Complementos de procesado de
la señal y Comunicaciones
Modulación Digital
El Proceso de Comunicación
La Comunicación implica la transmisión de
información desde un punto hasta otro punto.
Fuente de
información
Receptor
Transmisor
Canal
Información
Usuario
Fuentes de Información:
- Voz
- Fax
-Televisión
- Ordenadores personales
Canales de Comunicación:
- Canales telefónicos
- Canales móviles de comunicación
- Fibra óptica
- Satélite
Señales en banda base y señales paso banda:
-Banda Base: banda de frecuencias de la señal mensaje. Las
señales en banda base pueden ser analógicas o digitales.
-Paso Banda: Mediante el proceso de modulación la señal se
traslada a otra zona de frecuencias más adecuada para que pueda
ser transmitida por un canal de comunicación.
El Proceso de Modulación:
El proceso de modulación consiste en modificar la señal
mensaje para que pueda ser transmitida por un canal. Este
proceso se realiza en el dispositivo transmisor
Una onda portadora varía alguno se sus parámetros de
acuerdo con la señal mensaje.
El proceso de demodulación consiste en recuperar la señal
mensaja partir de la señal portadora degradada despues de
su transmisión por el canal. El proceso se realiza en el
dispositivo receptor.
Esquemas de Modulación:
Modulación de onda contínua: Una señal sinusoidal se
usa como portadora.
Modulación en amplitud (AM): La amplitud de la
portadora varía con la señal mensaje.
Modulación angular: El ángulo de la portadora varía con la
señal mensaje.
Modulación en frecuencia.
Modulación en fase.
Modulación por pulsos analógicos: La portadora consiste
en una secuencia periódica de pulsos rectangulares.
Modulación por amplitud de pulsos (PAM)
Modulación por duración de pulsos (PDM)
Modulación por posición de pulsos (PPM)
Modulación por codificación de pulsos: Es esencialmente
como PAM pero la amplitud de los pulsos es cuantizada y
representada por un patron binario.
Multiplexación:
Multiplexación es el concepto de combinar diferentes señales
mensaje para su transmisión simultánea sobre un canal.
Multiplexación por división en frecuencias (FDM) La
modulación de onda contínua se usa para trasladar cada una
de las señales mensaje a un rango diferente de frecuencias.
Multeplexación por división en el tiempo (TDM) La
modulación por pulsos se usa para muestras de diferentes
mensajes en intervalos de tiempo no solapados.
Sistema de Comuniación digital
Mensaje
estimado
Mensaje
Codificación de
la fuente
Decodificación
Codificación del
Canal
Decodificación
del canal
Modulador
Demodulador
de la fuente
transmisor
Receptor
canal
Transmisión de Pulsos en Banda base
Se estudia la transmisión de datos digitales independientemente de
que su origen sea digital o analógico.
El contenido en frecuencias de los datos digitales se concentra en
la zona de bajas frecuencias.
La transmisión en banda base de datos digitales requiere el uso de
canales paso baja.
Los errores en la transmisión se deben principalmente:
Ruido debido al canal.
Interferencia entre símbolos (ISI) (Un pulso se ve afectado
por los pulsos adyacentes.
Transmisión Esquema de transmisión de pulsos en banda base:
PAM
Filtro
transmisor
Canal

1
Filtro receptor
Ruido blanco
Transmisor
Canal
Receptor
Decisión
0
Ruido debido al canal:
El pulso transmitido por el canal se ve contaminado por ruido
aditivo
Señal
p(t)
+
x(t)
Filtro LTI
h(t)
y(t)
y(T)
Muestreo t=T
Ruido blanco w(t)
x(t )  p(t )  w(t ),o  t  T
El pulso de señal p(t) se contamina por ruido blanco aditivo de
media cero y densidad de potencia espectral No 2
El receptor debe de detectar el pulso p(t) de una forma óptima
dada la señal x(t).
Como el filtro es lineal, la salida del filtro y(t) se puede expresar
como:
y(t )  po (t )  n(t )
La condición que se exige al filtro es que en el instante t=T ,po(T)
sea mucho mayor que el ruido. Esto es equivalente a maximizar el
cociente:
2

po (T )

E n 2 (t )

