Breve resumen de la clase
anterior y carga en memoria de
los aspectos mas pertinentes
El primer ladrillo.
A1 co s  w t   1   A 2 co s  w t   2 
AR
I  A1  A2  2 A1 A2 c os   2   1 
2
2
2
Termino de interferencia, puede ser debido a un desfasaje
original o a un camino recorrido distinto.
Es maximo cuando el desfasaje es 2pi (modulo 2pi) y minimo
cuando el desfasaje vale pi (moudlo 2pi)
Si las dos amplitudes son iguales, en el minimo la amplitud
resultante vale cero.
   ( 1   2 )  k ( d 1  d 2 )    i  2 
d

En un problema tipico de interferencia, el desfasaje es la
diferencia de distancia recorrida en unidades de longitud
de onda. Si esto es medio, la interferenica es
“destructiva”, si esto es uno (o cero) la interferencia es
constructiva.
1  R
Aguita de colores

d
sen ( ) 
m
d
Aguita de colores

d
sen ( ) 
m
d
Aguita de colores

d
sen ( ) 
m
d
Aguita de colores

d
sen ( ) 
m
d
Cuando d es mayor que la longitud de onda, para
ningun angulo llegan a separarse en un ciclo
completo con lo que el unico maximo esta en el
centro.
Se dispone de dos fuentes que emiten luz monocromatica. Las fuentes
pueden moverse y podemos ajustar su fase a voluntad. Queremos emitir en
la dirección norte sur, pero no en la dirección Este-Oeste.
Que hacer?
 /2
Para cualquier punto en
este eje, la diferencia de
fase resulta:
 d  2
d


Interferencia aplicada:
AHORA QUE SABEMOS DIRECCIONAR LA LUZ (O LA RADIO)
COMO DIRIGIR ESE HAZ EN UNA BANDA ANGOSTA?
VOLVAMOS AL PROBLEMA ORIGINAL. LA ANTENA QUE EMITE AL
NORTE. COMO PODEMOS CONTROLAR EL ANCHO DEL MAXIMO?
VOLVAMOS AL PROBLEMA ORIGINAL. LA ANTENA QUE EMITE AL
NORTE. COMO PODEMOS CONTROLAR EL ANCHO DEL MAXIMO?
Resolvimos un problema para agregar otro. El máximo es mas angosto,
pero hay (como hubiésemos podido predecir), mas máximos…
Como resolverlo?
VOLVAMOS AL PROBLEMA ORIGINAL. LA ANTENA QUE EMITE AL
NORTE. COMO PODEMOS CONTROLAR EL ANCHO DEL MAXIMO?
Resolvimos un problema para agregar otro. El máximo es mas angosto,
pero hay (como hubiésemos podido predecir), mas máximos…
Como resolverlo?
VOLVAMOS AL PROBLEMA ORIGINAL. LA ANTENA QUE EMITE AL
NORTE. COMO PODEMOS CONTROLAR EL ANCHO DEL MAXIMO?
Resolvimos un problema para agregar otro. El máximo es mas angosto,
pero hay (como hubiésemos podido predecir), mas máximos…
Como resolverlo?
VOLVAMOS AL PROBLEMA ORIGINAL. LA ANTENA QUE EMITE AL
NORTE. COMO PODEMOS CONTROLAR EL ANCHO DEL MAXIMO?
Resolvimos un problema para agregar otro. El máximo es mas angosto,
pero hay (como hubiésemos podido predecir), mas máximos…
Como resolverlo?
VOLVAMOS AL PROBLEMA ORIGINAL. LA ANTENA QUE EMITE AL
NORTE. COMO PODEMOS CONTROLAR EL ANCHO DEL MAXIMO?
Resolvimos un problema para agregar otro. El máximo es mas angosto,
pero hay (como hubiésemos podido predecir), mas máximos…
Como resolverlo?
VOLVAMOS AL PROBLEMA ORIGINAL. LA ANTENA QUE EMITE AL
NORTE. COMO PODEMOS CONTROLAR EL ANCHO DEL MAXIMO?
Dos hechos que merecen una pausa:
1) En que difiere esta solución de las anteriores.
2) Además de para emitir como una quiere, lo que constituye un
problema no menor. Para que sirve saber todo esto?
Interferencia aplicada:
AHORA QUE SABEMOS COMO SE SUMA LA LUZ, PODEMOS
CALCULAR LOS SUMANDOS (LAS MOLECULAS QUE
CONFORMAN UNA MUESTRA) A PARTIR DEL PATRON DE
INTERFERENCIA?
El problema inverso y el problema directo. Como siempre. Si uno sabe como
emite algo en función de su forma, viendo un espectro de emisión se puede
conocer la forma de algo desconocido. Muy resumidamente, ahí vamos…
Calcular el campo de varias
fuentes, equiespaciadas a
quien sabe que distancia, con
algún ángulo y fase relativa y
bla bla bla.es un asunto
olvidable, pero, visto al revés,
de que se trata?
Interferencia aplicada:
Difracción, o la suma de muchas fuentes.
La versión mas sencilla ( a modo de ejemplo y ablande para el que
le verse) de una de las formas mas efectivas de entender la
estructura de aquello que ocupa porciones mas pequeñas que la
luz.
Es un problema de interferencia de muchas fuentes, para calcular
la intensidad en algún punto hay que resolver un problema bastante
mas complejo que el anterior…
R  A   cos( w t )  cos( w t  2 )  cos( w t  3 )  cos( w t  4  )  cos( w t  5 )  ... 
Y luego, calcular el desfasaje en función de la geometría del
problema.
Luz monocromática (w fijo) con alguna dirección que impacta sobre
un medio de muchas rendijas ( o con una rendija de un ancho finito,
no nulo, en cuyo caso pasamos este problema al continuo)
R  A   cos( w t )  cos( w t  2 )  cos( w t  3 )  cos( w t  4  )  cos( w t  5 )  ... 
Como sumar esto?
1) Abrir todos los cosenos, anular mil términos y enfermarse.
2) Pasarlo a números complejos, donde los cosenos se vuelven exponenciales
y la suma se resuelve muy fácil … si uno sabe complejos.
3) Geométricamente.
A co s  w t   1   A co s  w t   2 
 1   2 
Ar  2  A  cos 

