CALCULO NUMERICO:
Problema fundamental:
- No estamos utilizando todos los números reales.
- Las operaciones en la calculadora no son estrictamente las mismas:
c  a  b 
 c  b  a
si b  a, por ej emplo : b  10 , a  
10
en la calculadora , c  a  b ; c  b  
Interpolación polinomial:
Dados n+1 puntos de R2:
(x0,y0), (x1,y1), …, (xn,yn) donde x0≠ x1≠... xn
se quiere encontrar un polinomio pn (x) de grado igual o menor a n
tal que:
pn (xi) = yi , i = 0,1, …,n
Vamos a ver que este polinomio existe y es único:
Tomamos:
2
p n ( x )  a 0  a1 x  a 2 x 
a i  R , i  0, 1,
 an x
,n
Teniendo en cuenta que:
p n ( x i )  y i , i  0,1,
,n
n
,
a  a x  a x 2 
1 0
2 0
 0
 a0  a1 x 1  a 2 x 12 



2
a

a
x

a
x

 0
1 n
2 n
1

1



1
2
x0
x0
x1
x 12
xn
x 2n
A
(Si  A
1
 Si det
 a n x 0  y0
n
 a n x 1  y1
n
 a n x n  yn
n
x 0 a 0 
 
n
x 1  a1 
  
 

n 
x n a n 
n
X
y 0 
 
 y1 
 
 
 
y n 
b
A  0) AX  b 
1
X  A b
det
A
1
x0
x0
2
x0
n
1
x1
x1
2
x1
n

 (x
i
 x j)
0  j i n
1
xn
2
xn
n
xn
...
(Determinante de Van der monde)
le restamos la columna anterior multiplicada por x0
le restamos la columna anterior multiplicada por x0
le restamos la columna anterior multiplicada por x0
det
det
A
A
1
0
0
0
1
x1  x0
x 12  x 1 x 0
x 1n  x 1n  1 x 0
1
xn  x 0
x n2  x n x 0
x nn  x nn  1 x 0
1
0
0
0
1
x1  x0
x 1  x1  x 0 
x1
1
xn  x 0
xn xn  x0 
xn
n 1
x1
 x0 
n 1
xn
 x0 
A
det
x1 x1  x 0 
x1 x1  x 0 
x 2  x0
x 2 x 2  x0 
x n  x0
x n x n  x0 
A   x 1  x 0  x 2  x 0 
 x0 
x2 x 2  x0 
x1
n 1
x 2 x2
xn x n  x0 
xn
xn
 x0 
x1
2
n 1
2
xn
n 1
2
x1
x2
2
x2
2
xn
1
x1
x1
1
x2
1
xn
xn
 x0 
 x0 
n 1
n 1
{
det
x1  x 0
n 1
2
les restamos la anterior
multiplicada por x1
A
det
1
x0
x0
2
x0
n
1
x1
x1
2
x1
n

 (x
i
 x j)
0  j i n
1
xn
2
xn
n
xn
Luego :
det
A
 (x
i
 x j )  0 (ya que x i  x j cuando
i  j)
0  j i n
Luego :
det
A0  A
1
  a i   p n ( x ) / pn ( x i )  y i , i  0,1,
,n 
Polinomio de interpolación de Lagrange:
El siguiente polinomio, de grado n, llamado polinomio de interpolación
de Lagrange, cumple las condiciones pn (xi) = yi , i = 0,1, …,n:
x 
p n ( x )  y0
x 0
 yn
x 1  x  x 2 
 x 1  x 0 
x 
x n
x  x n 
 x  x 0  x  x 2   x  x n 
 y1

x 2  x 0  x n 
 x 1  x 0  x 1  x 2   x 1  x n 
x 0  x  x 1 
 x 0  x n 
x  xn  1 
x1  x n  xn  1 
n
pn ( x ) 
yL
j
j0
n
j
(x) , Lj(x) 

j k 0
x 
x
j
xk 
 xk 
, j  0, 1,
,n
Calcular el polinomio de interpolación para la función (sen(x)) que
pasa por los siguientes 4 puntos:
x0  0  y0  0 , x1 
x2 
2
3
1
3
 y 2  0.8660254
 y1  0.8660254
,
, x 3  1  y3  0
Buscamos:
y( x )  a 0  a1 x  a 2 x  a 3 x
2
3
9 y ( x )  a x2  a x 2  a x 3
2
y(
x

0
)

0

a

0

y  03.8971143 ( x 0 x ) 
3
3 ( x  1x ) 2
24
3
1
2
(Si x  0 ) y  a 1 x  a 2 x  a3 x  x y  a 1  a2 x  a3 x
9
y' 
3 1  2 x  a
a 3 
2

4
2.5980762  a 1 

a 2 1a 3 

a3  0


1
.2990381



y'
(
x
)