Si P(f) es la transformada de Fourier de la señal y H(f) es la
transformada de Fourier del filtro ,aplicando la transformación
inversa obtenemos:

| p0 (t ) | |  H ( f ) P( f )e j 2ft df |2
2

Para el ruido tenemos:


No
2
E n (t ) 
2



2
H ( f ) df
Luego la condición que debe cumplir el filtro es hacer máximo 




H ( f ) P ( f ) exp( j 2T ) df
No
2
max

2

No





2
H ( f ) df
2
P( f ) df
H opt ( f )  kP* ( f ) exp( j 2fT )

hopt (t )  k  P ( f ) exp j 2f (T  t ) df  kg (T  t )

La respuesta al impulso del filtro Matched es una versión reflejada
respecto del tiempo y deplazada del pulso de entrada p(t).
p(t)
kAAT
A
0
T
0
T
Probabilidad de error en la detección debido al ruido:
Ahora que sabemos que el filtro matched es el detector óptimo de
un pulso de forma conocida contaminado por ruido aditivo
podemos obtener una expresión para la probabilidad de error en
este sistema.
La detección se basa en muestrear los pulsos en su máximo y
compararlos con un nivel para determinar su valor.
Estudiamos la probabilidad de error para las distintas
codificaciones de línea de uns istema binario PCM:
Codificación Polar:
Un 1 se transmite como p(t) y un 0 como -p(t)
Las condiciones de error son:
Ap
-Ap
( Ap  n)  0
( Ap  n)  0
1
Q( x ) 
x 2
 0.7   x 2 / 2
,x  2
1  2 e
x 

Codificación on-off:
Un 1 se representa con el pulso p(t) y un cero con ausencia de
pulso.
La condición de error se puede ver del siguiente modo:
Ap/2
Ap
-Ap/2
0
Por lo tanto la probabilidad de error que se obtiene es:
Codificaciones pseudoternarias:
Un 1 se transmite como un pulso opuesto al pulso anterior y un
cero como ausencia de pulso.
La condición de error se puede ver del siguiente modo:
Ap
Ap
Inferencia inter simbolos (ISI)
Un pulso p(t) básico podemos considerarlo como un pulso
rectangular, sin embargo la densidad de potencia espectral de un
pulso cuadrado es infinita ya que P(W) tiene un ancho de banda
infinito.
Sin embargo hay una zona del espectro donde se concentra la
energía |f| < fo fuera de esta zona la energía es pequeña pero no
cero.
Si se transmite esta señal por un canal con un ancho de banda
finito se suprime una pequña porción del espectro => una
distorsión de la señal recibida.
No podemos considerar pulsos limitados en el tiempo
porque su contenido en frecuencias sería infinito y se
transmitirían con distorsión.
Varios pulsos no limitados en el tiempo solapados
causarían ISI.
Nyquists propuso tres criterios diferentes para evitar la
interferencia inter símbolos.
Estudiamos el primer criterio de Nyquists
Primer criterio de Nyquist:
Se elige el pulso para que tenga amplitud distinta de cero en t=0 y
amplitudes cero en t  nT0 . Siendo T0 la separación entre
sucesivos pulsos transmitidos. De esta forma no hay ISI en el
centro de los demas pulsos.
Para un ancho de banda
condición
f0
sólo hay un pulso que cumple esta
Este esquema tiene problemas prácticos de implementación
ya que la amplitud de los lóbulos laterales decae lentamente
(como 1/t). Esto puede generar una ISI acumulada cuando
haya una falta de sincronismo entre dos pulsos.
Este problema se puede solucionar con pulsos que verifican
las condiciones anteriores pero con anchos de banda entre f0/2
y f0 .
Pulsos de tipo coseno remontado:
La condición que deben cumplir los pulsos es la siguiente:

