Campos magnéticos
Chinos: siglo XIII a.C.
“Tetraóxido de trifierro”
Arabes, indios,…
Griegos: 800 a.C., magnetita Fe3O4, del pastor Magnus
N
Pierre de Maricourt 1269
N
S
S
La tierra tiene un campo magnético
William Gilbert 1600
N
Norte geográfico
N
Tierra
S
S
Sur geográfico
1750
r
F 
1
r
2
F
No existen monopolos magnéticos.
Magnetismo y electricidad
Gian Dominico Romognosi 1802
Gazetta de Trentino.
H. C. Oersted: 1819
brújula
I
+
Ampère (1775-1836) : Fuerza entre conductores.
1820 Faraday. Inducción.
J. Henry(1797-1878)
Un campo magnético variable produce una
corriente eléctrica.
Maxwell: un campo eléctrico variable origina un campo magnético.
1T  1
N
Am
Tesla
EXPERIMENTOS

B

 
FB  q v  B

v
El campo magnético se define
en términos de la fuerza que
actúa sobre una partícula
cargada en movimiento.

FB
La fuerza magnética no trabaja cuando
se desplaza una partícula.
L

v

 
 
 
F  nqLA v  B  nq v A L  B  I L  B
 

d F  Id l  B
Fuerza sobre un circuito cerrado en un campo magnético constante:

B
I

F 

 
Id l  B  I


d
l

B

0



Fuerza sobre un alambre curvo en un campo magnético constante.

B

L

 
F  IL  B
Es el mismo que el sobre el circuito
rojo.
Momento de torsión (torque) sobre una espira de corriente.
z

A
y
x
I
a

b

B

z
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
F 4  I ( b sin  k  b cos  j )  B j   IbB sin  i

A

F2
a
b
F3
y

F4
x
I

B


F1

F3  I (  b sin  kˆ  b cos  ˆj )  B ˆj  IbB sin  iˆ

F2  Ia iˆ   B ˆj  IaB kˆ

A



F1  Ia  iˆ   B ˆj   IaB kˆ

b1

b
IAB
ˆ
ˆ
1 
 F1   sin  k  cos  ˆj   (  IaB k )  
cos  iˆ
2
2
2


b2
b
IAB

ˆ
ˆ
2 
 F 2  sin  k  cos  ˆj   ( IaB k )  
cos  iˆ
2
2
2

 
1
1  
cos(
  ) iˆ  
sin  iˆ  I A  B
2
2
2
2
 

IAB

IAB
1
2  
cos(
  ) iˆ  
sin  iˆ  I A  B
2
2
2
2

luego:
IAB

IAB
 
   1   2  IA  B




 
 B

  IA


Partícula de masa m y carga q en un campo magnético B   B iˆ
z
















































 
 
 
 
 
y0
 
 
















Lanzamos la carga desde este punto
con velocidad inicial vz
y

 
F  qv  B

F   q  x iˆ  y ˆj  z kˆ   B iˆ  qB y kˆ  qB z ˆj

F   q  x iˆ  y ˆj  z kˆ   B iˆ  qB y kˆ  qB z ˆj
Luego las ecuaciones de movimiento son:
m x  0
m y   qB z
m z  qB y
Definiendo la frecuencia de ciclotrón
 
qB
m
tenemos:
x  0
y    z
z   y
La primera ecuación dice
x ( t )  x 0  x 0 t
es decir si lanzamos la carga en el plano z-y , con velocidad sin componente x
se moverá sobre tal plano. No hay aceleración en la dirección x.
Consideremos las otras dos:
y    z
z   y
Integrando, una vez, la primera :
y    z  y ( 0 )    z
ya que la velocidad inicial no tiene componente y.
Reemplazando esto en la segunda obtenemos:
z    z
2
o bien
z   z  0
2
Cuya solución general es:
z ( t )  A1 cos  t  A 2 sin  t
z ( 0 )  A1  0
z ( t )   A1 sin  t  A 2  cos  t
z ( 0 )  v z  A 2 
luego:
z (t ) 
vz

sin  t
Para la componente y tenemos:
y ( t )    z ( t )   
y (t ) 
vz

vz

sen  t
cos  t  A3  y 0 cos  t  A3
Condición inicial permite calcular A3
y ( 0 )  y 0  y 0  A3  A3  0
luego tenemos la solución para las tres componentes:
x (t )  0
y ( t )  y 0 cos  t
z ( t )  y 0 sen  t
con y 0 
vz

z
















































 
 
