Métodos de integración por cuadraturas:
Queremos calcular la integral de una función en el intervalo (a,b):
b
 y( x )dx
a
Para ello tomamos n+1 puntos:
(x0,y0), (x1,y1), …, (xn,yn) donde x0≠ x1≠... xn
y buscamos un polinomio p2n+1 (x) de grado 2n+1 tal que:
P2n+1 (xi) = yi , i = 0,1, …,n
p 2 n  1 (x )  a 0  a 1 x  a 2 x 
2
 a2 n 1 x
2 n 1
,
a i  R , i  0, 1, , 2n  1
Y aproximaremos la integral buscada mediante la integral del polinomio:
b
 y( x )dx
a
b

p
a
2 n 1
( x )dx
Como el polinomio pasa por todos los puntos es un polinomio de
interpolación, aunque no es único (no tiene orden menor o igual a n).
Lo podemos escribir del modo siguiente:
x  x 
(x )   
y
x  x 
n
p2 n 1
n
i 0 j  0
ji
donde
n
j
i
i

j
 x  x 
j
qn( x )
j 0
q n ( x ) es un polinomio
de gra do n
Supongamos que el intervalo de integración (a,b) es el (-1,1). Si
no es así, siempre podemos tomar el cambio de variable adecuado :

1
1
 n n x  x j 
 x  x yi 
 y( x )dx   
j 
1
1 i  0 j  0  i


j i
n
 x  x 
j
j 0


q n ( x ) dx




 n n x  x j 
 x  x yi 
 y( x )dx   
j 
1
1 i  0 j  0  i


j i
1
1
1
1
n
n
x  x j 
 y( x )dx     x
i0
1
1
j 0
i
n
 x  x 
j
j 0
1


q n ( x ) dx



n
  x  x 
y i dx 
 xj 
j
q n ( x )dx
j 0
1
j i
La primera integral se puede re-escribir como:
x  x 
   x x y


n
1
n
n
j
i 0
1
j 0
ji
i
i
dx 
de peso
i
i
, donde
i0
j
x  x 

  x  x 
1
factores
yw
wi
n
j
1
j 0
j i
i
j
dx
los
La segunda integral se escoge de forma que su contribución sea cero:
1
n
  x  x 
j
q n ( x )dx  0
j 0
1
Para ello tendremos que escoger adecuadamente qn(x). Tomemos una
base ortogonal {gk(x)} con k un índice entero. Entonces:
n 1
n
 x  x    b
j
j0
k
gk ( x )
k 0
n
qn ( x ) 
c
k
gk ( x )
k 0
luego la integral se puede escribir como:
1
  x  x 
j
1
n 1
n
j 0
q n ( x )dx 
1
n
b c g
k
k  0 l 0
l
1
k
( x )g l ( x )dx
1
n 1
n
  x  x 
1
b c g
q n ( x )dx 
j
1
n
k
j 0
l
k  0 l 0
k
( x )g l ( x )dx
1
Dada la ortogonalidad de las {gk(x)}:
1
  x  x 
j
1
j 0
1
n
  x  x 
j
1
n 1
n
q n ( x )dx 
n
b
2
k
c l gl (x )  lk
k  0 l 0
n
q n ( x )dx 
j0
bc
k
k
gk ( x )
k0
luego, para que la integral sea cero basta escoger:
b k  0 , k  0, 1,
, n
n
 x  x   b
j
j0
n 1
g n  1 ( x)
2
y, para que se cumpla:
n
 x  x   b
j
g n  1 ( x)
n 1
j0
basta con escoger los puntos xj, de forma que sean los ceros de gn+1(x)
Como hemos escogido el intervalo (-1,1) los gk(x) podrían ser los
Polinomios de Legendre.En este caso la cuadratura recibe el nombre
de: Cuadratura de Gauss-Legendre.
Ejemplo:
1
 cos(
x )dx  sen( x )  1  sen( 1)  sen(  1)  2 sen( 1)  1.682942
1
1
Tomando n=1 (2 puntos):
x0  0.5773503
1
1
 cos(
1
; x1  0.5773503
x )dx 
yw
i
i0
1
i

