• La descripción cualitativa del campo eléctrico E mediante
líneas de fuerza está relacionada con una ecuación
matemática llamada ley de Gauss, que relaciona el E sobre
una superficie cerrada con la carga neta incluida dentro de la
superficie
s
+
E·dS  Qencerrada
• Esta ley permite calcular fácilmente los campos eléctricos que
resultan de distribuciones simétricas de carga, tales como una
corteza esférica o una línea infinita. Supóngase una superficie
de forma arbitraria que incluya un dipolo eléctrico.
+
-
•El número de
líneas que salen
de la carga
positiva y cruzan
la superficie
depende de
dónde se dibuje
la superficie,
pero es
exactamente
igual al de líneas
que entran en el
mismo recinto y
terminan en la
carga negativa.
• Si se cuenta el número que sale como positivo y el número que
entre como negativo, el número neto que sale o entra es cero. Sin
embargo para otras distribuciones de carga se tendría lo
siguiente
+2q
-q
El número neto de líneas que sale por cualquier
superficie que encierra las cargas es proporcional
a la carga encerrada dentro de dicha superficie.
Las líneas de campo que terminan en –q o no
pasan a través de la superficie o salen y vuelven
a entrar. Por lo que este es un enunciado
cualitativo de la ley de Gauss.
• La magnitud matemática relacionada con el número de líneas de
fuerza que atraviesan una superficie recibe el nombre de flujo
eléctrico ()
E
S
Aquí se muestra un área S perpendicular a un
campo eléctrico uniforme E. El flujo eléctrico 
que atraviesa una superficie de área S que es
perpendicular al campo se define como el
producto del campo E por el área S:  = E·S.
Las unidades son N·m2/C.
 = E·S = |E|·|S| cos 0º = E·S
Como el campo eléctrico es proporcional al número de líneas por unidad de
superficie, el flujo es proporcional al número de líneas de fuerzas que atraviesan
la superficie.
• Si la superficie tiene una cierta inclinación se tiene lo siguiente
n