1 
p(t )  (t  nT0 )   (t )   P(  no )  1
T0 n  
n  
Es decir que la suma de los espectros debe ser constante:
P( )  P(  0 )  T0
El espectro tiene la forma de la figura:
Su ancho de banda es w0/2 + wx .. Definimos el exceso de ancho de
banda r = 2wx /w0 el ancho de banda se puede expresar como
B=(1 + r) f0 /2
La forma temporal del pulso es
Para ancho de banda
completo
Segundo criterio de Nyquists:
Este esquema tiene su origen en la transmisión telegráfica. Se
usaban pulsos conformados para una velocidad de f0 pulsos por
segundo pero transmitidos a una velocidad de 2 f0 pulsos por
segundo
Un 1 se transmite como un pulso y necesita T0 segundos para
alcanzar su valor máximo, sin embargo si en T0 se transmite otro
1 se superpondrán las amplitudes alcanzando un valor máximo
K, si el segundo pulso es un 0 se superpondrán las amplitudes
anulandose su valor.
La anchura del pulso resultante es de 3T0 y el segundo criterio
de Nyquists es
 T0 
p 
C
2 

y
 nT0 
p 
  0, n  3,5,7
 2 
Para una ancho de banda de f0 /2
la forma del pulso es:
2 f 0 cos(f 0t )
p(t ) 
 (1  4 f 02t 2 )
     


P( )  cos
 2 f 0   2f 0 
Transmisión Digital Paso banda
En la transmisión digital pasobanda la señal digital modula a una
señal portadora ( normalmente una función sinusoidal).
En el caso de transmisión paso banda o de señales de tiempo
discreto moduladas, el canal puede ser un enlace de radio de
microondas, una canal satélite ...
La amplitud, la frecuencia o la fase de la portadora pueden variar
de acuerdo con la secuencia de datos dando lugar a los diferentes
señalamientos:
-ASK señalamiento por desplazamiento de amplitud
-FSK señalamiento por desplazamiento en frecuencia
- PSK señalamiento por desplazamiento en fase.
Un modelo para la transmisión pasa banda:
Suponemos que existe una fuente de mensajes que emite símbolos
pertenecientes a un alfabeto discreto de M símbolos cada T
segundos. Las probabilidades a priori de estos símbolos especifican
el mensaje de salida. En ausencia de información todos los símbolos
tienen igual probabilidad.
Este mensaje es la entrada a un bloque que realiza la codificación de
la señal para su transmisión. Produciendo un vector de N
componentes reales ( con N<=M) por cada uno de los M símbolos
del alfabeto fuente. Este vector de salida es la entrada al bloque
modulador, la señal, de T segundos de duración, generada en el
modulador es necesariamente de energía finita.
El canal de comunicación pasobanda conecta el transmisor con el
receptor. Las características del canal son:
1. El canal es lineal y el ancho de banda es tal que puede
transmitir a la señal modulada sin distorsión.
2. La señal transmitida se ve contaminada por ruido gausiano
aditivo blaco (AWGN).
La tarea del receptor es observar la señal recibida durante T
segundos . El primer bloque detector opera sobre la señal recibida
para producir un vector de observaciones, el bloque decodificador
realiza las estimaciones de los símbolos generados por la fuente
en el transmisor.
Una condición que debe cumplir el receptor es que minimice la
probabilidad promedio de símbolo erróneo.
Fuente de
Mensaje
mi
si
Codificador
Modulador
si(t)
Transmisor
Canal de
comunicación
x i(t)
Detector
x
Decodificador
Receptor
^m
Las tres formas básicas de señalización:
Método de Ortogonalización de Gram-Schmidt:
Este método de ortogonalización permite representar cualquier
conjunto de M señales de energía (ya moduladas) como
combinación lineal de N funciones base ortonormales (N<=M).
 0t T
si (t )   sij j (t ),
j 1
i  1,2,...M
N
sij (t )  
T
0
i  1,2,...M
si (t ) j (t )dt, 
 j  1,2,...N
1, i  j
0 i (t ) j (t )dt  0, i  j
T
Descripción del procedimiento de Gram Schmidt:
Se define la función base 1 como:
s1 (t )
1 (t ) 
; s1 (t )  E11 (t )  s111 (t )
E1
T
s21   s2 (t )1 (t )dt
0

2 (t ) 
s2 (t )  s211 (t )
2


s
(
t
)

s
(
t
)

(
t
)
21
1
0 2
T
i 1
si (t )   sij j (t )
j 1
i (t ) 