 
 
 
y0
 
 
















Lanzamos la carga desde este punto
con velocidad inicial v z kˆ
y
Luego hacemos
desaparecer el
campo magnético.
Si la velocidad inicial de la carga hubiera tenido una componente x, el
movimiento sería:
x
Permeabilidad del vacío
Ley de Biot-Savart
 0  4   10
7
T m
A


 0 Id s  rˆ
dB 
2
4
r
I

ds
rˆ

ds

r

dB

d s  rˆ
rˆ
 0I
B 
4


d s  rˆ
r
2
Ejemplo: Conductor recto delgado.
ˆj
y
iˆ
kˆ

r
1

ds
a
2

O
x


 0 Id s  rˆ
ˆ
dB 

dB

2
4
r
dB 
Módulo:
r  x a
2
2
I  0 dx
4 r
2
rˆ
ˆ
rˆ
sen 

ds
ˆ
2
rdr  xdx
dx 
rdr

x
sen  
a
r
rdr
 r cos 

dr
cos 
 cos  d   
a
r
2
dr  dr  
r
2
a
cos  d 
dx
r
dB 
2
d
a
I  0 dx
4 r
B 


1
2
sen  
0I
4 a
0I
4 a
I 0
4 a
sen  d 
2
 sen   d 
1
cos  1  cos  2 
Si alambre es muy largo:
1  0
2  
B 
0I
4 a
1  (  1)  
0I
2 a
Segundo Control; Primera parte. Problema 4
Tres largos alambres están colocados perpendicularmente entre ellos
de manera que cada uno corresponde a un eje de coordenada cartesiano.
z
Iz
Iy
y
Ix
Las corrientes sobre los respectivos ejes son
x
Ix, Iy, Iz .
Encuentre la fuerza sobre una partícula de carga q, que se encuentra en
el punto xˆ  yˆ
con velocidad v yˆ
0
.
Encuentre el flujo magnético a través de una espira rectangular cuyos vértices
son:
xˆ  yˆ , xˆ  b yˆ , a xˆ  b yˆ , a xˆ  yˆ
a, b  0
Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético uniforme















Frecuencia de ciclotrón










 





qB
m

 
F  qv  B

B
+
+
+
+
~
+
m z  qE  z 
qE
2m
vd 
q vB 
qE
2 md
m
qE
mv
r
2
 rd 

t  td 
2
2 md
qE
2 qEd
m
mvd
qB

m
2 qEd
qB
m

 rd  v d T r  T r 
d
d
1
2 mEd
B
q
 rd
m
vd

qB
Con el teorema trabajo-energía se puede demostrar que los círculos
se van abriendo con un factor
n
En la primera atravesada la velocidad es
v0 
2 qEd
m
En la siguiente:
qEd 
m
2
2
v1 
m 2 qEd
2
m
 v1 
3v o
en la siguiente:
qEd 
m
2
2
v2 
m 3  2 qEd
2
m
 v2 
5vo



qEd 
m
2
rn 
m
qB
2
vn 
m  2 n  1  2 qEd
2
2 n  1v o 
m
1
B
2n  1
 vn 
2 Emd
q
2 n  1v o

1
c
2 n  1v o
kˆ
Selector de velocidades
+ + + + + + + + + +
-
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
-
-
Fuerza de Lorentz
-
-
-
-
-
-