S2 = S2·n
E

S1 = S1·n
S1·n
S1 = S2 cos
S2
S2 ·
n
La superficie S2 no es perpendicular al campo eléctrico E. El número de líneas que
atraviesan la superficie S2 es el mínimo que atraviesa la superficie S1. Por lo que las
superficies están relacionadas por:
S1 = S2 cos
donde  es el ángulo existente entre E y el vector unitario n perpendicular a la
superficie S2, según viene indicado. El flujo a través de una superficie no
perpendicular a E viene definido por:
= E·S1·n = E·S2·n cos = E·S cos  = En·S
donde En = E·n es el componente del vector del campo eléctrico perpendicular, o
normal, a la superficie.
S1
cos  =
• Se puede generalizar la definición de flujo eléctrico a superficies
curvadas en las cuales E puede variar tanto de módulo como de
dirección, o ambos a la vez, dividiendo la superficie en un
número de elementos muy pequeños. Si cada elemento(Si )es
suficientemente pequeño, puede considerarse como un plano y
puede despreciarse la variación del campo eléctrico en todo el
elemento.
ni es el vector unitario perpendicular a dicho
elemento y Si es la superficie del elemento.
Los vectores unitarios ni tendrán direcciones
diferentes en el caso de elementos distintos.
ni
Si
E
El flujo es i = E·ni·Si y el flujo total es
la suma de i extendida a todos los
elementos de superficie. En el límite en
que el número de elementos se aproxima a
infinito y la superficie de cada elemento
tiende a cero, esta suma resulta ser una
integral. Por lo que el flujo eléctrico es:
 = lim Si0 iE·n· Si = E·n·ds.
En una superficie cerrada, el vector n se define de modo que está
dirigido hacia fuera en cada punto. En un punto donde una línea sale
de la superficie, E está dirigido hacia fuera y  es positivo, y al
contrario, E está dirigido hacia dentro y  es negativo. Por lo que El
flujo total neto será positivo o negativo. Puesto que  es  al número
de líneas que atraviesan la superficie, neto es  al número de líneas de
fuerza que salen de la misma menos el número de las que entran. El
flujo neto en una superficie cerrada es :neto = s E·n·ds =s En·ds
En
ds
R
+
Q
En una esfera de radio R con su centro en la carga
puntual Q, el mismo número de líneas de E que
pasa a través de la superficie, atraviesa cualquier
superficie que incluya Q. E en un punto cualquiera
de la superficie es a la misma con magnitud En =
kQ/R2. El flujo neto a través la esfera es neto = s
En·ds = En s ds, donde En ha salido de la integral
porque es cte en todos los puntos. La integral ds
extendida a la superficie es el área total 4R2. Con
este valor y sustituyendo kQ/R2 por En se obtiene:
neto = kQ4R2/R2 = 4kQ
El flujo neto a través de una superficie cualquiera que rodea una
carga puntual Q es independiente de la forma y es igual a 4kQ.
Ampliando este resultado a sistemas de más de una carga puntual se
tiene lo siguiente
q2
+
q1
+
q3
+
E = E1 + E2 + E3
 = 1 + 2 = 4k(q1+q2)
3 = 0
Puesto que E en cualquier punto de la superficie es
la suma de los mismos producidos por las 3 cargas,
el flujo neto a través de la superficie es la suma de
los flujos. El flujo de q3 es cero debido a que cada
línea de fuerza procedente de la carga que entra en
la superficie en un punto abandona la misma en
algún otro punto. El número neto de líneas
procedentes de la carga exterior es cero. El  de q1
es 4kq1 y el de q2 es 4kq2, por lo que neto =
4k(q1+q2) que puede ser positivo, negativo o cero
dependiendo de los signos y valores de las 2 cargas.
Por lo tanto se puede concluir que el flujo neto a través de cualquier
superficie es igual a neto = s En·ds = 4kQdentro que es la ley de Gauss.
Su validez depende del hecho de que el E debido a una carga puntual
aislada varía inversamente con el cuadrado de la distancia desde la
carga. Es costumbre escribir la cte de Coulomb k en función de otra
cte 0 (permitividad del vacío): k = 1/ 4 0. Con lo que la ley de
Gauss se escribe:
neto= s En·ds = Qdentro/ 0
La ley de Gauss puede deducirse matemáticamente utilizando el
concepto de ángulo sólido. Supóngase un elemento de superficie S
sobre una superficie esférica.
S
r

El ángulo sólido subtendido por S en el
centro de la esfera se define como  =
S/r2, siendo r el radio de la esfera. Puesto
que tanto S como r2 tiene dimensiones de
longitud al cuadrado, el ángulo sólido es
adimensional. La unidad del ángulo sólido
es el estereorradián (sr). Como el área total
de una esfera es 4r2, el ángulo sólido total
subtendido por una esfera es :
4r2/r2 = 4 sr
Existe una estrecha analogía entre el ángulo sólido y el ángulo
ordinario, que se define como el cociente de un elemento de longitud
de arco de circunferencia S dividido por el radio de la misma:
 = S/r
r

S
El ángulo plano total subtendido por un
círculo es 2 radianes
Vamos a hacer un análisis del elemento de superficie S de la esfera
scos
r
s
r
n

