Clase 71
2
sen x
+
2
cos x
=1
cos(x + y) = cosx cosy – senx seny
sen 2x = 2 senx cos x
Igualdades donde al menos
aparece una variable.
Ecuaciones
Solo se
satisfacen para
algunos valores
del dominio de
la varible.
Identidades
Se satisfacen
para todos
los valores
del dominio
de la varible.
Identidades
fundamentales
sen2x + cos2x = 1
sen2x = 1 – cos2x
sen x
tan x =
cos x
1+
2
tan x
cos2x = 1 – sen2x
cos x
cot x =
sen x
1
=
cos2 x
2
1 + cot x =
1
sen2 x
Fórmulas de adición
sen(x  y) = sen x cos y  cos x sen y
sen x  sen y
tan x  tan y
1

tan(x  y) =

cos(x  y) = cos x cos y
tan x tan y
Fórmulas del ángulo duplo
sen 2x = 2 senx cosx
2
2
cos 2x = cos x – sen x
2
= 1 – 2 sen x
2
= 2 cos x – 1
2 tan x
tan 2x =
2
1 – tan x
Ejercicio 1
Demuestra las siguientes
identidades.
2
a) (sen x + cos x) = 1 + sen 2x
b) sen 3x = 3 sen x – 4 sen3x
2
x)
a) (sen x + cos
2
2
= sen x + 2 sen x cos x + cos x
= 1 + sen 2x
se cumple
b) sen 3x = 3 sen x – 4
3
sen x
sen 3x = sen (x + 2x)
= sen x cos 2x + cos x sen 2x
= sen x (1–2 sen2x) + 2 sen x cos2x
= sen x –2
3
sen x +2
sen x
2
(1–sen x)
= sen x –2 sen3x +2 sen x – 2 sen3x
= 3 sen x – 4
3
sen x
se cumple
Ejercicio 2
Demuestra las siguientes
Para
el
estudio
individual
identidades para los
valores admisibles de la
variable.
a)
4
cos y
–
4
sen y
= cos 2y
4
cot
2x
3
2
2
d)
4 cos
b) cos
cot 3x
x –=tan
x =x – 3 senx
sen 2x
2
2 cos x
2
c)
– tan x = sen 2x
sen 2x
a)
4
cos y
4
cos y
–
–
4
sen y
= cos 2y
4
sen y
1
= (cos2y + sen2y)(cos
y)
cos2y – sen2y
=
= cos 2y
se cumple
b) cot2x – tan2x =
2
cot x
–
2
tan x
4 cot 2x
sen 2x
cos4x –sen4x
=
=
sen2x cos2x
4 cos 2x
cos 2x
=
=
2
2
sen x cos x 4 sen2x cos2x
cos2x
sen2x
2x
sen
–
cos2x
4 cos 2x
4 cot 2x
=
=
2
sen 2x
sen 2x
se cumple
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Clase 71: Demostración de Identidades