1. La integral
Gustavo Rocha
2012 - 2
Objetivo del capítulo
Distinguir a la diferencial como una función de dos
variables, a la integral indefinida como una familia de
funciones antiderivadas, a la integral definida como un
número, resultado del límite de una suma infinita de
términos y a la función integral como un proceso de
acumulación; las cuatro vinculadas a través del teorema
fundamental del cálculo, que explica por qué la integral
definida requiere del cálculo de antiderivadas y por qué el
problema de la recta tangente es el inverso del problema
del área, y se resuelven por medio de procesos inversos,
la derivación y la integración; realizar procedimientos
diversos de ajuste del integrando para calcular su primitiva;
y evaluar integrales definidas aplicando la regla de Barrow.
Contenido del capítulo
1. La integral indefinida
2. Introducción a ecuaciones diferenciales
3. El problema del área
4. La integral definida
5. Teorema fundamental del cálculo
6. La diferencial
7. Cálculo de primitivas directas y evaluación de
integrales
1.1 La integral indefinida
Gustavo Rocha
2012 - 2
Objetivos del tema
Distinción de la integral indefinida como una familia de
funciones antiderivadas.
Reconocimiento de las reglas básicas de derivación
como reglas básicas de integración.
Reconocimiento de la diferencial de la función como
integrando.
Cálculo de integrales de funciones polinómicas y
trigonométricas.
Contenido del tema
Antiderivadas o primitivas. Funciones con la misma
derivada. Antiderivada general. Antiderivada particular.
Integral indefinida. Definiciones de integral indefinida.
Derivación e integración como operaciones inversas.
Elementos de la integral indefinida. Propiedades de
linealidad de la integral indefinida.
Las reglas básicas de derivación como reglas básicas
de integración. Regla de las potencias. Regla
generalizada de las potencias. Reglas de integración de
funciones trigonométricas.
La diferencial de la función como integrando. Cálculo de
integrales de funciones polinómicas y trigonométricas.
Adivinanza
x
3
4
8
5
3
6
9
8
5
7
8
9
x2
x3 + c
x2 + 3
x3 + 4
x2
3x 2
x2 + 4
2x
operación
adición
adición
sustracción
sustracción
multiplicación
multiplicación
división
división
potencia
potencia
raíz
raíz
derivada
derivada
derivada
derivada
integral
integral
integral
integral
y
4
8
3
3
9
5
3
4
2
3
3
2
4
resultado
7
12
5
2
27
30
3
2
25
343
2
3
2x
3x 2
2x
3x 2
x 3/3 + c
x3 + 8
x 3/3 + 4x + c
x2
Adición - sustracción
10
fx = x+2
9
8
7
y  x 2
6
5
4
3
x  y 2
2
1
-8
-6
-4
-2
2
-1
4
6
8
Multiplicación - división
fx = 2x
12
10
8
y  2x
6
4
2
-15
-10
-5
5
xy/2
-2
-4
-6
-8
10
15
Potenciación – radicación
100
fx = x2
90
80
yx
70
2
60
50
40
x y
30
20
10
-15
-10
-5
5
10
15
Operaciones matemáticas inversas
De la misma manera que la sustracción es la operación
inversa de la adición, la división es la operación inversa
de la multiplicación y la extracción de raíces es la
operación inversa de la exponenciación, así la operación
antiderivación es la operación inversa de la derivación.
Operaciones matemáticas inversas
Adición
 Sustracción
Multiplicación
 División
Potenciación
 Radicación
Integración
 Derivación
Primitiva
Antiderivadas o primitivas
Si la derivada de F es igual a f en el intervalo I:
DxF  x   f  x , x I
entonces F es una antiderivada o primitiva de f en el
intervalo I : Axf  x   F  x , x I
Por ejemplo:
F  x   x 3 , Dx  x 3   3 x 2 ,
x  R

f  x   3x 2,


Ax 3 x 2  x 3 ,
y se dice que x 3 es una antiderivada o primitiva de 3x 2
en todo el dominio de x.
x  R
Antiderivadas o primitivas
Encontrar una primitiva para las siguientes funciones:
a) f . x   2x
x2
b) f . x   cos x
sen x
1
c) f . x   2
x

