MOVIMIENTOS DE LOS
CUERPOS CELESTES.
LEY DE LA GRAVITACIÓN
EL GEOCENTRISMO DE PTOLOMEO
 Claudio Ptolomeo vivió en Alejandría en el siglo II y fue el más célebre astrónomo de
la antigüedad.Publicó sus observaciones en su obra ALMAGESTO.
 La Teoría Geocéntrica coloca la Tierra en el centro del universo, y los astros, incluido
el Sol, girando alrededor de la Tierra. Estuvo en vigor hasta el siglo XVI cuando fue
reemplazada por la teoría heliocéntrica.
 Ptolomeo observó que ciertos planetas
realizaban movimientos retrógrados,
volviendo
sobre
su
trayectoria
formando lazos en la esfera celeste
 Para justificarlo utilizó un movimiento
compuesto por dos movimientos:
 a) El planeta se mueve sobre el
epiciclo (circunferencia pequeña de
trazos)
 b) Cuyo centro a su vez se mueve
sobre el deferente (circunferencia
grande de trazos).
Teoría Heliocéntrica de COPÉRNICO. (1473-1543 d.C.)
 La Teoría Heliocéntrica nos dice que la Tierra y los planetas se mueven alrededor de un
Sol relativamente estacionario y que está en el centro del Sistema Solar. La idea de que
la Tierra gira alrededor del Sol fue propuesta desde el siglo III a.C. por Aristarco de
Samos aunque no recibió apoyo de otros astrónomos de la antigüedad.
 Este planteamiento le permitió justificar el movimiento retrógrado de los planetas para el
que Ptolomeo había introducido los epiciclos.
I
I
H
H
G
I
G
F
F
E
E
D
C
H
E
B
D
D
G
C
C
A
F
B
B
A
A
La contribución de GALILEO. (1564-1642 d.C.)
 Se convirtió en el primer defensor a
ultranza
del
sistema
heliocéntrico
copernicano
 Encontró infinidad de estrellas nunca
vistas hasta entonces y llegó a
descubrir la deformidad de la Luna y su
superficie rugosa
 En 1610 Galileo descubrió los satélites
de Júpiter, confirmando así que la Tierra
no era el centro del universo
 En 1632 publicó en Florencia su obra
Diálogo sobre los dos grandes sistemas
del mundo
Galileo nació en Pisa en 1564
 Un año después fue procesado por la
Inquisición
LAS LEYES DE KEPLER. (1571-1630 d.C.)
Las leyes de Kepler describen la
cinemática del movimiento de los
planetas en torno al Sol.
 Con los datos de Tycho Brahe, tras
cuatro años de observaciones sobre
Marte, llegó a la conclusión de que las
órbitas de los planetas no eran
circulares
 Descubrió que la elipse era la curva que
mejor podía definir el movimiento
planetario
 La posición del extremo del semieje
mayor más alejada del Sol se llama
afelio
 La posición más cercana, es el perihelio.
Perihelio
Afelio
Foco
  Eje menor

Sol
b
a
Eje mayor
Primera ley: Los planetas describen órbitas elípticas alrededor
del Sol, estando situado éste, en uno de sus focos
Segunda ley: El radiovector dirigido
desde el Sol a los planetas, barre
áreas iguales en tiempos iguales
1 Diciembre
30 Junio
 Kepler
observó
que
la
velocidad de los planetas
dependía de su posición en la
órbita.
 vAFELIO < vPERIHELIO
1 Junio
30 Diciembre
Tercera ley: El cuadrado de los periodos de revolución de los planetas
alrededor del Sol (T) es proporcional a los cubos de los radios medios, de
sus órbitas (r), T 2 = Kr 3 siendo K una constante igual para todos los
planetas
Actividades:
1.- La Estación Espacial Internacional (ISS) orbita a una altura media de 340 km sobre
la superficie terrestre. Teniendo en cuenta que la distancia Tierra-Luna es de
380 000 km y que el período lunar es de 2.36 106 s, determina cuánto tardará la ISS
en dar una vuelta completa a la Tierra.
RT = 6 370 km (Sol: 92 minutos),
2.- A partir de los datos orbitales terrestres con respecto al Sol (T = 365 días y
rsol-TIERRA = 1.496 1011m) determina cuánto tarda Júpiter en completar una órbita
alrededor del Sol (en segundos y años terrestres) sabiendo que su distancia al Sol
es de 7.78 1011 m. (Sol: 3.74 108s = 11.8 años).
3.- Conocidas las distancias
rP y rA, deduce la relación
entre las velocidades del
planeta en los puntos P y A.
¿Avalan estos resultados las
observaciones de Kepler?
rP
rA
NOCIONES ACTUALES SOBRE EL SISTEMA SOLAR
-
Leyes de Kepler ↔ descripción cinemática del movimiento planetario.
-
Nuestro SOL tampoco es el centro de nada.
-
Regularidades de nuestro sistema solar:
a) Los planetas efectúan dos movimientos: traslación alrededor del Sol y
rotación en torno a su propio eje.
b) Los planetas describen órbitas planas alrededor del Sol.
c) Casi todas las órbitas planetarias están en el plano de la Eclíptica.
d) Todos los planetas se trasladan en el mismo sentido alrededor del Sol.
CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR EN EL CAMPO GRAVITATORIO

