Departamento de Control, División de Ingeniería Eléctrica
Facultad de Ingeniería UNAM
Sistemas de segundo orden
México D.F. a 11 de Septiembre de 2006
Sistemas de segundo orden
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Los sistemas de segundo orden continuos son aquellos que responden a
una ecuación diferencial linea de segundo orden
2
a0
d c (t )
dt
2
 a1
dc ( t )
dt
2
 a 2 c ( t )  b0
d r (t )
dt
2
 b1
dr ( t )
dt
 b2 r (t )
Sin pérdida de generalidad se analizará un caso muy común donde:
a 0  1, a1  p , a 2  b 2  K , b0  b1  0 .
Que corresponde al siguiente sistema de segundo orden:
R (s)
E (s)
K
s(s  p)
C (s)
donde
K es una const.
que representa
una ganancia.
p es una const. real
representa al polo
del sistema.
Sistemas de segundo orden
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Su función de transferencia de lazo cerrado es:
C (s)

R (s)
C (s)
R (s)

K
2
s  ps  K
K

p
s 

2


p


K s 

4
2

p
2

K 

4

p
2
Como se aprecia, los polos de lazo cerrado pueden ser de tres tipos
2
2
p
 K
1. Reales diferentes si: p  K , 2. Reales iguales si:
4
4
2
p
 K
3. Complejos si
4
Para facilitar el análisis se realiza el siguiente cambio de variables
K  n
2
p  2 n  2
Sistemas de segundo orden
C (s)
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
n
2

R (s)
forma estándar del sistema
de segundo orden.
s  2 n s   n
2
2
donde  n es la frecuencia natural no amortiguada, 
se denomina
atenuación,  es el factor de amortiguamiento. Ahora el comportamiento
dinámico del sistema de segundo orden se describe en términos de los
parámetros  y  n .
Se analizará la respuesta transitoria ante una entrada escalón unitario:
(1) Caso subamortiguado ( 0    1): en este caso C ( s ) R ( s ) se escribe
C (s)
n
2

R (s)
( s  
n
 j  d )( s  
n
 j d )
donde  d   n 1   se denomina fracuencia natural amortiguada. Si R ( s )
es una entrada escalón, entonces
2
n
2
C (s) 
( s  2 n s   n ) s
2
2
Sistemas de segundo orden
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Utilizando fracciones parciales
C (s) 
1

s
s   n
( s   n ) 
2
2
d

 n
( s   n )   d
2
2
y conociendo que
-1
L
-1
L


s   n
  n t

e
cos  d t

2
2
 ( s   n )   d 


d
  n t

e
sen  d t

2
2
 ( s   n )   d 
Se obtiene la salida en el tiempo
c (t )  1 
e
  n t
1
2

sen   d t  tan


1
1

2




(t  0 )
Sistemas de segundo orden
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
(2) Caso de amortiguamiento crítico (  1) :
en este caso se tienen dos polos reales iguales y C ( s ) ante un escalón es
n
2
C (s) 
(s   n ) s
2
la transformada inversa arroja
c (t )  1  e
 n t
(1   n t )
(t  0 )
Sistemas de segundo orden
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
(3) Caso sobreamortiguado (  1) :
en este caso se tienen dos polos reales negativos y diferentes. Para una
entrada escalón, C ( s ) es
n
2
C (s) 
( s  
n
n 
 1 )( s  
2
n
n 
2
 1) s
La transformada inversa de Laplace de la ecuación anterior es
c (t )  1 

1
2 
2
 1 ( 

2
 1)
1
2 
2
 1 ( 

2
 1)
e
e
 (  
 (  
2
2
1 )  n t
1 )  n t
Sistemas de segundo orden
2
1.8
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
  0
  0 .2
1.6
  0 .4
1.4
  0 .7
1.2
  0 .8
1
0.8
  1 ca
0.6
  1 sa
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
10
Fig. Curvas de respuesta al escalón unitario.
12
Figura. Respuesta
al escalón de
diferentes sistemas
de segundo orden.
Sistemas de segundo orden
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Respuesta impulsiva de sistemas de segundo orden
n
2
C (s) 
s  2  n s   n
2
2
Utilizando transformada inversa obtenemos las siguientes soluciones de c (t )
n
c (t ) 
para ( 0    1)
1
2
e
  n t
sen  n 1   t
2
(t  0 )
para (  1)
c (t ) 
n
2 
 (    1 )  n t
2
2
1
c ( t )   n te
 n t
e
para (  1)
2
(t  0 )