B   B iˆ
-


 
F  qE  qv  B
Se seleccionan las partículas sobre las cuales

F 0
Estas cargas siguen sin desviarse y tienen una velocidad igual a :
v
E
B
ˆj

E   E kˆ
iˆ
Espectrómetro de masas

x
x
B0
+ + + + + + + + + +
x
x
x
-
x
-
x
x
x
x
-
-
x
x
x
-
v  r  r
qB
-
m
r 
o bien
qB
m
q

B r
v

x
x
-
mv

E
x
BB 0 r
E
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
r
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
-
-
-
luego
x

B
Ley de Ampère:
alambre infinito

I


 
0I
B  d s  B  ds 
2 r   0 I
2 r

Vale para cualquier trayectoria y corrientes.
I1
I2



 
B  d s   0  I 1  I 2  ... 
B
0
R
r
Aplicación ley de Ampère
I0
Corriente homogénea
R
 0I0
B 
ˆ
2 r

0I0
ˆ
B 
r

2
2 R
si
si
r R
r R
Solenoide:
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

 
B  d s  Bl   0 NI
luego:
l
B   0 nI
donde n es el número de vueltas
por unidad de largo.
Flujo magnético:
B 

 
B  da
Ley de Gauss:
B 
N

 
B  da  0
El flujo magnético a través de
cualquier superficie cerrada es
siempre igual a cero.
No existen monopolos.
Flujo magnético a través de una espira rectangular
b
I
B
c
 0 Ib
a


ln  1  
2
c

a
Veremos más adelante: Ley de inducción de Faraday:
 
d B
dt
29-11
Un protón se mueve con una velocidad
m

v  2 ˆi - 4ˆj  kˆ
s
en una región donde el campo magnético es:

B  iˆ  2 ˆj  3 kˆ
T
¿Cuál es la magnitud de la fuerza magnética que esta carga experimenta
en ese instante?
Solución:

 
F  q v  B  q 2 ˆi - 4ˆj  kˆ   iˆ  2 ˆj  3 kˆ 
 q ( 4 iˆ  ˆj  6 iˆ  kˆ  4 ˆj  iˆ  12 ˆj  kˆ
 kˆ  iˆ  2 kˆ  ˆj )  q ( 8 kˆ  7 ˆj  10 iˆ )
F  (1 . 6  10
 19
C )  ( 213
Tm
s
)  2 . 34  10
N
18
N
Se recomienda la siguiente notación:
iˆ

F  q2
1
ˆj
kˆ
4
1
2
3
29-20
Una barra de masa m y radio R descansa sobre dos rieles paralelos,
separados por una distancia d, y tienen un largo L. La barra conduce una
corriente I y rueda sobre los rieles sin deslizarse. Si la barra parte del reposo
¿cuál es su velocidad cuando deja los rieles si hay un campo magnético
uniforme B, perpendicular a la barra y al plano de los rieles?
z

B
d
I
y
x
L
Solución:
La fuerza sobre la barra es:
 

F  I d  B  Id iˆ  B (  kˆ )  IdB ˆj
Si la barra no rueda tendremos:
m y  IdB  y 
IdB
t y
m
1 IdB
t
2
2 m
Cuando deja los rieles:
L
1 IdB
2 m
y L 
2 dLIB
m
2
tL  tL 
2 mL
IdB
velocidad con que deja los rieles
en caso que no ruede.
Si rueda debemos agregar la existencia de un momento de inercia.
La fuerza que actúa sobre la barra durante la distancia L le entrega una
energía igual a:
 E  F  L  IdBL
la cual se transforma en energía cinética de rotación y de traslación, es decir:
 E  IdBL 
1
2
mv 
2
1
I
2
2
2