T
0


 si (t )   sij j (t )
j 1


i 1
2
Cada señal si(t) queda especificada por un vector si cuyos N
elementos son los coeficientes sij. El espacio euclídeo de Ndimensiones se denomina espacio de señales. Se puede definir la
norma y el producto interno entre vectores de este espacio:
N
si  s s   s
T
i i
j 1
2
ij
si , s j  si s j cos  ij
Proyección de la señal contaminada por ruido blanco gausiano
sobre las funciones bases ortogonales:
 0t T
x(t )  si (t )  w(t ), 
i  1,2,...,M
T
x j   x(t ) j (t )dt  sij   j
0
T
sij   si (t ) j (t )dt
0
T
w j   w(t ) j (t )dt
0
X es una variable aleatoria que queda caracterizada por un vector
de N componentes.
Cada componente del vector es a su vez una variable aleatoria
gausiana de valor medio y varianza:
 x  E X j   E sij  w j   sij
j
   
N0
  var X j  E W 
2
Las componentes del vector X son variables aleatorias no
correlacionadas:
2
xj
2
j


cov X j X i  0,
j i
El vector X se denomina vector de observaciones, y cada
uno de los elementos del vector se denomina elemento
observable .
La función densidad de probabilidad condicional del vector X,
cuando se transmite la señal si(t), correspondiente al símbolo mi ,
se puede expresar como el producto de las funciones densidad de
probabilidad condicionales de sus elementos individuales como:
 1
 j  1,2,...N
1
2
x j  sij  , i  1,2,...M
f x j ( x j | mi ) 
exp
N 0
 N0
 
N
f x ( x | mi )   f x j ( x j | mi ),
i  1,2,...,M
j 1
Estas funciones son la caracterización del canal y tambien
se denominan funciones de transición del canal.
Detección Coherente se señales en ruido:
Se supone que en cada intervalo de tiempo de duración T sg. Se
transmite una de las M posibles señales {s1(t)..... sM(t)} con igual
probabilidad 1/M.
 0t T
x(t )  si (t )  w(t ) 
i  1,2,..,M
La señal si(t). Queda representada por un punto en el espacio
ecuclídeo de dimensión N. A este punto se le denomina punto
mensaje.
EL conjunto de puntos mensajes correspondientes a las señales
transmitidas se les llama Constelación.
La señal recibida x(t) también queda representada por un punto del
espacio euclídeo. A este punto se le denomina punto señal recibida.
Dado un vector de observaciones X, la detección consiste en a
partir de X obtener una estimación m^ del símbolo transmitido
mi , de modo que se minimice la probabilidad de error en el
proceso de transmisión.
Decodificación de máxima probabilidad:
Suponiendo que todos los decodificadores son igualmente
probables la decodificación de máxima probabilidad es una
solución a este problema
pe (mi , x)
 P(mi
no sea enviado|
 1  P(mI
sea enviado|
x)
x)
Regla de decisión óptima: Máxima probabilidad a posteriori (MAP)
^
Sea mi  mi si P(mi enviado| x)  P(mk enviado| x) k  i
Esta regla se puede expersar, haciendo uso del teorema de Bayer,
en términos de las probabilidades a priori de las señales transmitidas
y de las funciones densidad de probabilidad:
^
Sea
mi  mi
si
pk f x ( x | mk )
es
máxim o k  i
f x ( x)
pk es la probabilidad a priori del símbolo mk , fx (x|mk) es la función
densidad de probabilidad condicional y fx(x) es independiente de la
señal transmitida. Luego la regla MAP expresada en logaritmica
natural:
ln f x x | mk es máximo para
k i
El espacio de observaciones Z se divide en M regiones de decisión
que se denominarán Z1....Zm . La regla MAP se puede expresar como
sigue: Un vector de observaciones X pertenece a la región Zi si
ln f x x | mk es máximo para
k i
El correspondiente vector de la métrica es:
N
1
ln f x ( x | mk )   ln(N 0 ) 
2
N0
N
2
(
x

s
)
 j ij
j 1
Lo que lleva a redefinir la regla MAP: El vector de
observaciones pertenece a la región Zi si la distancia euclídea
||x-sk|| es mínima para k=i
De donde se puede deducir la regla equivalente: Un vector X
pertenece a la región Zi si
N
1
x j skj  Ek es máxim o para k  i