 cos(
x i )w i  cos( x 0 )  cos( x 1 )
i 0
1
 cos(
1
x )dx  cos( 0.5773503 )  cos( 0.5773503 )  1.6758236
Tomando n=2 (3 puntos):
x0  0.7745967
1
 cos(
1
2
x )dx 
yw
i
; x1  0 ; x2  0.7745967
2
i
i0

 cos(
x i )w i
i 0
1
 cos(
x )dx  w 0 cos( x 0 )  w 1 cos( x 1 )  w 2 cos( x 2 )
1
1
 cos(
1
x )dx  0.5 cos( 0.7745967 )  0.8 cos( 0 )  0.5 cos( 0.7745967 )
1
 cos(
1
x )dx  1.6830035
valor exacto  1.682942
  1.6830035  1.682942  6.15 e  5
Por trapecios (3 puntos h=1:
1

 cos( x )dx  h 2 cos( x 0 )  cos( x 2 )   cos( x 1 ) 
1
1
1

 cos( x )dx  1 2 cos(  1)  cos( 1)   cos( 0) 
1
1
1
 cos(
x )dx  1 .5403023
1
valor exacto  1.682942
  1.5403023  1.682942   0.14
Por Simpson (3 puntos h=1:
1
 cos(
x )dx 
h
3
1
1
 cos(
x )dx 
cos(
1
3
1
x 0 )  cos( x 2 )  4 cos( x 1 ) 
cos( 1 )  cos( 1)  4 cos( 0) 
1
 cos(
x )dx  1.6935349
1
valor exacto  1.682942
  1.6935349  1.682942  0.01
Volviendo a la cuadratura de Gauss-Legendre y tomando n=3 (4 puntos):
x0  0.8611363
1
 cos(
1
; x1  0.3399810
3
x )dx 
yw
i
; x2  0.3399810
; x 3  0.8611363
3
i

i0
 cos(
x i )w i
i 0
1
 cos(
x )dx  w 0 cos( x 0 )  w 1 cos( x 1 )  w 2 cos( x 2 )  w 3 cos( x 3 )
1
1
 cos(
x )dx  0 .3478548 cos(  0 .8611363 )  cos( 0 .8611363 )  
1
 0 .6521451 cos( 0 .3399810 )  cos( 0 .3399810 ) 
1
 cos(
x )dx  1.6829417
valor exacto  1.682942
1
  1.6829417  1.682942  3.2e  7
Si el intervalo de la integral no es el (-1,1) haremos el siguiente
cambio de variable:
b

f ( x )dx 
b a
2
a
t 
2 x  (a  b)
b

a
f ( x )dx 
b a
b a
2
1

1
1

f  b  a t  a  b dt
2

 x
1
2
b  a t  a  b  
n

i0
f ( x i )w i 
b a
2
n

i 0
dx 
ba
2
dt
1

f  b  a ti  a  b w i
2

los valores de la tabla
Ejemplo:
3
 ln
x dx   x ln x  x 1  3 ln 3  3  1  1 .2958369
3
1
Tomando n=2 (3 puntos):
t 0  0.7745967
3
 ln
x dx 
ba
2
1
xi 
1
2
b  a ti
2

i 0
; t1  0 ; t2  0.7745967
1

f  b  a t i  a  b w i
2

 a  b   x 0  1.2254033 , x 1  2, x 2  2.7745967
3
 ln
1
x dx  0.5 ln( 1.2254033 )  ln( 2.7745967 )   0.8 ln( 2)
3
 ln
1
x dx  1.2960061
Calcular mediante cuadratura de Gauss-Legendre con 4 puntos la
siguiente función (llamada función error) en el punto x = 0.5:
2
erf ( x ) 

z
 0.2369269
1
2 
[e
e
t
2
dt
0
0.5
2
erf ( 0.5) 
erf ( 0.5) 

