LEY DE SENOS Y COSENOS
ACT. J. JAVIER SEGURA RAMÍREZ
LEY DE SENOS
En todo triángulo, los lados son proporcionales a los senos de
a
b
c
los
ángulos
opuestos:


B
senA
c
Entonces
D
E
C
b
A
Se tiene el triángulo ABC y se trazan las
alturas CD y BE .
En el triángulo ABE: Sen A =
Por lo que
BE
BE
c
= c Sen A
En el triángulo CBE: Sen (180°-C)= Sen C
BE
Sen C =
a

SenA
c
a
. Por lo que
BE
= a Sen C
CD
Sen B =
Entonces
CD
CD
Y despejando:
CD
a
= a Sen B
En el triángulo ACD:
Por lo que
---(1)
SenC
En el triángulo BCD:
Por lo que
senC
= c Sen A = a Sen C
BE
Y despejando:
a
senB
Sen A =
CD
b
= b Sen A
= a Sen B = b Sen A
a

SenA
b
---(2)
SenB
De (1) y (2) y la propiedad transitiva de
la igualdad:
a
b
c

senA

senB
senC
LEY DE COSENOS
a2 = b2 + c2 – 2bc Cos A
b2 = a2 + c2 – 2ac Cos B
c2 = a2 + b2 – 2ab Cos C
B
c
a
a2 = c2 – 2c
D
AD
+
AD
a2 = b2 + c2 – 2c
C
A
b
Y despejando:
En el  ABC, se traza la altura
En el  BCD, a2 =
En el  ACD, b2 =
BD
AD
2
+ CD
2
+
Y despejando: CD 2 = b2 En el segmento
AB
:
AD
2
AD
BD  c  AD
) 2 + b2 -
AD
2
---(1)
AD
---(4)
AD
b
AD
= b cos A
a2 = b2 + c2 – 2c ( b cos A )
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
2
2
+ b2 -
Por lo que sustituyendo en (4):
CD
CD
Sustituyendo (2) y (3) en (1) :
a2 = ( c -
Pero cos A =
AD
2
---(2)
---(3)
2
1. Resuelve el triángulo oblicuángulo cuyos lados
miden: a = 80, b = 65, c = 74.
Debemos hallar la medida de los tres ángulos: A, B y C.
Calculamos el ángulo A aplicando la Ley de Cosenos: a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
a b c
2
Despejando: cos A =
2
 2 bc
2
80  65  74
2

2
 2 ( 65 )( 74 )
2
 0 . 343139
Entonces Cos –1 0.343139 = 69.931765° , y para obtener minutos y segundos:
60(.931765) = 55.9059 y 60(.9059) = 54.354 por lo que A = 69° 55’ 54’’.
Calculamos el ángulo B aplicando la Ley de Senos:
Despejando: sen B =
bsenA

65 sen 69 . 931765 
a
b

senA
senB
 0 . 763169
80
Entonces sen –1 0.763169 = 49.744372°
por lo que
Calculamos el ángulo C aplicando la Ley de Senos:
Despejando: sen C =
a
csenA
a

74 sen 69 . 931765
B = 49° 44’ 39’’.
a
senA

c
senC
 0 . 868839
80
Entonces sen –1 0.868839 = 60.324003°
por lo que
C = 60° 19’ 26’’.
Comprobación: A + B + C = 179° 59’ 59’’. La diferencia es 1’’ por redondeo.
2. Resuelve el triángulo oblicuángulo con datos:
a = 50, b= 40, C= 76°42’
Debemos hallar la medida del tercer lado (c) y de los otros dos ángulos A y B.
Calculamos el lado c aplicando la Ley de Cosenos: c2 = a2 + b2 – 2ab cos C
c2 = 502 + 402 – 2(50)(40) cos 76°42’. Como 42 / 60 = 0.7, entonces:
c2 = 2500 + 1600 – 4000 cos 76.7° = 3179.8
Así que c =
Calculamos el ángulo A aplicando la Ley de Senos:
Despejando: Sen A =
aSenC

c
50 Sen 76 . 7 
a
a
 0 . 862900

40 Sen 59 . 643771
A = 59° 38’ 37’’
a
SenA

b
SenB
 0 . 69032
50
Entonces Sen –1 0.69032 = 43.655445° por lo que
Comprobación:
senC
56 . 39
Calculamos el ángulo B aplicando la Ley de Senos:
Despejando: Sen B =
= 56.39
c

senA
Entonces Sen –1 0.862900 = 59.643771° por lo que
bSenA
3179 . 8
B = 43° 39’ 19’’ .
A + B + C = 179° 59’ 56’’ . La diferencia es de 4’’ por redondeo.
3. Un túnel se va a construir a través de una montaña.Se fija un
punto de referencia que se observa desde los puntos de entrada y
de salida. La distancia de este punto al de entrada es de 253 m y
al de salida es de 462 m. El ángulo formado por estas distancias
con vértice en el punto de referencia es de 75° 30’. Calcula la
longitud del túnel.
Calculamos el lado c aplicando la Ley de
Cosenos: c2 = a2 + b2 – 2ab cos C
c
A
B
c2 = 4622 + 2532 – 2(462)(253) Cos 75.5°
c2 = 218921.17 por lo que c =
253
462
C
Según la figura, tenemos que C = 75° 30’
y el lado opuesto será c, que representa la
longitud del túnel.
Como 30 / 60 = 0.5, entonces C = 75.5°
a = 462 m y b = 253 m
218921 . 17
c = 467.89
Entonces, la longitud del túnel es 468 m.
4. Dos personas situadas en puntos opuestos de una ciudad
ubicada en un terreno plano, observan que sobre la ciudad hay un
objeto que parece ser un OVNI. Los ángulos de elevación del punto
de observación de cada persona con respecto al objeto son de 25°
y 30°. Si la distancia entre las dos personas es de 2 km, ¿a qué
altura se encuentra el objeto?
C
b
a
Despejando: a =
cSenA
SenC

2000 Sen 25 
Sen 125 
a = 1031.84 m
A
c
D
B
El ángulo A= 25° y el ángulo B= 30°.
En el ABC, el lado c mide 2000 m y
queremos hallar la medida de la altura CD .
Como A + B + C = 180°, entonces C = 125°
Calculamos el lado a, aplicando la Ley de
a
c

Senos: senA
senC
Ahora, el BCD es rectángulo y
respecto al ángulo B, conocemos la
hipotenusa a y queremos hallar el
cateto opuesto CD . Por lo que
Sen B =
CD
a
y despejando:
CD
= a Sen 30° = 1031.84 (0.5)
CD
= 515.92
Por lo que el objeto se encuentra a
una altura de 516 m.
Practica con estos ejercicios:
1. Resuelve el triángulo oblicuángulo siguiente:
b = 50, A = 57° 7’, C = 78° 28’.
2. La magnitud de la resultante de dos fuerzas de 115
kg y 215 kg es de 275 kg. Encuentra el ángulo
formado por las direcciones de las dos
componentes.
No veas las respuestas hasta que estés seguro de tus
resultados.
Respuestas a los ejercicios:
Recuerda: No veas estas respuestas hasta que estés
seguro de tus resultados.
1. B = 44° 25’ , a = 60 , c = 70 .
2.  = 109° 5’ 33’’
Si deseas ampliar el tema, puedes consultar:
•
•
•
•
Aurelio Baldor. Geometría y Trigonometría.
Abelardo Guzmán. Geometría y Trigonometría.
Burrill-Cummins et al. Geometría.
Francisco Ortíz. Matemáticas II, Geometría y
Trigonometría.
• www.acienciasgalilei.com
• www.monografias.com
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