2


AR
2
1  R
La suma (superposición) de dos funciones trigonometriítas de igual frecuencia resultan
en una tercera, de la misma frecuencia y de amplitud determinada por la relacion de
fase entre ambas. Cuando la diferencia de fase es de medio ciclo, se anulan.
R  A   cos( w t )  cos( w t  2 )  cos( w t  3 )  cos( w t  4  )  cos( w t  5 )  ... 
El vector resultante de sumar la suma de arriba,
con seis términos donde el desfasaje es de 20
grados, es decir 2pi/18. Esta resultante es una
función geométrica no trivial del ángulo fi, del
numero de términos (resulta en una suerte de
espiral) y es, sencillamente multiplicativa por la
amplitud (si todas son iguales.)
2

A
 1   2 
Ar  2  A  cos 

2


Hasta aqui, terreno conocido.
R  A   cos( w t )  cos( w t  2 )  cos( w t  3 )  cos( w t  4  )  cos( w t  5 )  ... 

Por el teorema de que de
cada 10 argentinos, 5
son la mitad
(generalizado)

Por el teorema de la pizza.
2
r
A
2

A/2
A
 r  sen (

2
) r 
A
2 sen (

2
)
R  A   cos( w t )  cos( w t  2 )  cos( w t  3 )  cos( w t  4  )  cos( w t  5 )  ... 
A
r 
2 sen (

2
)
n Siempre por
el teorema
2 de la pizza
junto al de
las mitades
r

A
R
2
 r  sen (
n
2
)
sen (
R  A
n
)
2

sen ( )
2
R  A   cos( w t )  cos( w t  2 )  cos( w t  3 )  cos( w t  4  )  cos( w t  5 )  ... 
sen (
R  A
n
)
2

sen ( )
2
Primer parada: Resolvimos una parte
significativa de la matemática de la
difracción. Faltan dos cosas:
1) Entender de que se trata la formula que esta
a la izquierda y
2) Entender la relación geométrica entre las
distancias, el punto en la pantalla y el
desfasaje, el equivalente a:
 1   2 
R  2  A  cos 

2


   2
d  sen ( )

R  A   cos( w t )  cos( w t  2 )  cos( w t  3 )  cos( w t  4  )  cos( w t  5 )  ... 
n 

sen
(
)

2
2
I  A 


 sen ( ) 

2 
2
Primer parada: Resolvimos una parte
significativa de la matemática de la
difracción. Faltan dos cosas:
1) Entender de que se trata la formula que esta
a la izquierda y
2) Entender la relación geométrica entre las
distancias, el punto en la pantalla y el
desfasaje, el equivalente a:
Recordar que habíamos empezado por esto.
Muchas fuentes solo eran coherentes en el
centro por lo que los máximos laterales de
interferencia amanaiban. Es el caso?
R  A   cos( w t )  cos( w t  2 )  cos( w t  3 )  cos( w t  4  )  cos( w t  5 )  ... 
10000
9000
N=100
(
8000
I  A
7000
n 

sen (
)

2
2
I  A 


 sen ( ) 

