Introducción al cálculo de órbitas
Tema 10
Leyes de Newton
F G
“Dos puntos materiales A y B de masas m y m’ situados a una
distancia d ejercen uno sobre otro una fuerza de gravitación dirigida
según AB directamente proporcional al producto de sus masas e
inversamente proporcional al cuadrado de su distancia”
m. m '
d
2
2
 2 
3

 a 2  G ( m1  m 2 )
 P2 
“Si un cuerpo de masa m2 está orbitando alrededor de otro de
masa m1 con un periodo P2 y un semieje mayor a2 se verifica”
Leyes de Keppler
1.
Los planetas describen órbitas elípticas en uno de cuyos focos está el Sol.
2.
Las áreas barridas por el radio vector en tiempos iguales son iguales. Es decir el Área es
proporcional al tiempo que tarda en recorrerla.
3.
Los cubos de los semiejes mayores son proporcionales a los cuadrados de los periodos.
3
a2
a
3
3
2

P2
2
P3
El sistema solar consta de 9 planetas 90
satélites 29074 asteroides situados entre Marte
y Júpiter de los que sólo 8830 tienen nombre y
878 cometas aproximadamente.
•
PERIHELIO: Instante en que el astro se
encuentra más cerca del Sol. Por la primera
de ley de Keppler esto ocurrirá cuando se
encuentre en un extremo del semieje mayor.
Y por la segunda ley sabemos que en ese
momento debe moverse más rápido en su
órbita. (En el caso de hablar de la Tierra y sus
satélites se habla de PERIGEO)
•
AFELIO: Instante en que el astro se
encuentra más lejos. Es decir al otro extremo
del semieje mayor, en ese momento debe
moverse más despacio en su
órbita.(APOGEO en caso de tratarse de la
Tierra y sus satélites)
•
Por la Tercera Ley de Keppler sabemos que
cuánto más alejados están los planetas más
lentamente se mueven en su órbita, es decir,
su periodo orbital es mayor.
ELEMENTOS ORBITALES o KEPPLERIANOS
i = inclinación del plano de la órbita
 = Longitud eclíptica del Nodo Ascendente.
Posición del plano orbital
a = semieje mayor de la elipse.
e = excentricidad
 = Argumento del perihelio.
Dimensión de la elipse
Orientación de la elipse
t0 = Instante de paso por el perihelio
En el sistema Eclíptico las coordenadas son λ y β
Plano orbital. Coordenadas en el sistema orbital
En el sistema Orbital las
coordenadas son
r
x  r cos v
y  rsenv
•ANOMALÍA VERDADERA (v): Ángulo formado en el foco de la elipse entre la dirección del perihelio y la
dirección del planeta. Varia de 0-360 en el transcurso de un periodo orbital y es cero en el perihelio.
•ANOMALÍA EXCÉNTRICA (E): Considerando la circunferencia de radio el semieje mayor de la órbita y
proyectando, perpendicularmente al eje x, sobre ella la posición del planeta, se define E como el ángulo en
el centro de la elipse entre la dirección del perihelio y la dirección de la proyección del planeta. Como la
verdadera ésta también es cero en el perihelio y varía de 0-360.
•MOVIMIENTO MEDIO (n): Velocidad angular constante con que se movería el planeta en una órbita
circular. n=2/P. Donde P es el periodo orbital. Fácil de determinar por la tercera ley de Keppler.
•ANOMALÍA MEDIA (M): Arco que recorrería el planeta que se moviera sobre una circunferencia con
movimiento circular uniforme y velocidad el movimiento medio. M=n(t-t0), siendo t0 el instante de paso por
el perihelio. Como las otras dos anomalías también es un ángulo que es cero en el perihelio y varia de 0360 pero ésta variación a diferencia de las otras anomalías es uniforme en el tiempo.
Relación entre elementos orbitales y coordenadas
eclípticas.
v
sen 
seni

sen (  v )
 sen   sen (  v ) seni
sen 90
cos(   v )  cos(    ) cos 
sen (  v ) cos i  cos  sen (    )
Dividiendolas
tan(    )  tan(   v ) cos i
λ, β se pueden obtener en función de los elementos orbitales ω,v, i, Ω
r se obtiene en función de a, e, E
E se obtiene por la ecuación de Keppler E=M+e sin E
Y las coordenadas espaciales se
pueden expresar como
x  r cos  cos 
y  r sen  cos 
z  r sen 
Cálculo de la posición espacial en un instante t en
función de los elementos orbitales.
• Calcular movimiento medio n
• Calcular la anomalía media M
• Calcular la anomalía Excéntrica E (por aproximaciones
sucesivas de la ecuación de Keppler E0=M, E1=M+e sin(E0)
,… En=M+e sin(En-1)).
• Calcular r en función de a,e,E r  a (1  e cos E )
(1  e )
v
E
tan   
tan  
• Calcular anomalía verdadera
(1  e )
2
 2 
• Calcular coordenadas eclípticas en función de ω,v, i, Ω
• Calcular la posición espacial en un instante t
Tipos de órbitas en satélites artificiales
• Polares (i=90), Ecuatoriales (i=0)
• LEO :bajas, semieje 600 -1.600 km. se usan para
estudiar el campo de gravedad de la Tierra,
Atmósfera, telefonía etc…
• MEO :medias 10.000 -20.000 km. se usan para
posicionamiento.
• GEO: Órbita Terrestre Geosíncrona (24 horas
periodo), altas, de semieje 36.0000 km.
Geoestacionarias= Geosíncrona ecuatorial.
SATÉLITES ARTIFICIALES. CONSTELACIÓN GPS
•6 planos orbitales con 4 satélites por plano.
•Inclinación semieje mayor y periodo aproximado de 550,
26.000 Km y 12 horas sidéreas respectivamente.
•El sistema de referencia empleado para definir los
elementos orbitales es GEOCÉNTRICO ECUATORIAL
ABSOLUTO.
•Se utilizan los mismos elementos orbitales donde la longitud
del nodo ascendente se sustituye por ascensión recta del
nodo ascendente.
EJERCICIO. Calcular la posición de uno de los satélites
GPS 3 horas después de su paso por el perihelio si sus
elementos orbitales son:
a=26.000 Km e=0.0094 i=550 ω=173010’ Ω=57036’
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