v
m’
F II r

F
 Fuerza central
depende de r

r


 Si la fuerza es central, los vectores r y F tienen la
misma dirección y su momento cinético es constante:

M
m



x F  qué?
0
r¿Por




L  cte  L  r
x m ' v  cte


 0
rP v P implica
 rA v A
LaMconservación
del momento angular
dt
que se conserven módulo, dirección y sentido

dL




L  r m ' v sen 
 Por conservar el módulo:
Considerando el perihelio (P) y el afelio (A): siendo   90

L  cte  L P  L A  rP v P  r A v A
o
 Por conservar la dirección:


El momento angular será perpendicular al plano que forman los vectores r y v , por
tanto la trayectoria de la partícula debe estar en un plano
 Por conservar el sentido

Si L conserva el sentido, la partícula siempre recorrerá la órbita en el mismo sentido
de giro.
Z
L
O
Y
F
r
m
X
p
LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Publicada por NEWTON en su obra “PRINCIPIOS MATEMÁTICOS DE FILOSOFÍA NATURAL” (1 686 d.C.)
La interacción entre dos masas:
a) es una interacción a distancia y se representa en la línea que une ambas masas.
b) es CENTRAL al tener dirección RADIAL.
c) es directamente proporcional al producto de las dos masas e inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.
d) es siempre ATRACTIVA.
e) la distancia r se determina desde el centro de masas de cada una de ellas.
f) es independiente del medio en que se encuentren las masas.
m


Mm 
Mm
F  G 2 ur  F  G 2
r
r
G  6 . 67 10
 11
Nm
kg
2
2
(es universal)
F
M
F
r
Actividades:
1.- ¿A qué distancia del centro lunar es atraída con una fuerza de 1 N una masa de
1 kg?. RL = 1.738 106 m. ML = 7.20 1022 kg (Sol: 2 190 km).
2.- Dos esferas de 100 y 200 kg respectivamente se encuentran separadas 1 m a lo
largo del eje-Y, la esfera de 100 kg está situada encima de la otra.
Determina la fuerza neta que ejercen sobre una tercera masa de 0.1 kg situada
sobre el eje-X a 0.25 m del punto medio entre las esferas. Expresa el resultado en
notación vectorial y calcula el módulo y la dirección de la fuerza neta.
3.- Deduce la expresión de la aceleración de caída libre de los cuerpos en las
superficies planetarias. ¿Qué aproximación podremos utilizar si consideramos
h << RPLANETA ?
4.- Si la masa de la Luna es 0.012 veces la de la Tierra y su radio aproximadamente
0.27 veces el terrestre, determina:
a) la aceleración de caída de los objetos en la superficie lunar. (Sol: 1.88 m/s2)
b) la distancia que recorre un cuerpo en 3 s cayendo libremente. (Sol: 7.2 m)
c) la altura a la que ascendería un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba si con
la misma velocidad se elevara en la Tierra hasta 30 m. (Sol: 183.7 m)
5.- Considerando un planeta de masa m que orbita alrededor del Sol de masa mS siguiendo
una trayectoria circular de radio r, demuestra la 3ª ley de Kepler, utilizando la Ley de la
Gravitación Universal.
6.- La Estación Espacial Internacional gira alrededor de la Tierra siguiendo una órbita circular
a una altura h = 340 km sobre la superficie terrestre. Deduce la expresión teórica y calcula
el valor numérico de :
a) La velocidad de la Estación Espacial en su movimiento alrededor de la Tierra.
¿Cuántas órbitas completa al día?
b) La aceleración de la gravedad a la altura a la que se encuentra la estación espacial.
Datos: RT = 6 400 km;; MT = 6 1024 kg;; G = 6.67 10-11 Nm2/kg2
7.- Un satélite se sitúa en órbita circular alrededor de la Tierra. Si su velocidad orbital es de
7.6 103 m/s, calcula el radio de la órbita y el período orbital del satélite.
Datos: RT = 6.4 106 m;; go = 9.8 m/s2
8.- El módulo del campo gravitatorio de la Tierra en su superficie es una constante de valor go.
Calcula a qué altura h desde la superficie el valor del campo se reduce a la cuarta parte de go.
Realiza primero el cálculo teórico y después el numérico, utilizando únicamente este dato:
Radio de la Tierra, RT = 6 370 km. (Sol: h = 6 370 km).
9.- El Apolo VIII orbitó en torno a la Luna a una altura de su superficie de 113 km. Si la masa
lunar es 0.012 la terrestre y su radio e 0.27 veces el terrestre, Calcula:
a) El período de su órbita. (Sol: 7 113 s)
b) Su velocidad orbital y su velocidad angular. (Sol: 1 618 m/s;; 8.8 1024 rad/s).
Datos: go = 9.81 m/s2;; RT = 6 370 km)
ENERGÍA POTENCIAL ASOCIADA A UNA FUERZA CENTRAL
-¿Toda fuerza CENTRAL es CONSERVATIVA?:
a) Si la fuerza es central, la trayectoria será CÍCLICA, y como F ┴ Dr, el trabajo
realizado por dicha fuerza para desplazamientos infinitesimales en la trayectoria
cíclica, será NULO.
b) Como el trabajo realizado por una fuerza conservativa sólo depende de las posiciónes
inicial y final, pero no de la trayectoria seguida, y como en una trayectoria cíclica las
posiciones inicial y final coinciden, deducimos que el trabajo realizado por las fuerzas
conservativas en un ciclo cerrado es NULO.
c) Concluimos por tanto que toda fuerza CENTRAL es CONSERVATIVA.
-A toda fuerza conservativa se le puede asociar una energía potencial (o energía
que depende de la posición del objeto):
La energía potencial asociada a la fuerza gravitatoria es:

