Cálculo de ceros de funciones de Rn–> Rn :
Supongamos una función que asigna una n-tupla a una n-tupla, es decir:
f : R
n
x
 R
n
 y  f (x)
donde:
x  ( x1 , x2 ,
, xn )
con
y  ( y1 , y 2 ,
, yn )
con
x i  R 

i
y i  R 

Podemos entender la función de Rn en Rn como una función de n
componentes, siendo cada una de esas n componentes una función de Rn
en R:
y i  fi ( x 1 , x 2 ,
, xn )
i  1, 2,
, n
donde:
fi : R
x
n
 R
 y i  fi ( x )
Si queremos encontrar un cero de la función de Rn en Rn tendremos que
buscar una n-tupla (x1, x2, …, xn) de la siguiente forma:
f ( x1 , x 2 ,
, x n )  ( 0 , 0,
, 0)
f ( x )  ( 0)
Lo anterior es equivalente a resolver el siguiente sistema de n
ecuaciones (que, pueden ser no lineales) con las n incognitas x1, x2, …, xn:
f1 ( x1 , x 2 ,
f2 ( x 1 , x 2 ,
f n ( x1 , x2 ,
, x n )  0 

, x n )  0 
fi ( x 1 , x 2 ,
, xn )  0
 
i  1, 2,
, n


, x n )  0 
Si las ecuaciones son lineales, el problema se puede solucionar con los
procedimientos usuales; por ejemplo, con la regla de Cramer si la matriz
de los coeficientes es regular (es decir, si la solución existe y es única).
Cuando las ecuaciones no son todas lineales, vamos a ver un
procedimiento numérico, llamado método de Newton-Raphson, que nos
va a permitir obtener soluciones numéricas aproximadas.
Método de Newton-Raphson:
Este procedimiento se basa en la extensión del método de Newton
que vimos para funciones de R en R, para su aplicación en funciones de
Rn en Rn .
De la misma manera que en el método de Newton, en una dimensión,
aproximábamos el comportamiento local de la función en un punto inicial
adecuado, x0, truncando el desarrollo en la primera derivada:
f ( x)  f ( x 0 )  f ' ( x 0 )( x  x 0 )
ahora en n dimensiones, aproximaremos las funciones, fi(x1, x2, …, xn)
de Rn en R en una n-tupla inicial adecuada, (x10, x20, …, xn0) truncando el
desarrollo en las primeras derivadas parciales:
fi (x 1 , x 2 ,

, x n )  fi ( x 10 , x 20 ,
 fi ( x 10 , x 20 ,
 x2
, x n0 )
, xn 0 ) 
 x 2  x 20  
 fi ( x10 , x 20 ,
x 1
 fi ( x 10 , x 20 ,
x n
, x n0 )
x1 
, x n0 )
x n
x 10  
 xn 0 
Tomando las siguientes abreviaturas:
fi (x 10 , x 20 ,
 fi ( x 10 , x 20 ,
, x n 0 )  fi 0
, xn 0 )
x j
  j fi0
nos queda que:
n
fi (x 1 , x 2 ,
, x n )  fi0 

j
fi 0 x j  x j0 
j 1
i  1, 2,
, n
que constituyen el siguiente sistema de n aproximaciones:

   j f10 x j  x j0  

j 1
n

   j f20 x j  x j 0 

j 1


n

   j fn 0 x j  x j 0 
j 1

n
f1 ( x 1 , x 2 ,
, x n )  f10
f2 ( x 1 , x 2 ,
, x n )  f20
f n ( x1 , x2 ,
, x n )  fn0
que se pueden escribir matricialmente del siguiente modo:
f ( x )  f ( x0 )  J ( x  x0 )
 f1 ( x 1 , x 2 ,

 f2 ( x 1 , x 2 ,
f ( x )  


 fn ( x 1 , x 2 ,
  f
 1 1
 1 f 2
J  


 1 f n
 2 f1
 2 f2
 2 fn
, x n ) 

, x n )