2 
2
2
n
)
2
 A N
2

2
( )
2
6000
5000
Cuando la diferencia de
fase es cero, todo se
suma constructivamente
4000
3000
2000
senN=100
( ) 
1000
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
R  A   cos( w t )  cos( w t  2 )  cos( w t  3 )  cos( w t  4  )  cos( w t  5 )  ... 
10000
9000
n
8000
2
Donde ocurre el mínimo?
7000
n 

sen (
)

2
2
I  A 


 sen ( ) 

2 
2
  I 0
6000
Y los demas en
5000
4000
 
3000
2000
senN=100
( ) 
2
 2 
 2 
...2 
...m



n
n
n




1000
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
2
4
6
n
n
n
0.25
0.3
0.35
R  A   cos( w t )  cos( w t  2 )  cos( w t  3 )  cos( w t  4  )  cos( w t  5 )  ... 
10000
9000
8000
7000
n 

sen (
)

2
2
I  A 


 sen ( ) 

2 
2
6000
 
5000
n
4000
Si cada “porcion”es 2pi/n, n porciones suman?
3000
Cual es el sentido “geometrico”?
2000
senN=100
( ) 
2
1000
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
2
4
6
n
n
n
0.25
0.3
0.35
R  A   cos( w t )  cos( w t  2 )  cos( w t  3 )  cos( w t  4  )  cos( w t  5 )  ... 
10000
Para n suficientemente grande, la intensidad del
segundo maximo es un 5% del valor del pico central.
Esto es independiente de N
9000
8000
7000
n 

sen (
)

2
2
I  A 


 sen ( ) 

2 
2
I 
6000
 3 
2
I 0  0.05
5000


1
2
I  A 
3
 sen (
)
2n

4000
3000
2000
senN=100
( ) 
4I0
1000
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
2  3 4  5  6 
n
n
n
n
n
2

2

2
A
n






3





0.25
0.3
0.35
R  A   cos( w t )  cos( w t  2 )  cos( w t  3 )  cos( w t  4  )  cos( w t  5 )  ... 
2500
N
N=50
A=1
n 

sen (
)

2
2
I  A 


 sen ( ) 

2 
2
2000
2
1500
1000
N  0.05
2
500
2 0 / 5 0 ~ 0 .4
senN=100
( ) 
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
2  3 4  5  6 
n
n
n
n
n
0.5
0.6
0.7
R  A   cos( w t )  cos( w t  2 )  cos( w t  3 )  cos( w t  4  )  cos( w t  5 )  ... 
sen (
R  A
n
)
2

sen ( )
2
Primer parada: Resolvimos una parte
significativa de la matemática de la
difracción. Faltan dos cosas:
1) Entender de que se trata la formula que esta
a la izquierda y
2) Entender la relación geométrica entre las
distancias, el punto en la pantalla y el
desfasaje, el equivalente a:
 1   2 
R  2  A  cos 

2


   2
d  sen ( )

sen (
n
Maximo
(sin cuentas)
)
2
R  A


sen ( )
2
Minimo en:
d
2  sen ( ) 
2
n
2
n
sen ( ) 

nd
  kd  sen ( ) 
d

d

2  sen ( )
1) La geometria
invisible.
2) Que sacamos
de esta
marania?
  nd  sen ( )
  d  sen ( )
sen ( ) 

d
sen ( ) 

D

sen ( ) 
nd


D
Lo mejor de los dos mundos … un máximo central angosto sin máximos laterales.
Nuevamente una estrategia de borrado constructiva.
Para eliminar los máximos laterales, agregar mas fuentes.
En términos del problema inverso, de adivinar la fuente que emite (o la textura del
material que difracta la luz) a partir del espectro. Hay algún problema?
Dos últimos comentarios difractantes.
1) En una rendija de ancho D sobre la que incide luz
Cuantas fuentes hay?
 
n 

sen
(
)

2
2
I  A 


 sen ( ) 

2 
2
d

2  sen ( )
lim n  
lim d  0
lim A  0
n  d  cte
n  A  cte
Dos últimos comentarios difractantes.
2) Un problema de composiciones arbitrariamente complicado.
El penúltimo ejemplo: dos rendijas de difracción que interfieren.
n

sen (
)

2
2
I  A 

 sen ( )

2
 
D1

2  sen ( ) sen ( ) 