Mm 
Mm
FG   G
u r  E P  G
2
r
r
1.- El signo (-) se debe al carácter ATRACTIVO de la FG
2.- La EP es una magnitud ESCALAR y su unidad en el SI es el julio (J).
-El trabajo realizado por una fuerza conservativa: W FC
  D E P  E Po  E P
Actividades:
1.- Deducir la expresión de la Ep = mgh que utlizamos cuando un cuerpo de masa m
se encuentra a cierta altura h sobre la superficie de un planeta, siendo h<<<RPLANETA.
Para ello utilizaremos la expresión
Mm
y calcularemos la variación de Ep E
 G
P
cuando la masa cae desde cierta
r
altura h hasta el suelo.
2.- ¿Cuándo utilizaremos Ep = mgh y cuándo E P   G
¿Dónde situaremos el origen de Ep en cada caso?
Mm
?
r
3.-¿Cuánto trabajo se realiza al desplazar una masa de 1 000 kg desde la superficie
terrestre hasta una altura igual a dos veces el radio de la Tierra?
Interpreta el signo del trabajo resultante.
Datos: go = 9.81 m/s2;; RT = 6 370 km. (Sol: -4.19 1010 J)
4.- Un sistema consta de cuatro partículas de 10 g cada una, situadas en los vértices
de un cuadrado de 20 cm de lado. Calcula la Ep del sistema. (Sol: -1.8 10-13 J).
Dato: G = 6.67 10-11 Nm2/kg2
ASPECTOS ENERGÉTICOS DEL MOVIMIENTO EN EL ESPACIO DE LOS CUERPOS
1.- PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA DE
PLANETAS Y SATÉLITES EN SUS RESPECTIVAS ÓRBITAS.Los planetas y satélites en su movimiento orbital
cumplen el PCEM aunque la órbita sea elíptica.
Efectivamente, la velocidad es distinta
en el afelio y en el perihelio (vAFELIO < VPERIHELIO
lo que determina que Ec(afelio)<Ec(perihelio)),
por lo tanto, la energía potencial variará en la misma proporción, de forma que la
energía total permanezca constante, en cualquier punto de la trayectoria.
E TOTAL  Ec  Ep
ET 
1
2
mv  G
2
Mm
r
v = velocidad orbital del planeta o satélite
r=R+h
- Para dos puntos distintos de la
trayectoria:
ET1 = ET2
Ec1 + Ep1 = Ec2 + Ep2
Forma de las trayectorias según el valor de la E T
 Dado que dentro de un campo de
fuerzas gravitatorio la energía potencial
de un cuerpo siempre es negativa, y su
energía cinética siempre positiva, la ET
de ambas podrá ser negativa, nula o
positiva
Sol
 Atendiendo al signo de la ET,
la
trayectoria descrita por el cuerpo, será
una circunferencia, una elipse, una
parábola o una hipérbola
 Si es la mitad de la Ep
ET  
1
2
G
Mm
r
 Si es mayor que la  1 G M m  E T  0
r
2
anterior pero menor
 Si ET = 0  Ec = Ep
que cero
 Si ET > 0  Ec > Ep
CIRCUNFERENCIA
ELIPSE
PARÁBOLA
HIPÉRBOLA
2.- ENERGÍA DE AMARRE O LIGADURA (EL).-Energía mínima necesaria para que un cuerpo de masa m pueda escapar de la
atracción gravitatoria de un planeta.
- Por definición: EL = -EP (en la superficie del planeta)
EL  G
Mm
R
3.- VELOCIDAD DE ESCAPE DE LA SUPERFICIE DE UN PLANETA (ve).-La energía cinética que se le ha de comunicar a un objeto de masa m para
escapar TOTALMENTE de la atracción gravitatoria de un planeta ha de ser,
