Movimiento relativo de la
Tierra
Sistema de referencia
no inercial
Ecuaciones de Movimiento

Las ecuaciones de Newton para un sistema de
partículas deben ser formuladas respecto a un
sistema inercial de referencia. De ser necesario
utilizar un sistema no inercial, ya sea porque esté
acelerado o tenga rotaciones respecto al inercial.

Podemos establecer las relaciones entre el
movimiento absoluto, respecto al sistema inercial, y
el movimiento relativo respecto al sistema no inercial
en uso, como se explica a continuación.
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
Respecto a la figura (1): se indica el
vector posición absoluto y se indica el
vector posición relativo de una de las
partículas del sistema, tenemos que:
r  rA  r '

Para relacionar velocidades y
aceleraciones, debemos considerar que
la velocidad relativa y
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aceleración relativas son las derivadas
del vector posición relativo con vectores
unitarios
considerados
constantes,
entonces si:
r '  xˆ ' x '  yˆ ' y '  zˆ ' z '
la velocidad y aceleración relativas son:
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v
a
rel
rel
 xˆ '
 xˆ '
dx '
 zˆ '
dz '
dt
dt
dt
2
2
2
d x'
dt
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 yˆ '
dy '
2
 yˆ '
d y'
dt
2
 zˆ '
d z'
dt
2
Fig. (1): SISTEMA DE REFERENCIA NO INERCIAL
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
La existencia del denominado vector
velocidad angular del sistema móvil, será
justificada en el capítulo sobre rotaciones
de cualquier texto de Mecánica, por ahora
bastará aceptar que las derivadas de los
vectores unitarios móviles están dadas por
el respectivo vector unitario, de modo que
se puede obtener:
v  v A    r ' v
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rel
y
a  a A    r ' 2   v
rel
      r '  a
rel
Esta expresión es conocida como teorema de Coriolis
• Aquí 
representa la aceleración angular o sea la
derivada respecto al tiempo de la velocidad angular.
En esta expresión los términos:
 
d
dt
En esta expresión los términos:
2  v
rel
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es conocido como la aceleración de Coriolis
y
a A    r '      r ' 
es conocido como la aceleración de arrastre de la partícula .
Considerando lo anterior, la Segunda Ley de Newton
en el sistema no inercial de referencia tiene la
expresión:
ma
rel
 F  m  a A    r ' 2   v
Ec.(1)
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rel
      r ' 
que puede interpretarse diciendo que la
partícula obedece la segunda Ley en un
sistema no inercial, pero a la fuerza real
hay que agregarle fuerzas ficticias dadas
por:
F
arrastre
F
   a A    r '      r '  
co rio lis
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 2  v
rel

MOVIMIENTO RELATIVO A LA TIERRA
Un ejemplo bastante cotidiano de sistema no inercial de
referencia lo constituye la Tierra.
Su no inercialidad se debe principalmente a la rotación
terrestre respecto a su eje, que es muy aproximadamente
constante y equivalente a una vuelta completa en 24
horas. Su valor en consecuencia es bastante pequeño:

2
24  3600
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5
 7 , 2722  10 s
1
2
Ello justifica la denominada aproximación,
  0
donde se desprecian los términos en . 2
 Si consideramos como modelo de la Tierra,como
perfectamente esférica de masa M y radio R,


Podemos elegir como sistema no inercial, un sistema
fijo en la tierra con origen en la superficie terrestre en
una latitud que denominaremos λ.

El eje z se elige vertical -no necesariamente radial.
El eje x perpendicular a z dirigido hacia el Sur.
el eje y perpendicular a los anteriores, o sea hacia el
Este, como se indica en la figura (2).


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Fig. (2). Sistema de referencia fijo a la Tierra
La desviación entre la vertical del lugar y la dirección
radial ε está exagerada en la figura.
Su estimación la veremos luego.
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. Vertical y aceleración de gravedad del lugar
Un primer efecto de la no inercialidad del
sistema de referencia terrestre es que:
 la vertical del lugar se desvía de la
dirección radial terrestre y que,
 la aceleración de gravedad depende de la
latitud.
 En efecto, la definición de peso y de vertical
se hacen de acuerdo a una plomada de
masa m en situación estacionaria en la
Tierra.
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Así la vertical es la dirección de la plomada y el
peso es de magnitud definida como la tensión en
el hilo de la plomada.