0

x


(correcto)
3
9  ma x
ma x

9
3
3

2

2 a2
4a3
 a 2  3 .8971143
y'
'


3

1.29903812  a1 

a2
5 a 3 
9

1.2990381


a 1  3 .8971143
3  9y (

x ma x ) 
3 3(incorrecto:
9  sen(/2)=1)
0  a1  a 2  a 3

8


Si calculamos la integral:
1
1
 y( x )dx

0
9
4
3( x  x )dx 
2
4
0
1
 y( x )dx

3
9
3
 x 2
x
3 (


 2
3

) 

0
1
3  0.649519
8
0
1
 cos(  x )  2
 sen(  x ) dx        0.6366197
0
0
1
Error
Error
absoluto  0.649519  0.6366197  0.0128993
relativo 
Error
0.649519  0.6366197
porcentual
0.6366197
 Error
relativo
 0.020262175
 100  2 %
1
0.5
0
-0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
0.5
1
1.5
1
0.5
0
-0.5
0
0.5
1
1.5
-0.5
-1
-1.5
-2
9¦3(x-x
2
)/4
1
0.5
0
-0.5
0
0.5
1
1.5
-0.5
sen(  x)
-1
-1.5
-2
9¦3(x-x
2
)/4
Si en vez de los 4 puntos anteriores, hubiéramos usado los tres siguientes:
x0  0  y0  0 , x1 
1
2
 y1  1 , x 2  1  y2  0
El polinomio de interpolación buscado es ahora de la forma :
y( x )  a 0  a1 x  a 2 x
2
y( x )  a1 x  a2 x
2
y( x 0  0)  0  a0  a1 x 0  a 2 x 0  a 0  0
2
a 2 

1

2
4 
0  a1  a 2 
 a 2   a 1
a1
1
a1
4
 a1  4   a 2
y( x )  4( x  x )
2
y'  4 1  2 x  
1
  y' ( x ma x )  0  x ma x 
(correcto)

2
y' '  8
y( x ma x )  1
(correcto)
Si calculamos la integral:
1

3
 x 2
x
 4 (


 2
3
1

y( x )dx
0
 4 ( x  x ) dx
2
0
1
 y( x )dx
0

4

) 

0
1
 0.6
6
1
 cos(  x )  2
 sen(  x ) dx        0.6366197
0
0
1
absoluto  0.6666666  0.6366197  0.0300463
Error
Error
relativo 
Error
0.6666666  0.6366197
porcentual
0.6366197
 Error
relativo
 0.047196623
 100  4 .7 %
1
0.5
0
-0.5
0
0.5
1
1.5
-0.5
sen(  x)
-1
-1.5
-2
9¦3(x-x
2
)/4
2
4(x-x )
1
0.5
0
-0.5
0
0.5
1
1.5
-0.5
sen(  x)
-1
-1.5
-2
9¦3(x-x
2
)/4
2
4(x-x )
1
0.8
0.6
sen(  x)
0.4
0.2
9¦3(x-x
2
)/4
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Si en vez de los 3 puntos anteriores, hubiéramos usado los tres siguientes:
x0  0  y0  0 , x1 
1
4
 y1 
2
2
, x2 
1
2
 y2  1
más la condición de simetría que cumple la función: f(x) = f(1-x)
resulta como si, efectivamente, tuviéramos 5 puntos, ya que la condición
nos proporciona los siguientes dos puntos adicionales:
x3 
3
4
 y3 
2
, x 4  1  y4  0
2
El polinomio de interpolación buscado es ahora de la forma :
y( x )  a 0  a1 x  a 2 x  a 3 x  a 4 x
2
3
4
y( x 0  0)  0  a0  a1 x 0  a 2 x 0  a 0  0
2
y( x )  a1 x  a2 x  a3 x  a 4 x
2
3
4
Pero, dada la condición de simetría que cumple la función: f(x) = f(1-x),
podemos escribir ese polinomio de orden 4 del siguiente modo:
y( x )  a1 x  a2 x  a3 x  a 4 x  ax (1  x )  b x(1  x )
2
3
4
2

2
2



2
1  3 
1  3   16 2
3
4
 a    b    

a
b  b  (3  2 2 )
4  4   3 2
2
4  4 
16 
3

2
1
1  1  

64
1 1 
4

a

b
a
(8 2  9)