2
j 1
La probabilidad de error:
M
Pe   P( x no pertenezca Zi | mi
se envía)
i 1
1
Pe  1 
M
M
 P( x
i 1
pertenezca a Zi | mi
1
Pe  1 
M
M
  f ( x | m )dx
i 1 Z i
x
i
se envía)
Recuperación Coherente en el receptor:
El receptor óptimo consiste en dos subsistemas:
1. Subsistema detector
x

T

T

T
0
dt
x1
dt
x2
1(t)
x(t)
x
0
2(t)
x
N(t)
0
dt
xN
Decodificador de la señal transmitida:
x
Acumulador
xT s1 +
1
E1
2
s1
T
X
x
Acumulador
x s2 +
1
E2
2
s2
x
sM
Acumulador
x T sM
+
1
EM
2
S
e
l
e
c
t
o
r
^
m
Detección de señales con fase desconocida, detección no
coherente:
Hasta ahora se ha supuesto que el receptor tiene total conocimiento
de la señal transmitida.
Se puede encontrar incertidumbre y aleatoriedad en algunos
parámetros de la señal.
La principal causa de esta incertidumbre es la distorsión
producida por el médio de transmisión.
Una causa muy frecuente es la transmisión sobre múltiples
caminos de longitud variable. Esto causa una aleatoriedad en la
fase de la señal portadora.
Por ejemplo, consideramos un sistema de comunicación
digital en el cual se transmiten señales iguales de la forma:
2E
si (t ) 
cos(2fit )
T
0t T
Donde E es la energía de la señal, T es la duración del
intervalo de señalización y la frecuencia fi es un múltiplo
entero de 1/2T . No hay sincronización de fase entre el
emisor y el receptor.
Si el canal es AWGN la señal recibida es de la forma:
x(t ) 
2E
cos(2fit   )  w(t ) , 0  t  T
T
La fase  se considera tambien como una variable aleatoria
unifórmemente distribuida entre 0 y 2 radianes.
El sistema de detección estudiado previamente no es útil para el
caso de detección no coherente.
De forma intuitiva veamos las modificaciones necesarias en el
receptor:
2E
cos cos(2fit )  sensen(2fit )  w(t ) 0  t  T
x(t ) 
T
Si suponemos que las funciones ortonormales o correladores
son de la forma

2 / T cos(2fit ) ,
2 / T sen(2fit )

En ausencia de ruido encontramos que la salida del primer
correlador es E cos(2fit ) y la salida del segundo correlador es
E sen(2fit ) de manera que si elevamos al cuadrado y sumamos
el resultado es independiente de la fase. A este sistema se le
denomina receptor en cuadratura de fase.
x

T
0
x(t)
dt
cuadrado
2 / T cos(2fit )
x
2 / T cos(2fit )
+

T
0
dt
cuadrado
Raiz
cuadrada
Métodos de Modulación sin memoria:
Señalamiento por desplazamiento de amplitud (ASK): También
se le denomina PAM digital. La forma de onda de la señal es:
sm (t )  Re( Am g (t )e j 2f i t )  Am g (t ) cos(2fit )
m  1,2,...M
0t T
Am con 1<=m<=M denota el conjunto de M posibles amplitudes .
La energía de la señal es:
1 2 T 2
1 2
 m   s (t )dt  Am  g (t )dt  Am g
0
2 0
2
T
2
m
En este caso N=1, la función (t) es de la forma:
 (t ) 
2
g
g (t ) cos( 2f ct )
Y sm de la forma
1
g
2
Las correspondientes constelaciones de señales para M=2, M=4 y
M=8 son:
sm  Am
0
1
000
001
00
011
010
110
01
111
11
101
10
100
Se pueden hacer dos observaciones:
El vector de señal tiene una única dimensión, que representa la
amplitud de la señal.
Los puntos de la señal se seleccionan de manera simétrica
respecto del origen.
La señal PAM modulada es una señal de banda lateral doble de
modo que se requiere dos veces el ancho de banda requerido
para la transmisión en banda base .
La asignación de bits se puede realizar de diferentes formas, una
posible forma es aquella en la cual las amplitudes de las señales
adyacentes difieren sólo en un bits. A este asignación se le
denomina codificación Gray.
La distancia euclídea entre un par de puntos de señales es:
d
e
mn

sm  sn 
2
1

 g Am  An
2
e
d mn
 d 2 g m  n
Señales moduladas en fase
En modulación digital de fase la onda de señal tiene la forma:


sm (t )  Re g (t )e j 2 m1/ M e j 2f ct ,
m  1,2,...,M
0t T
2


sm (t )  g (t ) cos2f ct 
(m  1)
M


2
2
 g (t ) cos (m  1) cos 2f ct  g (t ) sen
(m  1) sen2f ct
M
M
Donde g(t) es la forma del pulso y m =2(m-1)/M son las M
posibles fases de la portadora que contienen la información
transmitida.
La energía de la señal es de la forma:
 