d) f . x   2x  cos x
x 2  sen x
1
x
Función primitiva – función derivada
90
fx =
f'x = 2x
x2
80
70
60
50
40
30
20
10
-15
-10
-5
5
-10
-20
10
Función primitiva – función derivada
2
fx = senx
f'x = cosx
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-2
-1
1
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1.2
-1.4
-1.6
-1.8
-2
2
3
4
5
6
Función primitiva – función derivada
1
fx =
x
-1
f'x = 2
x
3
2.5
2
1.5
1
0.5
-5
-4
-3
-2
-1
1
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
2
3
4
5
Función primitiva – función derivada
x2+senx
q  x =
q'x = 2x+cosx
90
80
70
60
50
40
30
20
10
-15
-10
-5
5
-10
10
Derivada en un punto genérico
14
13
h  x = x2
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
2
3
4
5
6
Derivada de una función
Encontrar la derivada de las siguientes funciones:
a) f . x   x 2
b) f . x   x  3
2
c) f . x   x 2  5
d) f . x   x 2  218
f '  x   2x
Funciones con la misma derivada
Si dos funciones F y G tienen la misma derivada:
F '  x   G '  x ,  a, b
entonces las funciones F y G difieren en una constante:
F  x   G  x   c,  a, b
F x
G x
Por ejemplo:
F  x   x2  5, G  x   x 2  7  F '  x   G '  x   2x
F y G difieren en 2, que es una constante.
Funciones con la misma derivada
26
r  x = x2
sx = x2+3
tx = x2-2
r'x = 2x
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
-8
-6
-4
-2
2
-2
-4
4
6
8
Antiderivada general
Si una función tiene una primitiva, entonces tiene
infinitas primitivas, que se diferencian entre sí en una
constante.
La antiderivada general es la familia constituida por un
número infinito de primitivas.
Antiderivada general
26
fx = 2x
24
22
20
18
16
14
F x  x  c
12
2
10
8
6
4
2
-8
-6
-4
-2
2
-2
4
6
8
Antiderivada general
Encontrar la antiderivada general de las siguientes
funciones:
a) f . x   2x
b) f . x   cos x
x2  c
sen x  c
Integral indefinida
Una función f tiene una familia de funciones
antiderivadas, denominada antiderivada general o
integral indefinida, y cada miembro de esta familia se
obtiene de cualquiera de ellos sumándole una constante
adecuada.
En notación de Leibniz:
 f  x dx  F  x   c
Las gráficas de cualesquiera
antiderivadas de f son traslación
vertical una de la otra.
Familia de antiderivadas
Integral indefinida
Integral indefinida
Obtener las siguientes integrales indefinidas:
a)  2
. x dx  x 2  c
b)  .cos x dx  sen x  c
1
dx


c
c)  . 2
x
x
2
d)  . 2 x  cos x  dx  x  sen x  c
Antiderivada particular
Una función antiderivada particular F  x   5 no es una
integral indefinida, sino un solo miembro de la familia,
aquella cuya gráfica tiene ordenada 5.
y
5
x
Por ejemplo:  2x dx  x 2  5
Definiciones de integral indefinida
F'  x   f  x  , la función derivada de la que disponemos
y  F  x  , la función desconocida que buscamos
dy
 F '  x  ; ambos miembros como símbolo de derivada
dx
dy
dy  F '  x  dx;
como cociente de diferenciales
dx
dF  x   F'  x  dx; sustituyendo la función en términos de x
 dF  x    F '  x  dx   f  x  dx  F  x   c
Definiciones de integral indefinida
d
En notación de derivadas: F  x   f  x 
dx
En notación de diferenciales: dF  x   f  x  dx
En notación de integrales:  dF  x   F  x   c
La operación de hallar todas las soluciones de la
ecuación diferencial dy  f  x  dx se denomina integración
indefinida o antiderivación.
Derivación e integración como
operaciones inversas
La integración es la inversa de la derivación:
 F '  x dx  F  x   c
La derivación es la inversa de la integración:
d 
f  x  dx   f  x 


dx
Para establecer cualquier resultado de la forma:
 f  x dx  F  x   c
basta demostrar que d F  x   c   f  x 
dx
Elementos de la integral indefinida
1. Integral
3. Diferencial
5. Primitiva
general
f
(
x
)dx

F(
x
)

c

2. Integrando
4. Variable de
integración
6. Constante
de integración
dx  F  x   c
 f  xElementos
de la integral indefinida
...dx