, x n )
 f1 ( x 10 , x 20 ,

 f2 ( x 10 , x 20 ,
f ( x 0 )  


 fn ( x 10 , x 20 ,
, x n 0 ) 

, x n 0 ) 



, x n 0 ) 
 x 1  x 10 



 x 2  x 20 
 n f2 

 x  x 0  






 x n  x n 0 
 n fn 
 n f1 
y  f ( x 0 )  J (x  x 0 )
Buscamos ahora una n-tupla, (x11, x21, …, xn1) para la que el hiperplano
tangente a la función se anule:
 x 11 
 
 x 21 
y ( x 1 )  0  y   
 
 
 x n 1 
0 
 
0 
 
 
 
0 
0  f ( x 0 )  J ( x1  x 0 )
Por tanto, la n-tupla (x11, x21, …, xn1) en la que el hiperplano tangente
se hace cero es:
0  f ( x 0 )  J ( x1  x 0 )
J ( x1  x 0 )   f ( x0 )
x1  x 0   J
1
f (x0 )
x1  x 0  J
1
f ( x0 )
x1  x 0  J
1
f ( x0 )
donde:
 x 10 
 
x 20 
x 0   
 
 
x n 0 
 x 11 
 
 x 21 
x 1   
 
 
 x n 1 
 f1 ( x 10 , x 20 ,

 f2 ( x 10 , x 20 ,
f ( x 0 )  


 fn ( x 10 , x 20 ,
, x n 0 ) 

, x n 0 ) 



, x n 0 ) 
1
y donde
siendo
J
J el
es la matriz
jacobiano
inversa
en el
punto
de J ,
x0
Es decir, partiendo de una n-tupla adecuada, (x10, x20, …, xn0),usamos
la fórmula:
x1  x 0  J
1
f ( x0 )
para obtener otra n-tupla (x11, x21, …, xn1) más aproximada al cero de
la función. Esta nueva n-tupla se puede usar como punto de partida para
obtener otra n_tupla (x12, x22, …, xn2) que sea una mejor aproximación al
cero mediante la siguiente expresión:
x2  x1  J
donde ahora, J
n-tupla x 1
1
1
f ( x1 )
es la matriz inversa del jacobiano calculado en la
Así, mediante este proceso iterativo, nos iríamos aproximando al cero.
Partiendo del punto x = 1, y = 1/2, resolver el siguiente sistema:

  0 

x
2
ln xy  x  0 

sen y
1
Lo anterior es equivalente a:
f1 ( x, y)  0 


f2 ( x , y )  0 

f1 (1,
f2 (1,
1
sen
con
f1 ( x, y) 
1
)
2
1
)  ln
1
2

1
x
2
f2 ( x , y)  ln xy  x
2  1  0.0205745
1
2
2
sen y
 1  0.306853
 f1 (x , y)
x
 
x
 f2 ( x, y)
x

1
2
1
 f1 (1, )
;
2  
sen
1
2
y
2
y
2  2
1
 f1 (1, )
;
y
 f2 (1, )
;

y
1
y
cos
2 
1
 f2 (1, )

cos y
x
f2( x , y )
1
1
x
;
 f1 ( x , y)
x
1
x
sen y
2  2
1
2
1
1
1
 f1 (1, )
x
2  0.479426
1
x
f1 ( x , y )  f1 (1,
f2 ( x , y )  f 2 (1,
2
;
y
 0.877583
1
 f2 (1, )
2  2
f1 (1, )
 f2 (1, )
;
1
y
)
2  2
 f1 (1,
2
x
1
 f2 (1,
2
)
x
1
)
2 ( x  1) 
1
)
2 ( x  1) 
 f1 (1,
y
 f2 (1,
y

)

1
2 ( y  ) 
2 

1

)
2 ( y  1 ) 

2 
1
1 
f1 ( x , y )   0.0205745  0.479426 ( x  1)  0.877583 ( y  ) 
2 

1

f2 ( x, y )  0.306853  2( x  1)  2( y  )


2
Haciendo f1(x1,y1) = f2(x1,y1) = 0, se obtiene (x1,y1):
1 
0   0.0205745  0.479426 ( x 1  1)  0.877583 ( y1  ) 
2 

1

0  0.306853  2( x 1  1)  2( y1  )