El elemento de área S no es perpendicular a las
líneas radiales que salen de 0. El vector unitario n
normal al elemento de área forma un ángulo 
con el vector radial unitario r. En este caso, el
ángulo sólido subtendido por s en el punto 0
está definido por
 = S·n·r/r2= scos/r2
Veamos los resultados que se obtienen para una carga puntual q
rodeada de una superficie de forma arbitraria. Para calcular el flujo
que atraviesa esta superficie, debemos hallar E·n·S para cada
elemento de área de la superficie y sumar respecto a la superficie
completa.
n
S
+
q
E
El flujo a través del elemento de
superficie indicada es:
 = E·n·S = kq·r·n·S/r2 = kq 
El ángulo sólido  es el mismo que
el subtendido por el elemento de área
correspondiente de una superficie
esférica de cualquier radio. La suma
del flujo que atraviesa la superficie
entera es kq veces el ángulo sólido
total subtendido por la superficie
cerrada, que es 4 estereorradianes:
neto = s E·n·ds = kq d = q/0
que es la ley de Gauss
La fuente fundamental de los campos magnéticos es la corriente
eléctrica, estos no se originan o terminan en puntos del espacio
(líneas de campo eléctrico), sino forman bucles cerrados que rodean
la corriente. Existe una ecuación para el campo magnético análoga a
la ley de Gauss del campo eléctrico, llamada ley de Ampére.
Esta ley relaciona el componente tangencial de B,
sumando alrededor de una curva cerrada C con la
corriente Ic(corriente neta) que pasa a través de la curva.
En forma matemática la ley de Ampére es
c B·dl = 0Ic
Válida para cualquier curva C en tanto las corrientes
sean continuas (no comiencen o terminen en cualquier
punto) y en situaciones de gran simetría (c B·dl = B·L)
La aplicación más simple de la ley de Ampére es la determinación del
campo magnético creado por un conductor infinitamente largo y
rectilíneo portador de una corriente.
B
dl
r
Ic
Si suponemos que estamos lejos de los extremos del
conductor, podemos usar la simetría para eliminar la
posibilidad de cualquier componente de B paralelo
al conductor. Suponemos que el campo magnético es
tangente a este círculo y posee la misma magnitud B
en cualquier punto del círculo. La ley de Ampére nos
dará: cB·dl = cB·dl·cos = B cdl = 0Ic, en
donde se ha tenido en cuenta que B tiene el mismo
valor en todos los puntos del círculo. La integral de
dl alrededor del círculo es igual a 2r y la intensidad
Ic es la que corresponde al conductor. Así se obtiene
B(2r)=0I
B= 0I/ 2r
Vamos a calcular el campo magnético de un toroide, formado por
espiras de conductor arrolladas alrededor de una figura en forma de
neumático
r
a
b
I
I
Para r < a, no existe I
Para r > b, I = Ientra-Isale=0
Tenemos N vueltas de conductor, cada una
transportando una corriente I. Para calcular
B, determinaremos la integral de línea
c B·dl alrededor de una circunferencia de
radio r centrada en el centro del toroide.
Por simetría, B es tangente y constante en
magnitud en todos los puntos del círculo.
Por tanto, B·dl=B2r=0Ic. La corriente
total a través del círculo de radio r para
a < r < b es NI con lo que queda:
B=0NI/2r
B=0 para r <a ó r > b
La ley de Ampére puede utilizarse también para determinar una
expresión del campo magnético dentro de un solenoide estrechamente
arrollado, suponiendo que el campo es uniforme dentro del solenoide y
nulo en el exterior.
a
Iexterior b
Iinterior
Escogemos el rectángulo de lados a y b para
nuestra curva cerrada C. La corriente que pasa a
través de esta curva es la I de cada vuelta
multiplicada por el número de vueltas existentes
en la longitud de a. Si el solenoide tiene n
B vueltas por unidad de longitud, el número de
vueltas en la longitud a será “n·a” y la corriente a
través de la curva rectangular será Ic=naI. La
única contribución a la suma de la integral
B·dl para esta curva es a lo largo del lado mayor
del rectángulo dentro del solenoide, que vale
“B·a”. La ley de Ampére nos da
B·dl = Ba = 0Ic = 0naI. Por lo que B dentro
del solenoide es B= 0nI
Sin embargo la ley de Ampére tiene algunas limitaciones. Hay
situaciones en las que no hay simetría y el campo magnético no se
mantiene uniforme y constante tanto en módulo como en dirección.
P
I
Es válida para la curva
C pero B no es cte ni
tg a ella
P
r
C
I
C
l
P
P1
+
+Q
r
C
I
r
C
I
En la mediatriz de un
segmento de
corriente finita da un
resultado incorrecto
Si el segmento es
debido a un flujo
momentáneo de carga,
P2 no es válida porque la
- I no es continua en el
-Q espacio
+ Si el segmento de corriente
es una parte de un circuito
completo, es correcta la ley
para la curva C, pero no
existe simetría suficiente
para aplicarla.
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