T
0
1 T 2
1
sm (t )dt   g (t )   g
2 0
2
La señal modulada se puede representar como combinación de dos
funciones ortonormales 1 y 2
2
1 (t ) 
g (t ) cos 2f ct
g
2 (t )  
2
g (t ) sen2f ct
g
sm (t )  sm11 (t )  sm 22 (t )
 g
2
sm (t )  
cos (m  1)
M
 2

2
sen
(m  1)
2
M

g
La constelación de señales para M=2,4 y 8 es
01
0
1
00
11
10
011
010
001
110
000
111
100
101
Como en el caso ASK, la asignación de bits se puede hacer de
diferentes formas, pero tambien se ha utilizado una codificación
Gray.
La distancia euclídea entre los puntos de la señal es:
e
d mn
 sm  sn
 
2

  g 1  cos (m  n) 
M

 
1
2
Modulación de amplitud en cuadratura:
La señal PAM tambien se puede modular con dos portadoras en
cuadratura cos2fct y sen2fct , la técnica de modulación resultante
se llama PAM en cuadratura o QAM. La correspondiente señal se
puede expresar como:

sm (t )  Re  Amc  jAms g (t )e j 2f ct

m  1,2,...,M , 0  1  T
sm (t )  Amc g (t ) cos2f ct  Amc g (t )sen2f ct
Donde Amc y Ams son las amplitudes de las señales en
cuadratura.
En realidad la señal PAM en cuadratura reduce el ancho de
banda en un factor 2. (ASK-SSB). (se correspondería con
ASK de banda lateral única)
Una expresión alternativa de QAM es


sm (t )  Re Vm e jm g (t )e j 2f ct ,
sm (t )  Vm g (t ) cos(2f ct  m )
Donde:
2
2
Vm  Amc
 Ams
,  m  tan g 1 ( Ams / Amc )
Por lo tanto se puede ver QAM como una combinación de
modulación en amplitud y fase.
Se puede obtener la combinación de la constelación de señales
ASK-PSK, en este caso M=M1M2 .
En este caso el número de dígitos que se transmite es
n+m=logM
Las funciones ortonormales son :
1 (t ) 
2
g (t ) cos 2f ct
g
2
2 (t )  
g (t ) sen2f ct
g
Y las componentes del vector:

1
sm   Amc
g
2

Ams
1 
g 
2 
La distancia euclídea entre cualquier par de puntos del espacio
es:
de 
s s
mn


m
n
1
 g  Amc  Anc 2   Ams  Ans 2
2

Ejemplos de constelaciones para QAM (M=16);
2
1011
1001
1101
1111
1010
1000
1100
1101
0001
0000
0100
0110
0011
0010
0101
0111
-3d/2
1
-d/2
d/2
3d/2
El producto cartesiano de un par de constelaciones
unidimensionales se puede ver como una matriz en la que aparecen
todos los posibles pares ordenados, en el ejemplo de constelación
QAM cuadrada la matriz es de forma cuadrada
  3,3
  3,1
ai , bi   
 3,1

 3,3
 1,3
 1,1
 1,1
 1,3
1,3
1,1
1,1
1,3
3,3 
3,1 
3,1
3,3
Constelación cruzada QAM:
Para una señal QAM con M símbolos con número impar de bits
por símbolo se sigue el siguiente procedimiento para generar la
constelación de señales:
1. Se comienza con una constelación QAM con n-1 bits
por símbolo.
2. Se extiende cada lado de la constelación cuadrada
añadiendo 2n3
3. Se ignora la extensión en las esquinas.
En este caso no es posible expresar la constelación cruzada QAM
como el producto de una constelación ASK consigo misma.
Descargar

Complementos de procesado de la señal y Comunicaciones