La Regla de la Cadena
Tomado de UNIMET Prof. Antonio Syers
Introducción
Recordemos que la regla de la cadena para una
función y = f(x) ; y x = g(t,), ambas funciones
derivable, entonces y es una función derivable
con respecto a t y se cumple:
dy
dt

dy dx
dx dt
Para funciones de varias variables, la regla de
la cadena tiene varias versiones
Caso 1
Supongamos que z = f(x,y) es una función
diferenciable de x y de y, donde x=g(t) y y=h(t)
son funciones derivables de t ; entonces z es
una función derivable de t y se cumple que:
dz
dt

f dx
x dt

f dy
y dt
Veamos esta fórmula de manera
esquemática
Caso 1

Z =f (x,y)
x
x

y
y
dz
d
d
dt
dt
t
t
dt

f dx
x dt
+
f dy
y dt
Ejemplo
Si T( x, y )  x 2 y  3xy4 representa la
temperatura en el punto (x,y) y x  e t ; y  sent
son las ecuaciones paramétricas de una curva
C , calcule la razón de cambio de la
temperatura T a lo largo de la curva cuando
dx
t=0
T
dt
x
t dT T dx T dy
x

+
T
dt
x dt
y dt
T
y
y
dy
dt
t
Si queremos saber cual es la razón
de cambio de T cuando t = 0,
entonces
dT
dt

t 0
f
x
dT
dt
dx
( x (0), y (0))
dt

t 0
f
y
dy
( x (0), y (0))
 0e  1cos 0  1
0
t 0
dt
t 0
Caso 1 ( General)
Suponga que z es una función derivable de
las n variables x1 , x2 , x3 ,…, xn , en donde
cada xj es una función de t. Por consiguiente
z es una función derivable de t y se cumple:
z dx 1
z dx 2
z dx 3
z dx n



 ... 
dt x1 dt
x 2 dt
x 3 dt
x n dt
dz
Caso 2
Supongamos que z = f(x,y) es una función
derivable de x y de y, donde x = g(s,t), y =h(s,t)
y las derivadas parciales de g y h existen .
Entonces:
z
s
z
t


f x
x s
f x
x t


f y
y s
f y
y t
Caso 2
 Z =f (x,y)
x

x
s
s
z
s

 f x
x  s
y


t
s
t
+

y

t
s
t
f y
z
y s
t

 f x
x  t
+
f
y
y
t
Supongamos que w = f(x,y,z) es una función
derivable de x, y de z, donde x = g(s,t),
y =h(s,t), z =k(s,t) y las derivadas parciales de
g, h, k existen . Entonces
w
s
w
t


f x
x s
f x
x t


f y
y s
f y
y t


f z
z s
f z
z t
w=f (x,y,z)

x


z
y

x
s


s
t
s
t

w
w

t
s


y
s

f
f x

x
x t
s


t
s
t

f y
y 
s
t
z
s



t
t
ff 
z
z

z
z 
s
t

Ejemplo
Si z  f(x, y), donde x  rcos , y  rsen
Demuestre que
 z 


 r 
2
1  z 



2
r   
2
 f 


 x 
 Z =f (x,y)
x

r
r
x
2
 f


 y

y



r

r
y







2
ejemplo…
z
r
z


f x

f
y
x r
y r
f
f

cos  
sen
x
y

f x
x 

f
x

rsen 
f
y
y 
f
y
r cos 
ejemplo…
 z 


 r 
2
2
 f 
2

 cos  
 x 
 f
2
cos sen  

x y
 y
f f
 z 


  
2
 f


 y
f f
2
2

2

sen




2
2

r
cos



 f 
2
2
r cos sen  

x y
 x 
2
2
2
r sen 
ejemplo…
1  z 


2 

r 
2
2
 f 
2

cos


 x 
 f
2
cos sen  

x y
 y
Por lo tanto
f f
2

2

sen



2
2

 f 
1  z 
 z 
 f 
2
2
  cos   sen 

 

  
  
2
 x 
 r 
r   
 y  


2
2
 f 
 f 


  
 x 
 y 
2
2


Segunda derivada
La segunda derivada de una función es
análoga a la primera, es decir, depende de las
mismas variables que depende la función
original.
Por ejemplo, supongamos que z = f(x,y) es una
función derivable de x y de y, donde x = g(s,t),
y=h(s,t). Entonces la función derivada fx(x,y)
también depende de x y de y, y además x,y
dependen de s y t ( esto también se cumple
para fy(x,y)).
Veamos el siguiente ejemplo:
Ejemplo…
Muestre que cualquier función de la forma
z  f ( x  at)  g( x  at)
Donde a es una constante, cumple con la ecuación:
2
 z
t
2
2
a
2  z
x
2
Solución:
Sea u = x + at, v = x – at, ;entonces
z  f ( u )  g( v ) 
z
x

f ( u )
x

g( v )
 f ( u )
x
 f ( u)  g( v )
2
 z
x
2



x
f ( u )  g( v )
df ( u ) u
du
x

dg ( v ) v
dv
x
 f ( u)  g( v )
Calculemos ahora

2
t
z
2
u
x
 g( v )
v
x
z
t
f ( u )

t

g( v )
t
 f ( u )
u
t
 g( v )
v
t
 f (u)a  g( v )a  af (u)  g( v )
2
 z


a
f ( u )  g ( v )
2
t
t
dg ( v ) v 
 df ( u ) u
 a


t
dv
t 
 du
 af ( u)a  g( v )a   a

2
 z
t
2
a
2
2
f (u)  g( v )
f (u )  g( v )  a
2
2  z
x
2
Ejemplo
Si z  f(x, y), donde x  rcos , y  rsen
Demuestre que:
2
 z
2
 f 