x
e
t
2
dt 
0
2t  ( 0  0.5)
0.5  0
  0 .9061 798  1  2
 

4


e

1
e

4
 z  1 2
 

 4 
16
t 
e
 0.4786297
 0 .9061 798  1 2
 

4


dz
1
z1
4
1

{0.5688889
2
1
[e
 dt 
  0.5384 693  1  2
 

4


]}  0.5204999
e
dz
4
 0.5384 693  1  2
 

4


]
Calcular:
1
e
x
2
cos x dx
1
2
x
x  1 dx
1.5
2
 cos
1
x dx
1
e
x
2
cos x dx
 
5  cos 2  2 sen 2
10 e
1

e
10
5  cos 2  2 sen 2   1.6386376
Tomando Gauss-Legendre con n=2 (3 puntos):
x0  0.7745967
1
e
x
; x1  0 ; x2  0.7745967
2
2
cos ( x ) dx 
2
 yw
i
i

2
cos ( x i )w i
i 0
i 0
1
e
 xi
1
e
x
cos x dx  w 0 e
2
 x0
cos
2
x 0  w 1e
 x1
cos
1
1
e
1
x
 
8
5
2
cos x dx   
e

9 9 
3
5

5
 e 
 cos

3
2
3
5
1
e
1
x
cos x dx  1.6353975
2
2
x1  w 2 e
x2
cos
2
x2
Tomando Gauss-Legendre con n=3 (4 puntos):
x0  0.8611363
; x1  0.3399810
1
e
x
3
3
cos ( x ) dx 
2

y iw i 
1
e
x

e
 xi
; x 3  0.8611363
2
cos ( x i )w i
i 0
i 0
1
; x2  0.3399810
cos x dx  0.3478548
2
e
0.8611 363
e
 0.8611 363
cos
2

(0.8611363 ) 
1
 0.6521451

e
0.3399 810
e
 0 .3399 810
cos ( 0.3399810 )
1
e
1
x
cos x dx  1.638712
2
2

2
1
x
x  1 dx 
z 7
4
4
1
1.5
z

z 7
2 x  (1.5  2)
2  1.5
 x
1
dz

4
z 7
4
1
32
 dx 
1
 z  7
z  3 dz
1
dz
4
Tomando Gauss-Legendre con n=2 (3 puntos):


1 8
5 

 7 3 
I


32 
9 
9

3
 7 
 
5

 3

3
 3  
 7


5
 5

I  0.759157


3

 3 

5

Tomando Gauss-Legendre con n=3 (4 puntos):
I
1
[(  0.339981  7) 0.339981  3 
{0.6521451
32
 ( 0.339981  7) 0.339981  3 ] 
 0.3478548
[(  0.8611363  7)  0.8611363  3 
(
0.8611363  7) 0.8611363  3 ]}
I  0.760254
Tomando Gauss-Legendre con n=4 (5 puntos):
I
1
32
{0.5688889
( 7 3) 
0.4786287
[(  0.5384693  7)  0.5384693  3 
 ( 0.5384693  7) 0.5384693  3 ] 
 0.2369269
[(  0.9061798  7) 0.9061798  3 
(
0.9061798  7) 0.9061798  3 ]}
I  0.760254
2
n
 cos
x dx 
w
i
f ( z i ) ; zi 
b a
i 0
1
2
xi 
a b
2
Tomando n=1 (2 puntos):
x0 
z0 
1
2
1
; x1 
3
x0 
I
1
3
2
1
3
 1.2113249
cos

2
, z1 
1.2113249  cos
I  0.3421646
1
2
x1 
3
2
 1.7886751
1.7886751

Tomando n=2 (3 puntos):
x0  
3
5
z0  1.1127017
1 8
I   cos
2 9
1.5 
; x1  0 ; x 2 
3
5
; z1  1.5 ; z2  1.8872983
5
9
cos
1.127017  cos
I  0.3421648

1.8872983 

Por Simpson con un intervalo ( h = 0.5):
1
2
 cos
1
x dx 

2
cos
3
1  cos
2  cos

1.5  0.342165
Por Simpson con dos intervalos ( h = 0.25):
2
 cos
x dx 
1
4 [cos
3
1
 2 cos
1  cos
2
1.5  4(cos
1.25  cos
2
 cos
1
x dx  0.3421648
1.75 )]
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