2
0   0.0205745  0.479426
   
  
2
0   0.306853  


0.877583  x 1  1 

1


2
y 1  
2
 x1 

 
 
 y1 
 1  0.479426
 1   
  
2
 2 
1
0.877583   0.0205745 
 

2
  0.306853 
x1  x 0  J
1
f ( x0 )
 x1   1 
 2
1


 
    
 y1  0.5 2.714018  2
 x1   1 

 
    
 y1  0.5
 0.877583 0.0205745 


 0.479426  0.306853 
 0.1143831 


 0.0390433 
 x1  0.8856169 


 
  
 y1  0.4609566 
 f1 ( x 1 , y 1 )  0.00225449 


 

  
 f 2 ( x 1 , y1 ) 0.0103053 
x2  x1  J
1
f ( x1 )
 x 2  0.8856169  0.567124

  
 
  
 y 2  0.4609566   2.12916
1

0.00225449 
1.0113
 

2.1694   0.0103053 
 x 2  0.8856169 
 2.1694
1

 

 
  
 y 2  0.4609566   3.3835383  2.12916
1.0113 0.00225449 


0.567124 0.0103053 
 x 2  0.8856169  4.52557 10  3 


  
 
  

4 
 y 2  0.4609566  3.08672 10 
 x 2  0.8901424 
 f1 ( x 2 , y 2 ) 

  

 
  

 
 y 2  0.4612652 
 f 2 ( x 2 , y 2 ) 
x3  x2  J
 x 3 

 
 
 y 3 
 x 3 

 
 
y
 3 
1
0.8901424  0.567121

  
0.4612652   2.12342
f ( x2 )
1
1.0061 

2.16795 
0.8901424 
 2.16795
1

 

0.4612652  3.3541559  2.12342
 x 3 

 
 
 y 3 
 1.15004 10  5 



 5 
 1.35593 10 
 1.15004 10  5 



 5 
 1.35593 10 
1.0061 

0.567121 
1
 1.15004 10  5 



5 
1.35593 10 
0.8901424  1.150045 10  5 


  

 6 
0.4612652

  5.0097 10 
 x 3  0.8901539 
 f1 ( x 3 , y 3 ) 

  

 
  

 
 y 3   0.4612601 
 f 2 ( x 3 , y 3 ) 
 8.99205 10  8 



 7 
 1.96705 10 
Partiendo del punto x1 = 0.4, x2 = 3.0, encontrar los ceros de:

sen( x 1 x 2 )
x2
x1
f 1 ( x 1, x 2 ) 




2
4
2

1  2 x 1
ex 2
 f ( x , x )  
1 
e
 e 
 2ex 1
2
1
2



4  

Calcular los ceros del siguiente sistema en el entorno de x = 1, y =1:
x  sen( x  y)  0 

y  cos( x  y)  0 
Calcular los ceros del siguiente sistema en el entorno de x = 3, y =1:

ln  1  0 

y
cos( xy )  1  0 

x
Partiendo del punto x1 = 0.4, x2 = 3.0, encontrar los ceros de:

sen( x 1 x 2 )
x2
x1
f 1 ( x 1, x 2 ) 




2
4
2

1  2 x 1
ex 2
 f ( x , x )  
1 
e
 e 
 2ex 1
2
1
2



4  

f1 (0 .4 , 3 .0 )  0 .0272871
 f1 (x 1 , x 2 )
 x1
 f 2 ( x 1, x 2 )
 x1

; f2 (0 .4 , 3 .0 )   0 .0323873
x 2 cos  x 1 x 2   1
;
 f1 ( x1 , x 2 )
x 2
2

1
  2 e  2 

2
 2 x 1
e

;
 
