(x) = –x (un polinomio) si x < 0 y
además limx0| x | = 0.
Continuidad de la
composición
Teorema 8
Si f es continua en c, y g es continua en f(c), entonces g ° f
es continua en c.
g°f
Continua en
f
c
Continua en
c
f (c)
g
Continua en g(f (c))
f(c)
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