7. Operador
integral
f  x  dx  dF  x 
8. Diferencial
de F(x)
Reglas de derivación – reglas de integración
A cada regla de derivación le corresponde una regla de
integración.
d
k   0
dx
d
 kx   k
dx
dk  0dx
d  kx   kdx
d
du dv
u  x   v  x   

dx
dx dx
 dk   0dx  0  c  k
 d  kx    kdx  kx  c
d u  x   v  x    du  dv
 d u  x   v  x     du  dv   u  x   v  x 
Propiedades de linealidad
de la integral indefinida
El operador integral es lineal.
 La integral de una constante por una función es igual
a la constante por la integral de la función.
 k f  x  dx  k  f  x  dx
 La integral de la suma es la suma de las integrales
 f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx
 La integral de la diferencia es la diferencia de las
integrales  f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx
Reglas de derivación – reglas de integración
d
du
dv
u  x  v  x    u  x 
 v x
d u  x  v  x   u  x  du  v  x  dv
dx
dx
dx
 d u  v    udv  vdu   u  v  udv   vdu  u  v  udv  u  v   vdu
d u  x  


dx  v  x  
v x
du
dv
 ux
dx
dx
v2
Integración por partes
 u  x   v  x  du  u  x  dv
d

v2
 v  x  
u
1
Integración por partes
 u  u w
udw  u  w   wdu

v
v
d
f  g  x     f ' g  x   g '  x  d f  g  x     f ' g  x   g '  x  dx



dx 
 d f  g  x   f ' g  x  g '  x  dx  f g  x 
u  g  x  , du  g '  x  dx
 df u   f ' u  du  f u   c  f  g  x    c
Integración por sustitución
Reglas de derivación – reglas de integración
 
 
d
du
u r  ru r 1
dx
dx
 d u     r  1 u du  u
r 1
 
r
r 1
r
d
u

ru
du

u
c


d u r  ru r 1du
r
r 1
c
u r 1
 u du  r  1  c
r
La regla de las potencias
Con relación a la regla de las potencias
r 1
x
r
x
 dx  r  1  c
1. ¿Por qué no funciona para
r  1?
2. ¿Acaso funciona para r  0 ?
3. ¿Qué sucede cuando
r ?
4. ¿Cuál es la condición cuando r  0 ?
La regla de las potencias
si r  1,
11
0
dx
x
x
1
x
 dx  x  1  1  c  0  ?
queda pendiente para el tema 2
si r  0,
0
x
 dx 1dx   dx  x  c
si r   ,
 1
x

x
 dx    1  c
si r  0,
dx
1
 x dx  x      1 x  1  c,
r
porque la función no está definida para x  0
x 0
Integrando funciones polinómicas
10
8
f  x   4x3 18x2  24x 10
F  x   x4  6x3 12x2 10x  c
6
c 6
4
2
0.5
-2
-4
-6
-8
-10
1
1.5
2
2.5
3
Regla generalizada de las potencias
r 1
u
La fórmula generalizada u r du 
 c, r  1

r 1
r 1
x
es muy similar a la fórmula simple x r dx 
 c, r  1

r 1
pero su diferencia no es trivial, porque u es función de x:
u  g  x  , du  d g  x    g'  x  dx
r 1
r 1


g
x
g
x




u 
         c

d

d
  r  1    r  1  r  1


r 1
Definición de integral indefinida
en lenguaje de diferenciales
 u r 1 
ur
d
du  u r du Cálculo de la diferencial de la función
   r  1
r 1
 r 1 
r
 g  x  r 1 
   r  1 g  x  g' x dx  g x  r g' x dx
d
 
 
  Regla de la cadena
  
 r 1 
r 1


Regla generalizada de las potencias
r 1


g
x




r
u 


r


d

u
du;
d

g
x




  r  1  
  r  1     g'  x  dx


x4
3
Ejemplos:  x dx   c
4
r 1
x  2

3
  x  2  dx  4  c
4
2
x  2
3

2
  x  2  2 x dx  4  c
4
3
1
1 x  2
3
2
x dx    x  2  3x dx 
c
3
3
4
3
4
x
3
 2
x
2
 2  dx No se puede aplicar directamente la regla generalizada de las
3
2
3
potencia, porque falta la diferencial. Aquí sería necesario desarrollar
el cubo del binomio, y después integrar.
Regla generalizada
de las potencias
Utilizando la regla de las potencias, calcule:
a)  .t 2 dt
b)  . t  1 dt
2
c)  . t 2  1 t dt
2
d)  5
.  t  1 t 2 dt
2
3
e)  . t  1 dt
2
2
Reglas de integración de
funciones trigonométricas
Notación de diferenciales
Notación de integrales
d senu  cosudu
 cos u du  sen u  c
d cosu  senudu
 sen u du   cos u  c
d tanu  sec2 udu
 sec
2
u du  tan u  c
d cot u   csc2 udu
2
csc
u du   cot u  c