1
4
 f2 ( x 1 , x 2 )
x 2


x 1 cos x 1 x 2 
2
e

x1  x 0  J
 x 11  0.4  0.0435366

 
     
 x 21  3.0   1.33969
1
f ( x0 )
1
 0.00710592   0.0272871 
 

0.8652559   0.0323873 
 x 11  0.4 
0.8652559
1


 
    
 x 21  3.0  0.0281506  1.33969
 x 11  0.4 

 
    
 x 21  3.0 
 x 11  0.43054 


 
  
 x 21   1.75149 
0.00710592  0.0272871 


0.0435366  0.0323873 
0.83054 


1.24851 
 f1 ( x 11 , x 21 )  0.266422 


 

  
 f 2 ( x 11 , x 21 )  1.74325 
x2  x1  J
 x 12   0.43054 

 
 
  
 x 22   1.75149 
1
0.138329

 4.65843
f ( x1 )
1
0.236487   0.266422 
 

0.8652559   1.74325 
 x 12   0.43054 
0.8652559
1

 

 
  
 x 22   1.75149   0.981967  4.65843
0.236487 0.266422 


0.138329  1.74325 
 x 12   0.43054   0.18507 

  

 
  
 x 22   1.75149   1.01833 
 x 12 

 
 
 x 22 
 0.24547 


 0.733166 
 f1 ( x 12 , x 22 )  0.0251087 


 

  
 f 2 ( x 12 , x 22 )   0.0302671 
x3  x2  J
1
f ( x2 )
1
 0.20033   0.0251087 
 

0.8652559   0.0302671 
 x 13 

 
 
 x 23 
 0.24547  0.139338

  
0.733166   4.30987
 x 13 

 
 
 x 23 
 0.24547 
0.8652559
1

 

0.733166  0.98396  4.30987
 x 13 

 
 
 x 23 
 x 13 

 
 
 x 23 
0.0251087 


0.139338  0.0302671 
0.20033
 0.24547  0.0159173 

  

0.733166   0.114265 
 f1 ( x 13 , x 23 ) 
 0.261387 


  

 
 f 2 ( x 13 , x 23 ) 
 0.618901 
 9.0893 10  4 



 4 
2.81271
10


x4  x 3  J
 x 14 

 
 
 x 24 
 x 14 

 
 
 x 24 
1
 0.261387  0.139338

  
 0.618901   4.30987
f ( x3 )
 0.20033 

0.8652559 
 0.261387 
0.8652559
1

 

 0.618901   1.07462  4.30987
1
 9.0893 10 4 



 4 
2.81271
10


 9.0893 10  4 



 4 
 0.139338 2.81271 10 
0.20033
 x 14   0.261387  7.86436 10 4 


  
 
  


 x 24   0.618901  3.62428 10 3 
 x 14 

 
 
 x 24 
 f1 ( x 14 , x 24 ) 
 0.260601 


  

 
 f 2 ( x 14 , x 24 )
 0.622525 
 1.5572 10  6 



 6 
2.32513
10


Calcular los ceros del siguiente sistema en el entorno de x = 1, y =1:
x  sen( x  y)  0 

y  cos( x  y)  0 
f1 ( x0 , y0 )  x0  sen( x 0  y0 )  0.0907026
f2 ( x 0 , y0 )  y0  cos( x 0  y0 )  0
 f1 (x , y)
x
 f2 ( x, y)
x
 1  cos( x  y )
 sen( x  y )
;
;
 f1 ( x, y )
y
 f2 ( x , y )
y
  cos( x  y )
 1  sen( x  y)
x1  x 0  J
1
  
1
1.41615

 0
 x1 

 
 
 y1 
1
1
1
  

1 1.41615 0
 x1  0.935951 


 
  
1
 y1  

f ( x0 )
1

0.0907026 
0.416147
 

1
0
 

 x1 

 
 
 y1 
 x1 

 
 
 y1 
1
1
  
1
 0.416147 0.0907026 


1.41615 
0

0.0640488 


0


 f1 ( x 1 , y 1 ) 

 

 
 f 2 ( x 1 , y1 )
1.88267 10 3 



 3 
2.05043
10


x2  x1  J
1
 x 2  0.935951   1.35709

  
 
  
1
 y 2  
  0.0640051
f ( x1 )
1
0.357094 

1.06401 
 x 2  0.935951 
 1.06401
1

 