2
2
2
r r
 x 
r
r

1
 z
1 z
Del ejemplo anterior, tenemos que
z
r
z


f
x

cos  
f
x
f
y
rsen 
sen
f
y
r cos 
2
 f


 y




2
ejemplo…
2

  f
f


cos  
sen 


2

r

x

y
r


f y
f x

cos  
sen
r
r
 z
 f x

f x

 x cos   y sen 
 cos  


f y
 f y


cos  
sen sen
 x


y


ejemplo…
 cos
2
2
f x x  2 cos senf x y  sen f y y
Por otra parte,
2

 
f
f



rsen 
r cos  


2



x

y




z
f
  f 
 r cos 
  rsen 


x
  x 
  f

 rsen
 r cos 
y
 
 y
f




ejemplo…
 r cos 
f

x
  f 


  x 

  rsen f x x  rsen  f x yr cos 
 rsen
f
y



 r cos  f y yr cos   f y x  rsen
  f

 
 y





ejemplo…
Simplificando resulta,
2
 z

2
2
 r cos f x  rsenf y  r sen f x x
2
 2r cos senf y x  r
2
cos
2
f y y
Así,
2
 z
2
 f 




2
2
2
r r
 x 
r
r

1
 z
1 z
COMPRUEBELO!!
2
 f


 y




2
Ecuación de Laplace
Definición:Sea f una función, f:IRnIR,
diferenciable, se define el Laplaciano de f
2
 f 
2
 f
x
2
2

 f
y
2
Y se denomina la ecuación de Laplace a:
2
 f 0
2
 f
x
2
2

 f
y
2
0
Ejemplo
Supongamos f(x,y) satisface la ecuación de laplace,
esto es,
2
2
 f
x
2

 f
y
2
0
Demuestre que la función z= f(x – 2y, 2x + y),
también satisface la ecuación de laplace.
Demostración:
Lo que queremos probar es que:
2
 z
x
2
2

 z
y
2
0
Sea u = x- 2y, v = 2x + y, entonces
 Z =f (u,v)
u

x
x
u

v


y
x
y
x
v

y
y
z

x
2
z
x
2

u
u x


2

f
u
2
f
u
2

v x
f u
2
v
x


f
u
2
f
 2
v
vu x
f
v

2
  2 f u

f v

 2

2 x
 uv x

v

2
z
x
2

f


4

2
f
uv
4
2
f
v
2





z
y

f u

u y
f v
v y
 2
f

u
2
  2 f u

f v

 2

2
 u 2 y
vu y
y


2
z


2
y
z
2
 4

2
u

2
f
u
uv y
f
2
4

2

f
uv

2
v

f
v




f v
2

y
2
v
f
2
Entonces,

2
x
z
2


2
y
z
2
 5

2
u
f
2
5

2
v
2
 2f

f

 5

2
2
 u

v

Ecuación de
Laplace para f
f
2

  0


Derivación Implícita
Supongamos que una ecuación de la forma
F(x,y) = 0 define a y de manera implícita como
una función de x, esto es y = f(x), para todo x en
el dominio de f(x). Si F es diferenciable
podemos calcular dy/dx. En efecto:
Tenemos la ecuación
F( x, y )  0
dF( x, y )
dx

d(0)
dx


F dx
x dx

F dy
0
F

F dy
y dx
x
y dx
F

dy
 Fx

x


(Fy  0)
F
dx
Fy
y
0
Supongamos que una ecuación de la forma
F(x,y,z) = 0 define a z de manera implícita
como una función de x y de y, entonces si F es
diferenciable podemos calcular  z/ x, z/ y
Supongamos que queremos calcular  z/ x
F( x, y , z)  0

F dx
F dy

x dx
F
x
z
x


y dx

F( x , y , z)
x

F dz
z dx
F dz
z dx

(0)
x
0
0
F
x   Fx
F
Fz
z
(Fz  0)

Ejercicio: Supongamos que una ecuación de la
forma F(x,y,z) = 0 define a z de manera
implícita como una función de x y de y.
Demuestre que:
z
y


F
y
F
z

 Fy
Fz
(Fz  0)
Ejemplo
Supongamos que una ecuación de la forma
F(xy,z/y) = 0 define a z de manera implícita
como una función de x y de y.Calcular  z/ x.
Solución:
Sea u=xy, v = z/y
z
F u
F dv
F x

0
y
0
u x
v dx
u
v y
2 F
2 F
y
y
z
F

u

u


(
 0)
F
F
x
v
v
F
v
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