d secu  secutanudu
 sec u tan udu  sec u  c
d cscu   cscucot udu
 csc u cot u du   csc u  c
Reglas de integración de
funciones trigonométricas
Ejemplos:  sen x dx  cos x  c
 sen  x  1 dx   cos  x 1  c
 2 x sen x dx   sen x  2x  dx   cos x  c
1
1
 x sen x dx  3  sen x 3x  dx   3 cos x  c
se puede aplicar directamente la regla del seno, porque falta la
 sen x dx No
diferencial. Esta primitiva existe, pero no es una función elemental.
2
2
2
3
3
2
2
3
2


1
1
2
2

sen
x

1
2x
dx


cos
x
 1  c
sen
x

1
x
dx





2
2
2
2
3
2
3
2
3
sen
x

1
2
x
dx

sen
x

1
3x
dx


cos
x
1  c




3
3
2
sen
x

1
dx No se puede aplicar directamente la regla del seno, porque



2




falta la diferencial. Esta primitiva tampoco es función elemental.
Integrando funciones trigonométricas
f  x   4  6sen 2x   / 2 
14
F  x   4x  3cos 2x   / 2   c
12
10
8
6
4
2
-1
-0.5
0.5
-2
-4
-6
c 0
1
1.5
2
2.5
3
Reglas de integración de
funciones trigonométricas
Utilizando reglas básicas de integración, calcule:
a)  .cos x dx
b)  .cos  x  2  dx

2
c) .x cos x dx
2
3
d)  .6 x cos x dx
2
e)  .cos x dx
Distinción obvia
Para todos debe quedar muy claro que sen x2  sen2 x
 .sen x 2 es la aplicación de la función seno al cuadrado de la
variable x.
2
 sen x es el cuadrado de la función seno de x.
La regla generalizada de las potencias
aplicada a funciones trigonométricas
La regla de las potencias no solo es aplicable a
funciones algebraicas y polinomios. Su uso se extiende
a cualquier función, si está presente su correspondiente
diferencial.
sen 2 x
c
Ejemplos:  sen x cos x dx 
2
cos 2 x
 sen x cos x dx   cos x  sen x  dx   2  c
Dos resultados aparentemente diferentes para una integral
sen2 x
1  cos 2 x
cos 2 x 1
cos 2 x
c 
c  
 c  
c
2
2
2
2
2
3
cos x
2
2
cos
x
sen
x
dx
   cos x  sen x  dx  
c

3
4
3
sen
x cos x dx 

sen x
c
4
Integrando funciones
trigonométricas con potencias
8
7
f  x   4cos3 x sen x
F  x    cos4 x  c
6
5
4
c 4
3
2
1
1
-1
-2
-3
2
3
4
5
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Proceso de integración
1. Integral original
2. Reescribirla
 Conforme a una regla de integración
 Verificar la correspondencia del integrando con la
diferencial
3. Integrar: lo que se integra es el integrando
4. Simplificar
 Utilizar todos los recursos del álgebra
 Considerar solo una constante de integración
5. Verificar: Siempre es posible comprobar por
derivación
La regla generalizada de las potencias
aplicada a funciones trigonométricas
Utilizando la regla generalizada de las potencias, calcule:
a)  .cos 3  2t  sen  2t  dt
3
2
b)  .tan y sec y dy
c)  .csc 2  3  1  cot 4  3  1  d
3
d)  .sec  d
e)  .sec 3 x tan x dx
Cálculo de primitivas mediante
reglas básicas de integración
Obtener las siguientes integrales indefinidas, usando
reglas básicas de integración:
a)  . 3 x 4  5 x 2  x  dx
 3

 sen 2x dx
b)  .
 x

c)  . 3x  1
2
1/ 3
2
3 x dx
d)  sec
.
sen x
dx
2
cos x
e)  .
4xdx
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1.1 La integral indefinida - División de Ciencias Básicas