n
2 
2
 (    1 )  n t
2
1
e
(t  0 )
Sistemas de segundo orden
1
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
  0
  0 .2
0.8
  0 .4
0.6
  0 .7
0.4
  1 ca
0.2
  1 sa
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
2
4
6
8
10
12
Figura. Respuesta
al impulso de
diferentes sistemas
de segundo orden.
Sistemas de segundo orden
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Definición de los parámetros de la respuesta transitoria
Las características de desempeño de un sistema de control se comparan
basándose en el tiempo de la repuesta transitoria. La característica
transitoria de los sistemas dinámicos se presenta por la incapacidad de
responder de manera instantánea a las entradas o perturbaciones. La
respuesta transitoria es común clasificarla con base a los siguientes
parámetros.
1.4
c(t)
M
1.2
1. Tiempo de retardo
p
1
td
1
2. Tiempo de crecimiento t r
3. Tiempo pico t p
0.8
0.6
0.4
4. Sobreimpulso máximo M
0.2
5. Tiempo de establecimiento t s
0
0
0
t2 r
4
pt
6
8
10
12
ts
14
16
18
20
p
t
a continuación se definen…
Tiempo de retardo
, . Es el tiempo que tarda la respuesta en alcanzar la mitad del
valor final por primera vez.
Sistemas de segundo orden
2.- Tiempo de crecimiento
2.- Tiempo de crecimiento, . Es el tiempo requerido para que la respuesta
aumente de 0 a 100% para sistemas subamortiguados, del 5 al 95% o del
10 al 90% para sistemas críticamente amortiguados o sobreamortiguados.
El tiempo de crecimiento se obtiene dando un valor de uno en la ecuación
de respuesta de un sistema de segundo orden ante una entrada escalón.
c (t )  1  e
  n t r
(cos  d t r 
cos  d t r 

1
2

1
2
sen  d t r )  1
sen  d t r  0
tr
Sistemas de segundo orden
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
o bien
cos  d t r 

1
2

cos  d t r tan  d t r  cos  d t r 1 

tan  d t r  
1

2


1
2

tan  d t r   0

d

el tiempo de crecimiento es
tr 
1
d
tan
d    
,


d
 
1 
  tan
1
d

d


Sistemas de segundo orden
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
3.- Tiempo pico, t p . Es el tiempo requerido para que la respuesta alcance el
primer pico de sobreimpulso. El tiempo pico se obtiene derivando la ecuación
de respuesta c(t) e igualándola a cero, con lo que se obtiene
( sen  d t p )
n
1
2
e
  n t p
sen  d t p  0 , los valores que satisfacen
0
esta ecuación
0 ,  , 2 , 3 ,  , se elige el primer sobreimpul so .
dtp  

tp 

d
son
SOBREPASO
Sistemas de segundo orden
Mp
4. Es el valor pico máximo de la curva de respuesta medido desde la
unidad o valor deseado. El sobreimpulso máximo se obtiene de la
respuesta evaluada en el tiempo pico.
M
p
 c (t p )  1
 e
e
M
  n (   d )
   n  d 
p
e


ts 

 cos  d


d

e
1 
2
   d 


1
2
sen  d
 

 d 
5.- Tiempo de establecimiento,
5.- Tiempo de establecimiento, . Es el tiempo mínimo donde la curva de
respuesta alcanza y se mantiene dentro de un rango de error preestablecido,
generalmente es del 2% o del 5%, el rango más común es el del 2%. Para
sistemas de primer y segundo orden, la respuesta se mantiene dentro del 2%
después de 4 constantes de tiempo:
t s  4T 
4
 n

4

Sistemas de segundo orden
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Ejemplo: Definir los parámetros de respuesta transitoria del sistema
R (s)
C (s)
75
s ( s  34 )
Desarrollo:
La función de transferencia de lazo cerrado es
C (s)

R (s)
75
2
s  34 s  75
Se utiliza la siguiente igualdad
75
2
s  34 s  75
n
2

s  2 n s   n
2
2
Sistemas de segundo orden
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
se obtiene
 n  375
n 
375
2 n  34
 
34
2
  17
 0 . 877876
d 
86
2 375
A partir de aquí se obtienen los parámetros de respuesta transitoria
  tan
tr 
tp 
 
d

d
1
d

 0 . 499 rad .
 0 . 2849 segundos
 0 . 33876 segundos
M
p
e
ts 
   d 
4

 0 . 00315  0 . 315 %
 0 . 23529 segundos
Nota: Analizar porque t s  t r  t p
Sistemas de segundo orden
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Ejemplo: De los siguientes parámetros de respuesta transitoria obtener
la función de transferencia.
1.4
c(t)
1421.2
127 1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 00
2
4
6
8
10
12
14
0.75
16
18
20
t
Desarrollo: de la gráfica
M
p

142  127
127
 0 . 1181
t s  0 .75 segundos
Estos dos
Parámetros
Son suficientes
Sistemas de segundo orden
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
De t s
4
4
ts 
  
 5 . 3333

ts
De M
M
p
p
e
y conociendo 
   d 
 d 
 
ln M
 7 . 84335
p
Entonces
  5 . 3333
n 
 d  7 . 84335

2
n
s  2 n s   n
2
2
 n     
2
G (s) 
  d  9 . 48486
2


n
 0 . 56229
89 . 96256
2
s  10 . 666 s  89 . 96256
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