ITERACIÓN SIMPLE DE
PUNTO FIJO
Prof.: Ing. Marvin Hernández C.
Métodos Abiertos
 Sólo
requieren un valor inicial o un par.
 Pueden no encerrar la raíz.
 Pueden ser divergentes conforme se
realizan iteraciones.
 Si un método abierto converge a la
solución, usualmente lo hace con mayor
rapidez que los métodos cerrados
Método de iteración de punto fijo
 Básicamente,
consiste en reordenar los
términos de la función.
 Se iguala a cero, para que la variable “x”
quede a la izquierda.
 x = g(x) ; xi+1 = g(xi)
 Existen dos técnicas:
1- Despejando la variable x
f(x)= 3x2 - 4x + 5
 Primero se iguala a cero la función.
 Luego se despeja la variable x .
 Ejemplo:
3x  4x  5  0
2
3x  5
2
 x
4
2- Sumando x a ambos lados de la
ecuación (cos(x), sen(x), etc)
 Ejemplo:
f(x)= cos (x)
 Primero se iguala a cero la función.
 Luego se suma la variable x a ambos lados.
f  x   cos  x 
cos  x   0
x  cos  x   x
Dos métodos gráficos para
determinar la raíz de f(x) = e-x–x
f(x) = e-x-x
f(x) = e-x-x
0 = e-x-x
 x = e-x
 f1(x) = x
f2(x) = e-x
Funciones Convergentes
abs(g’(x)) < 1
Funciones Divergentes
 De
lo anterior se puede concluir que
cuando el método converge, el error es
proporcional, y menor que la iteración
anterior, por esto se dice que la iteración
simple de punto fijo es linealmente
convergente.
Ejemplo 1 (Chapra, pág 141)
Iteración
0
1
2
x
0
1.5
2.625
a %
100
42.86
x 3
3
4
4.945
13.728
46.92
63.98
2
5
95.730
85.66
Función:
f x   x  2 x  3
2
x  2x  3  0
2
2
 x
a 
x i 1  x i
x i 1
 100
a 
1 .5  0
1 .5
 100  100 %
Método Gráfico
Gráfica del ejemplo 1
Gráfica del ejemplo 1
Ejemplo 2
(Chapra, problema 6.1, Pág. 165)
f  x   sen
 x  x
 x  x  0
 x  sen  x 
sen
Por iteración de punto fijo con xi = 0.5 y εa ≤ 0.01%
a %
Iteración
X
0
0.5
1
0.649636939
23.0339333
2
0.721523797
9.96319987
3
0.750901166
3.91228175
4
0.762096851
1.46906324
5
0.766248143
0.54176864
6
0.767771654
0.19843287
7
0.76832866
0.07249574
8
0.768532022
0.02646108
9
0.768606231
0.00965506
Método Gráfico
Gráfica del ejemplo 2
Ejemplo 3
Función:
f  x   cos  x 
cos  x   0
x  cos  x   x
Por iteración de punto fijo con xi = 0
x i 1  cos  x i   x i
x 0 1  cos  x 0   x 0  cos 0   0  1  0  1
Iteración
xi
a %
t %
0
0
-
100
1
1
100.0
36.34
2
1.54030
35.08
1.941
3
1.57079
1.941
0.000301
4
(½)·π
0.0003
0
Método Gráfico
Gráfica del ejemplo 3
EJEMPLOS EN MATLAB
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