como mínimo, igual a la energía de ligadura, de forma que la velocidad de escape:
(TIERRA)
Ec  E L 
R
R
Actividades:
1.- ¿Cuánta energía se le ha de comunicar a una sonda espacial de 500 kg de masa
para ponerla en órbita circular de radio 2RT alrededor de la Tierra?.
2.- Si el radio de la Luna es 0.27 veces el terrestre y la masa lunar es 0.012 la
terrestre:
a-¿cuál es la velocidad de escape de la superficie lunar?.(Sol:2.35 km/s).
b-¿cuánto valdrá la energía de ligadura lunar por kg de masa?.(Sol:2.76 106J/kg).
3.- La distancia de la Tierra al Sol es de 152 100 000 km en el afelio, mientras que
en el perihelio es de 147 100 000 km. Si la velocidad orbital de la Tierra es de
30 270 m/s en el perihelio, determina por conservación de la energía mecánica, cuál
será su velocidad en el afelio?.(Sol: 29 247.5 m/s).
4.- Una sonda espacial de 1 000 kg se halla en
una órbita circular a una distancia RT sobre la
superficie de la Tierra. ¿Cuánta energía se
requiere para transferir la sonda hasta otra
órbita circular de distancia 2RT sobre la
superficie de la Tierra?.(Sol: 5.24 109 J).
Datos: RT = 6 370 km;; MT = 6 1024 kg
G = 6.67 10-11 Nm2/kg2
DE
5.- Los agujeros negros se denominan así porque su increíble densidad hace que su
acción gravitatoria sea tan intensa que ni la luz tiene suficiente velocidad de escape
para salir de él. A la distancia crítica en la que este hecho sucede (medida desde el
centro del agujero) se la denomina “radio de Schwarzchild”. ¿Cuál sería este radio
para un agujero de diez masas solares?. (Sol: 29 644 m)
Datos: MSOL= 2 1030 kg;; velocidad de la luz c = 3 108 m/s.
6.-Halla la velocidad de escape de la superficie de un planeta cuyo radio es un tercio
del terrestre, y cuya aceleración gravitatoria en la superficie del planeta es de 5.4m/s2.
(Sol: 4 800 m/s).
7.- Explica brevemente el significado de la velocidad
de escape. ¿Qué valor adquiere la velocidad de
escape en la superficie de la Tierra?. Calcúlala
utilizando exclusivamente los siguientes datos:
RT = 6.4 106 m;; aceleración de la gravedad
go = 9.8 m/s2.
8.- Un satélite se sitúa en órbita circular alrededor
de la Tierra. Si su velocidad orbital es 7.6 103 m/s
calcula:
a) El radio de la órbita y el periodo orbital del satélite.
b) La velocidad de escape del satélite desde ese punto.
Datos: utilizar exclusivamente: go = 9.8 m/s2;; RT = 6.4 106 m
9.- La velocidad de escape de un objeto desde la superficie de la Luna es de
2 375 m/s. Calcula la velocidad de escape de dicho objeto desde la superficie de un
planeta de radio 4 veces el de la Luna y masa 80 veces la de la Luna.
10.- Se sabe que la energía mecánica de la Luna en su órbita alrededor de la Tierra
aumenta con el tiempo. Escribe la expresión de la energía mecánica de la Luna en
función del radio de su órbita y, discute si se está alejando o acercando a la Tierra.
Justifica la respuesta prestando especial atención a los signos de las energías.