Estabilidad Transitoria Máquina – Barra Infinita
Criterio de igual área
E’
Xd’
E’
V
Vg
ZL
G
V
y12
G
ZS
ZS
y20
y10
 I 1   Y 11
   
 I 2  Y 21
Y 12   E ' 
 
Y 22   V 
Y 11  y 10  y 12
Y 12  Y 21   y 12
Y 22  y 20  y 21

Pe   E . I 1

'
*


  E   Y 11    11 . E     Y 12    12 . V  0
'
'
o
Pe  E
'
2
Y 11 cos  11  E V Y 12 cos    12 
'
En general es aceptable la aproximación de considerar todas las impedancias
como inductivas, por lo tanto despreciando las resistencias tenemos que:
 11   12  90 
Y 12  B 12  1
X 12
Pe  E V B 12 cos   90  
'
o
'
Pe 
E V
X 12
sin 


E’
y12
G
Y 12   E ' 
 
Y 22   V 
 I 1   Y 11
   
 I 2  Y 21
V
Y 12  B 12  1
y20
y10
X 12
'
Pe 
E V
sin 
X 12

Esta es la expresión más simple para el flujo de potencia y la base para entender
los problemas de estabilidad.
Pe()
Pmax
'
Pe 
E V
X 12
sin 

Pe
Pm
Punto de operación normal
o

/2
La másxima potencia es referida como el límite de estabilidad en régimen permanente
'
y se dá para un desplazamiento angular de 90°
E V
Pmax 
X 12
El método conocido como criterio de igual área puede ser usado para una rápida
predicción de la estabilidad. Este método es basado en la interpretación gráfica
de la energía almacenada en la masa rotórica y ayuda a determinar si la máquina
mantiene su estabilidad luego de una perturbación en la red.
Este método es solo aplicable a una máquina (que puede ser el equivalente de varias
máquinas en paralelo) conectada a barra infinita (gran red en comparación con el
sistema máquina-impedancia de transferencia).
La ecuación swing de una máquina sincrona conectada a una barra infinita, despreciando el amortiguamiento, está dada por:
d 
2
H
 . f dt
2
 Pm  Pe  Pa
Donde Pa es el par acelerante. De la ecuación de arriba, tenemos:
d 
2
dt

2
.f
H
 Pm
 Pe 
Multiplicando ambos lados de la ecuación por
d
2
tenemos:
dt
d d 
2
2
dt dt
2

2 . . f
 Pm
H
 Pe 
d
dt
Puede ser escrito como:
2
d   d    2 . . f
  

dt   dt  
H


 Pm
 Pe 
d
dt
o
  d   2  2 . . f
d 
  
H
  dt  
 Pm
 Pe d 
  Pm
 Pe d 
Integrando ambos miembros:
2
2 . . f
 d 

 
H
 dt 

0
o
 d 


 dt 
2 . . f
H

  Pm
0
 Pe d 
 d 


 dt 

2 . . f
  Pm
H
 Pe d 
0
Esta ecuación da la velocidad relativa respecto al marco de referenciasincronica,
Si la máquina recupera la estabilidad luego de cierto tiempo de duración de la
perturbación, implica que esta veocidad debe volverse cero, esto es:

  Pm
 Pe d   0
0
Aplicación sobre faltas trifásicas
G
inf
Falta trifásica temporaria
Pe()
A1= A2
A2
cte.
Pm
Como la falta es en la
barra, la potencia trasmitida es cero (se están
despreciando resistencias).
Pe
A1
0
Como viene en régimen en
el instante de la falta
o
1
max

Angulo en el instante que la falta
desaparece
Pe()
Durante la falta:
-No se trasmite (en este caso) potencia
a la barra infinita.
-La máquina se acelera almacenando
energía cinética y aumentando el
ángulo 
A1= A2
f
A2
Pm
Pe
A1
0
o
1

max
Desaparece la falta en 1 :
-Retorna la operación a la curva original.
-La máqina se desacelera y la energía
cinética previamente almacenada se
reduce a cero (punto f) donde el área
A2 iguala al área A1.
-El rotor oscila hacia delante y hacia
atrás de o a su frecuencia batural
hasta estabilizarse en el punto de
operación original o
El ángulo critico de despeje del cortocircuito se alcanza cuando cualquier aumento
de 1 causa un área A2 (energía de desaceleración) menor que el área A1 (área
de aceleración). Esto ocurre cuando max esta en la intersección de Pm con la curva
Pe.
Application of equal area criterion to a critically cleared system
Critical clearing angle = 84.7745
1.8
1.6
A1= A2
Power, per unit
1.4
A2
1.2
1
Pm
0.8
0.6
A1
0.4
0.2
0
0
20
40
60
80
100
120
Power angle, degree
C
140
160
180
¿cómo determinamos C ?
Application of equal area criterion to a critically cleared system
Critical clearing angle = 84.7745
Pmax
1.8
1.6
A 1= A 2
Power, per unit
1.4
1
0.6
C
0.4
 Pm
0
d 
  P max
sin  - Pm d 
Pm
0.8
De la figura
 max
A2
1.2
A1
0.2
C
0
Integrando ambos lados:
0
20
0 40
60

80
100
120
Power angle,
C degree
140
160
max
180
Pm ( C   0 )  P max cos  C  cos  max   Pm ( max   C )
Resolviendo para C :
cos  C 
Pm
P max

max   0   cos  max
Para determinar el tiempo crítico debemos resolver la ecuación de swing durante
la falta Pe=0, entonces:
d 
2
dt
2