2
 
I  4  A  cos  
2
2

 
D2

2 sen ( ) sen ( ) 
D1
D1
D1
D2

2D2
Dos últimos comentarios difractantes.
Un problema de composiciones arbitrariamente complicado.
El penúltimo ejemplo: dos rendijas de difracción que interfieren.
Difraccion
Interferencia
D1
D1
D2
Aprendimos a sumar cosenos de distintas
frecuencias (batidos)
Aprendimos a sumar cosenos de igual
frecuencia correspondiente a ondas que
recorren caminos distintos (interferencia)
A1 co s  w t   1   A 2 co s  w t   2 
I  A1  A2  2 A1 A2 c os   2   1 
2
2
I  A1  A2  2 A1 A 2 c os  w1  w 2  t
2
2
R  A   cos( wt )  cos( wt  2 )  cos( wt  3 )  cos( wt  4 )... 
Y esto?
Un puchito de polarizacion
http://www.geology.um.maine.edu/geodynamics/AnalogWebsite/Projects2
005/Naus_Thijssen_2005/html/background1.html
Lo mas intuitivo es sencillamente que:
+
=
Usando la conocidisima suma de vectores. Sin embargo, no estamos sumando
vectores sino oscilaciones y en cada problema que encontramos hasta ahora, el
juez de esta suma era la fase. Ahora no es la excepción.
La fase cambia cualitativamente el resultado de la suma
 0
  /2
Noten que la componente azul (E) y la componente
verde (B) hacen el mismo movimiento (una
oscilacion con frecuencia w). Lo unico que cambia
es la relacion de fase entre ellas que hace que:
1) La onda se propague de manera lineal en la suma
vectorial de ambas componentes si la diferencia
de fase es cero.
2) Que la onda se propague haciendo un circulo,
alternando su proyección sobre ambas
componentes si la diferencia de fase es un cuarto
de ciclo.
Polarizacion circular vista en 3D con el circulopolarizograma.
La fase cambia cualitativamente el resultado de la suma
 0
   /8
Y si la diferencia de fase es pequeña?
Es decir, es mayor que cero pero mucho menor que un cuarto de ciclo.
E(x,t)
n  1
N qe
Porque la luz
parece viajar a
distintas
velocidades en
distintos
medios?
2
2 e0 m  w 0  w
2
2

La cuenta no
hecha. Al moverse
las cargas del
medio generan un
campo que
interfiere con el de
la fuente.
A
qe E 0
m  w0  w
2
2
Porque mas
rápido en el
vacío?

n1 , v1
E(t)=E0cos(wt)
El modelo mas
sencillo (y muy
explicativo) del
electrón en un átomo.
Es … un resorte con
frecuencia natural w0
Estas cuentas están en Feynman I (31)
n2 , v2
El campo eléctrico
ejerce una fuerza
sobre un Electrón
en el medio (puede
ser gas, liquido,
sólido…
Cual es el resultado
de esta fuerza
Polarizadores – proyectando la luz sobre un eje
Polarizador, un artilugio que
convierte luz de una
superposición de estados de
polarizacion en un estado
definido (digamos lineal)..
Dos polarizadores
perpendiculares, del otro
lado no se ve nada.
Una ley a la que tener nombre (y
categoria de ley) le queda grande.
Etienne-Louis Malus
I  I 0 co s ( )
2
Otra paradoja de tapas, luces y filtros.
Cuanto vale la
intensidad?
Y ahora???
El ultimo pucho: Un batido polarizado y la actividad optica.
 0
Luz en el vacio (o en un
material isotropo) Luego de
un rato la fase sigue siendo
igual, la polarizaion lineal …
La luz entra en un medio
donde la velocidad de
propagación en x es distinta
de y. Si w es el mismo esto
quiere decir que kx es
distinto de ky.
Supongamos, solo como
ejemplo que la velocidad en
y es muy rapido (ky
pequenio)
Que sucede?
v
w
k


T
kx  ky
Polarización lineal (o
circular, o eliptica). La
relacion de fase se
mantiene en un medio
en el que las distintas
componentes de la luz
viajan a igual velocidad.
La relacion de fase cambia
(exactamente igual que lo que
sucedia en batidos), con uina
componente adelatnadose a la
otra, cuando propagan a
velocidades distintas. Según la
diferencia de estas velocidades,
cada tanta distancia, le saca una
vuelta entera. Asi se puede
calcular que distancia, dado kx y
ky tiene que recorrer la luz (cual
es el ancho del celofan!) para
que la luz pase de linear a
circular o viceversa.
kx k y
Aprendimos a sumar cosenos de distintas
frecuencias (batidos)
Aprendimos a sumar cosenos de igual
frecuencia correspondiente a ondas que
recorren caminos distintos (interferencia)
A1 co s  w t   1   A 2 co s  w t   2 
I  A1  A2  2 A1 A2 c os   2   1 
2
2
I  A1  A2  2 A1 A 2 c os  w1  w 2  t
2
2
R  A   cos( wt )  cos( wt  2 )  cos( wt  3 )  cos( wt  4 )... 
kx k y
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