 3
1
1
v


2
2
2
 m v   mR   2   m v
2
22
 R  4
1
v
4IdBL
v rodando
3m
v sin rodar

2
3
1
29-27
Un alambre de 0.4 m de largo conduce una corriente de 20 A. Se dobla en una
espira y se coloca con su normal perpendicular a un campo magnético con una
intensidad de 0.52 T. ¿Cuál es el momento de torsión sobre la espira si se dobla
en la forma de a) un triángulo equilátero, b) un cuadrado, c) un círculo?
Solución:
a)

 B




A

  IA


B
1 40
2 3
  ( 20 A )  ( 7 . 7  10
3
2
2
 40 
 40 
2
3
2


10

7
.
7

10
m




 3 
 6 
m )  ( 0 ,52 T )  80 . 1  10
2
3
Nm
b)



B
  ( 20 A )  (10
2
m )  ( 0 ,52 T )  0 . 104 Nm
2

c)


B
  ( 20 A )  (1 . 27  10
2
m )  ( 0 ,52 T )  0 . 132 Nm
2
es el que tiene el momento de
torsión mayor entre los tres.
29-64
Una barra metálica con una masa por unidad de longitud igual a 
conduce una corriente I . La barra cuelga cuelga de dos alambres en un
campo magnético vertical uniforme. Si los alambres forman un ángulo 
con la vertical cuando están en equilibrio, determine la intensidad del
campo magnético.
Solución:



g
I
En el equilibrio:
T sen   ILB  0
T cos   mg  0
luego:
 mg
B 
tan  ˆj
IL
29-67
Considere un electrón que orbita alrededor de un protón y mantiene una
órbita circular fija de radio R = 5.29 x 10-11 debido a la fuerza de Coulomb.
Tratando a la carga orbital como una espira de corriente, calcule el momento de
torsión resultante cuando el sistema está en un campo magnético de 0.4 T
dirigido perpendicularmente al momento magnético del electrón.
Solución:
I 
q
T 
T
v
keq
R
luego:
I 
qv
2 R

q
2 R
2
2 R
ke
mR
2
2

mv
R
2
I 
qv
2 R

q
2
2 R
2

q


  B 
2 R

q
2
2
ke
mR
ke
mR
ke
mR
 R B ˆ
2
RB ˆ  ( 3 . 7  10
 24
N  m )ˆ
29-72




q vB 





v  v yˆ
mv
r
2




h

qBh
vf  
yˆ
m
velocidad crítica para que llegue
justo al borde de arriba:
vc 
qBh
m
y
Si
v  vc






   r      

      r   





r
mv
qB
h
  sen  
r
-1

v f  vsen  xˆ  vcos  yˆ
x
Anillo cargado uniformemente con carga total positiva q.
30-56

dB

R
x

rˆ
2

0

ds
y
I 
dB 
 0 IR


T
  I d s  rˆ
dB  o
2
4
r
B
q
2 x R
2
q
2
 o I ds
4 r
2
2
2

3
2
BR 
2
 0q
2 . 5 5 R

dB 
 o I ds
4 r
2
Componentes radiales se anulan. Luego:
  I
B o
4

oI R
R ds
 2 xˆ 
3
r r
4 r

B
 0 IR

2 x R
2
2
 Rd  xˆ 
0
2
2

xˆ
3
2
oI
4
2 R
x
2
R
2

2 3/2
xˆ
30.73
En el anillo circula una corriente dI
x
dQ
dI 
dr
  dQ 
 dQ
2
T
dQ   dV   2  rdrdx
dx
x
 0 r dI
2
dB 
R

2 x r
2

2
3
2
 0  r drdx
3
dB 

2 x r
B
2
R
R x


x R
r 0
2
 o 
2
2
3

r drdx
x
2
r

2 3/2

2

3
2
 o  R
3
( tomar v  r  x )
2
2
2
Segundo Control; Primera parte. Problema 3
R
Una esfera no conductora cargada uniformemente con carga Q, rota en torno a un
eje que pasa por su centro, con velocidad angular .
Encuentre el campo magnético en el centro de la esfera.
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Campos magnéticos