.f
Pm
H
Integrando a ambos lados
d
dt

.f
t
Pm
H
 dt

.f
Pm . t
H
0
Integrando nuevamente
 
.f
2.H
Pm . t   0
2
Si  C es el ángulo crítico, el correspondiente tiempo crítico es:
tC 
2 . H ( C   0 )
 . f . Pm
Ejemplo numérico
V=1
E’
f=60 Hz
XL1=0.3
Xt=0.2
inf
G
Falta trifásica temporaria
X’d=0.3
XL2=0.3
S
*
V
*
I 

0 . 8  j 0 . 074
1 .0  0 
Pe=0.8 pu
Q=0.074 pu
 0 . 8  j 0 . 074 pu
La impedancia de transferencia entre la tensión interna del generador y la barra
infinita antes de la falta es:
X E 'V  0 . 3  0 . 2 
0 .3
 0 . 65
2
La fem del generador es entonces:
E '  V  jX
E 'V
I  1 . 0  ( j 0 . 65 )( 0 . 8  j 0 . 074 )  1 . 17  26 . 38  pu
La curva de la potencia antes de la falta:
PE 
( 1 . 17 )( 1 . 0 )
sen   1 . 8 sen 
0 . 65
El ángulo inicial de operación es dado por:
1 . 8 sen   0 . 8   0  26 . 38   0 . 4605 rad
y el
 max
:
 max  180   0  153 . 6   2 . 681 rad
El ángulo crítico:
cos  C 
0 .8
( 2 . 681  0 . 4605 )  cos 153 . 61   0 . 09106
1 .8
  C  cos
1
( 0 . 09106 )  84 . 775   1 . 48 rad
El que corresponde al siguiente tiempo crítico:
tc 
( 2 )( 5 )( 1 . 48  0 . 4605 )
 .( 60 )( 0 . 8 )
 0 . 26 s
Ahora considerando una falta trifásica a determinada distancia del extremo emisor
y además la falta se elimina sacando de servicio la línea correspondiente.
G
inf
Falta trifásica
Pe()
Punto de operación antes de la falta
A1= A2
Punto de operación despues de la falta
Pe
X E 'V
f
Pe Pe
Pm
E '.V

p re falta
A2
Pe
p os falta
E '.V

A1
X E 'V
Pe falta 
0
sen 
pre falta
 o  1
max
¿cómo determinamos C ?
sen 
pos falta
E '.V
sen 
X E 'V falta

Application of equal area criterion to a critically cleared system
Critical clearing angle = 98.8335
1.8
1.6
Power, per unit
1.4
1.2
A2
1
Pm
0.8
A1
0.6
0.4
0.2
0
C
Pm (  C   0 ) 
0
 max
 Pe max falta sin  d  
0
 Pe
o 
20
max posfalta
40
60
max

80
100
120
Power angle, degree
C
sin  d  - Pm  max   C
140
160

C
Integrando ambos lados obtenemos
cos  C 
Pm  max   0   Pe max
Pe max
posfalta
posfalta
cos  max  Pe max
 Pe max
falta
falta
cos  0
180
Ejemplo numérico
V=1
E’
F=60 Hz
XL1=0.3
Xt=0.2
inf
G
Falta trifásica ½ línea
Pe=0.8 pu
X’d=0.3
Q=0.074 pu
XL2=0.3
Del ejemplo anterior sabemos que antes de la falta:
E '  1 . 17 pu
PE 
( 1 . 17 )( 1 . 0 )
sen   1 . 8 sen 
0 . 65
1 . 8 sen   0 . 8   0  26 . 38   0 . 4605 rad
La falta ocurre en medio de una de las líneas, resultando el circuito:
0.3
0.5
E’
G
0.15
0.15
inf
V=1.0
Para determinar la impedancia de transferencia podemos pasar a  el circuto Y
formado por las reactancias 0.5, 0.15 y 0.3:
1.8
E’
G
0.9
X E 'V falta 
0.54
0 . 5 0 . 3   0 . 5 0 . 15   0 . 3 0 . 15 
0 . 15
La curva Pe() durante la falta es:
Pe falta 
1 . 17 1 
1 .8
inf
0.15
sen   0 . 65 sen 
 1 . 8 pu
V=1.0
Cuando se limpia la falta aislando la línea, la impedancia de transferencia pos falta
vale:
X E 'V pos falta  0 . 3  0 . 2  0 . 3  0 . 8 pu
La curva Pe() pos falta falta es:
Pe pos falta 
1 . 17 1 
sen   1 . 4625 sen 
0 .8
Además de la gráfica vemos que:
 max  180  sen
1
 0 .8 

  146 . 83   2 . 5628 rad
 1 . 4625 
Finalmente el C es dado por:
 C  cos
0 . 8 2 . 5628  0 . 4605
  1 .4625
cos 146 . 83   0 . 65 cos 26 . 38 
1 . 4625  0 . 65
1
  0 . 15356
 0 . 15356   98 . 834 
Application of equal area criterion to a critically cleared system
Critical clearing angle = 98.8335
1.8
1.6
1.4
Power, per unit
cos  C 
1.2
A2
1
Pm
0.8
A1
0.6
0.4
0.2
0
0
o 
20
40
60

80
100
120
Power angle, degree
C
max
140
160
180
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