1  a    b    

4
3
2  2  
2 2 
Si calculamos la integral:
1

1
1
y( x )dx  a  ( x  x ) dx  b  ( x  x  2 x )dx
2
0
2
0
1
 y( x )dx

a
6
0

4
3
0
b
 .6361648
30
1
 cos(  x )  2
 sen(  x ) dx        0.6366197
0
0
1
Error
absoluto  0.6361648  0.6366197  0.0004549
Error
Error
relativo 
0.6361648  0.6366197
porcentual
0.6366197
 Error
relativo
  0.0007145
 100  0 .07 %
1
0.8
0.6
sen(  x)
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Calcular el polinomio de interpolación para la función (f(x)=3x) que
pasa por los siguientes 3 puntos:
x 0  1  y 0 
1
3
, x1  0  y1  1 , x 2  1  y2  3
El polinomio de interpolación buscado es de la forma :
y( x )  a 0  a1 x  a 2 x

 a 0  a1  a 2 
3


1  a0

3  a 0  a1  a 2 

1
2

 a1  a 2 
3



2  a1  a 2 

2
y( x )  1 
4
3
x 
2
3
a1 
x
2
4
3
; a2 
2
3
Podríamos comparar este polinomio de interpolación obtenido con el
desarrollo de Taylor (Mac Laurin, en este caso, ya que tomamos x0 = 0:
f ( x)  f ( x 0 )  f ' ( x 0 )( x  x 0 ) 
Tomando:
f ( x)  3
x
f ' ' ( x0 )
2
( x  x0 ) 
2
; x0  0

2


ln
(3) 2
x
x
f ' ( x )  3 ln( 3)  f ' (0 )  ln( 3)  f ( x)  1  ln( 3)x 
2

x
2
2
f ' ( x )  3 ln (3)  f ' ' (0)  ln (3) 

f (x)  3 ( e
x
y( x )  1 
4
3
x 
x ln( 3 )
2
3
)  f (0)  1
x  1  1.3 x  0.6 x
y 2 ( x )  1  ln( 3) x 
2
ln 2 (3)
2
2
(polinomio de interpolación)
x  1  1.0986123 x  0.6034745 x
2
(desarrollo en serie)
2
Podríamos también comparar con el desarrollo en la base ortogonal de
los polinomios de Legendre:

3 
x

j
Pj ( x ) ;  j 
j 0
1
1
2
Pj (x )
3
x
2
Pj ( x )dx ; Pj ( x )

1
2
2j 1

3 
x

j
Pj ( x )   0 P0 ( x )   1 P1 ( x )   2 P2 (x )
j 0

 3x 2  1 
x

3    j Pj ( x )   0 1   1 x   2 


 2

j 0
0 
1
1
2
3
x
P0 ( x ) dx 
1
1
3

2
P0 ( x )  1
1
1 
1 
0 
3    1.2136523
2 ln 3 
3 
x
dx 
1
1
e

2
1
x ln 3
dx 
1
2 ln 3
e
x ln 3

1
1
Podríamos también comparar con el desarrollo en la base ortogonal de
los polinomios de Legendre:

3 
x

j 0
j
Pj ( x ) ;  j 
1
1
2
Pj (x )
3
x
2
Pj ( x )dx ; Pj ( x )
1
 3x 2  1 
x

3    j Pj ( x )   0 1   1 x   2 


 2

j 0


1 
0 
3    1.2136523
2 ln 3 
3 
1
1
3
1
3
x
x
1 
x 3 dx 
2  3 P1 ( x )dx 

2
2 1
P1 ( x )  1
1
3  x ln 3  x
1 
 1  e

 2   1.2370543
 ln 3 ln 3 1
2 
1
1

1
xe
x ln 3
dx

2
2j 1
Podríamos también comparar con el desarrollo en la base ortogonal de
los polinomios de Legendre:

3 
x

j
Pj ( x ) ;  j 
j 0
1
1
2
Pj (x )
3
x
2
Pj ( x )dx ; Pj ( x )
1
 3x 2  1 
x

3    j Pj ( x )   0 1   1 x   2 


 2

j 0

 0  1.2136523
;  1  1 .2370543
;  2  0 .438184
2

1
5
3
x
 1  x 3 x 2  1 
x

 2y ( x )  1.21365
x )dx  x 


2  3 P
 0.438184
3 dx
2 (1.2370543

3
2  1  2   2 
P2 ( x )  1

1 
  2



5  x x
2x
2


 2   3 
 2  3 

   0.438184 2
3 ln  31 .2370543
ln 3 
) 0ln.99456
x1 
y23 (
x
 0 .6572769 x
1
1

2
2j 1
y( x )  1 
4
3
x 
2
3
x  1  1.3 x  0.6 x
y 2 ( x )  1  ln( 3) x 
2
ln 2 (3)
2
2
(polinomio de interpolación)
x  1  1.0986123 x  0.6034745 x
2
(desarrollo en serie)
y 3 ( x )  0 .99456  1 .2370543 x  0 .6572769 x
2
(desarrollo en la base de los polinomios de Legendre)
2
4
3.5
3
2.5
Desarrollo de Mac Laurin
2
1.5
Desarrollo en la base de los
polinomios de Legendre
1
Polinomio de interpolación
0.5
0
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
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