 
  
1
 y 2  
 1.46881 0.0640051
1.88267 10  3 



3 
2.05043 10 
0.357094 1.88267 10  3 



3 
1.35709 2.05043 10 
 x 2  0.935951  8.66487 10  4 


  
 
  

3 
1
 y 2  
 1.97921 10 
 x 2  0.935085 


 
  
 y 2  0.998021 
 f1 ( x 2 , y 2 ) 

 

 
 f 2 ( x 2 , y 2 ) 
 3.7834 10  6 



 7 
6.17818
10


Calcular los ceros del siguiente sistema en el entorno de x = 3, y =1:

ln  1  0 

y
cos( xy )  1  0 

x
f1 ( x 0 , y 0 )  ln
x0
 1  0.0986123
y0
f2 ( x 0 , y0 )  cos( x 0 y 0 )  1  0.0100075
 f1 (x , y)
x
 f2 ( x, y)
x

1
;
f 1 ( x , y )
x
  y sen( xy )
y
 
1
y
;
 f2 ( x, y )
y
  x sen( xy )
x1  x 0  J
1
f ( x0 )
1

0.0986123 
1
 

 0.42336  0.0100075 
 x1 

 
 
 y1 
3   1/ 3
   
1   0.14112
 x1 

 
 
 y1 
3 
 0.42336
1
  

1   0.28224  0.14112
 x1 

 
 
 y1 
 x1  2.88754 


 
  
 y1  1.06113 
3 
  
1 
1 0.0986123 


1 / 30.0100075 
 0.112461 


 0.0611253 
 f1 ( x 1 , y 1 ) 

 

 
 f 2 ( x 1 , y1 )
1.07464 10  3 



 3 
3.00565
10


x2  x1  J
 x 2 

 
 
 y 2 
2.88754   0.346316

  
1.06113  0.0822099
1
f ( x1 )
0.942396 

 0.22371 
 x 2  2.88754 
 0.22371
1

 

 
  
 y 2  1.06113   0.154949 0.0822099
1
1.07464 10 3 



 3 
3.00565 10 
0.942396 1.07464 10 3 



 3 
0.346316 3.00565 10 
 x 2  2.88754   0.0167288 

  

 
  
 y 2  1.06113  0.0072879 
 x 2  2.90427 


 
  
 y 2  1.06841 
 f1 ( x 2 , y 2 ) 

 

 
 f 2 ( x 2 , y 2 ) 
6.76042 10 6 



4 
7.46225
10


x3  x2  J
 x 3 

 
 
 y 3 
 x 3 

 
 
 y 3 
2.90427   0.344321

  
1.06841   0.0412675
1
f ( x2 )
2.90427 
 0.112177
1

 

1.06841  0.0772501  0.0412675
 x 3 

 
 
 y 3 
 x 3   2.9133 


 
  
 y 3  1.07174 
1
0.935967 

0.112177 
6.76042 10  6 



 4 
 7.46225 10 
0.935967 6.76042 10  6 



 4 
0.344321 7.46225 10 
2.90427   0.0090315 

  

1.06841   0.0033297 
 f1 ( x 3 , y 3 ) 

 

 
 f 2 ( x 3 , y 3 ) 
2.96337 10 6 



 4 
1.86095
10


x4  x 3  J
 x 4 

 
 
 y 4 
 2.9133   0.343253

  
1.07174   0.0206753
1
f ( x3 )
1
0.933062 

0.0562014 
 x 4   2.9133 
 0.0562014
1

 

 
  
 y 4  1.07174   0.0385826  0.0206753
2.96337 10  6 



 4 
1.86095 10 
0.933062 2.96337 10  6 



4 
0.343253 1.86095 10 
 x 4   2.9133    0.0044961 

  

 
  
 y 4  1.07174   0.00165719 
 x 4 

 
 
 y 4 
2.9178 


1.0734 
 f1 ( x 2 , y 2 ) 

 

 
 f 2 ( x 2 , y 2 ) 
 1.2731 10 6 



 5 
4.63309
10


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