Para esa situación estacionaria, la
aceleración y velocidad relativas son cero,
por lo tanto una aplicación de la Ec.(1) a
esta situación, implica:
0 TG
Mm
r
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2
rˆ  m a A

donde se ha considerado que además de la fuerza
gravitacional actúa la tensión del hilo, la
r' 0
velocidad angular es constante y

De acuerdo a lo explicado:
la dirección de T es el eje z y su magnitud
se define como mg, el peso del cuerpo.
y g la aceleración local de gravedad.
Entonces tenemos que:

m g zˆ  G
Mm
R
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2
rˆ  m a A

Además la aceleración del origen A está
dada por:
aA
2
ˆ
ˆ
ˆ
 z o    z o   rR   R   zˆ o sen   rˆ 
Tomando el módulo de la Ec.2, tenemos:
2
g
2G M
 GM 
2
2
2
4
2

R  cos   R  cos 

2 
2
R
 R 
2
g 
 GM 
 2G M
2
2

R 

2 
 R 
 R
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 2
2
  cos 



Que se reduce en el Polo a:
y en el Ecuador a:
gp 
GM
R
2
 GM 
2
ge  

R

2 
R


La razón entre la aceleración centrípeta en el
ecuadorestá dada por: R  2
y la aceleración de gravedad en el Polo, usualmente
designada por 
18
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
R
2
GM / R



 3, 4257  10
2
3
De modo que: g e  g p (1   )
Para el caso de nuestro planeta (Serway I), los
valores numéricos,
para el radio promedio terrestre R,  6, 37  10 m
M  5, 98  1024 K g
masa de la Tierra ,
6

G  6, 67259  10

 11
N m Kg

2
2


permiten estimar gp y ge
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 
2
24  3600
s
1
g p  9 , 8 3 3[m / s ]
g e  9, 8[m / s ]
2
2
2
g
g
2G M
 GM 
2
2
2
4
2

R

cos


R

cos


2 
2
R
 R 
GM
R
2
2 R  cos 
2
1
GM
R
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2
2
R  cos 
2

4
2
2
G M
R
4
2
g  g P 1  2  cos    cos 
2
g  g P  1   cos
2

2
2
 ge  1   sen
2

g  9, 8  1  0, 0034257  sen 2  
2
Sin embardo la Tierra no es esférica y de acuerdo a la
Unión Internacional de Geodesia y Geofísica de 1967,
el valor de g al nivel del mar varía con la latitud, de
acuerdo a la expresión:
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 1  0, 00530238sen 2   0, 000005850sen 2 2   
g  9, 780309 

 0, 0000032sen 2  sen 2 2 


Fig.(3) Gravedad local. Tierra esférica (a) y real (b)
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
Ambas expresiones (*) y (**)están graficadas
en función de 



 var ía :  d e 0 
 1, 5708 
2



Para propósitos prácticos las antiguas
fórmulas todavía se usan, la llamada fórmula
de Cassinis se cita como referencia:
g  9, 780490  1  0, 0052884sen   0, 0000059sen 2  
2
2
Los errores obtenidos con esta fórmula alcanzan los 1µm/s2 ó
0.1(mal).
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La Asociación Internacional de Geodesia propuso en 1980
la fórmula para el cálculo de la gravedad teórica g basada
en un elipsoide de revolución:
 1  0.0052790414 sen 2   0.0000232718 sen 4  
g  978032.7 
 m gal
  0.0000001262 sen 6 


Esta fórmula reproduce valores de medidas absolutas de
gravedad a nivel del mar dentro de un margen de error de
0.01µm/s2 ó 0.001(mgal).
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Desviación de la vertical.
Una estimación del ángulo ε, entre la vertical y la dirección
radial, puede obtenerse de las Ec(2) y de la Ec(3)
Mm
m g zˆ  G
R
aA  R
m gzˆ  G
Mm
R
m g  zˆ  rˆ   G
2
Mm
R
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2
2
2
rˆ  m a A
 zˆ o sen   rˆ 
ˆr  m R  2  zˆ o sen   rˆ  /  rˆ
 rˆ  rˆ   m R  2   zˆ o  rˆ  sen    rˆ  rˆ  
m g sen   m R 
2
 sen (9 0   )  sen 
m gsen   m R  cos  sen 
2
sen  
R
g
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2
cos  sen 



En el Ecuador desviación cero.
En los Polos desviación cero.
En latitud 45º desviación máxima, del orden 0,1º
De acuerdo a los valores señalados, la última
expresión:
  0, 003 sen  cos 
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Corrección por Latitud.

La corrección por latitud se hace en la
fórmula del g Teórico, reemplazando y
transformando [rad] a Km.
g

g  C 1  1  asen   bsen 2  
;
2
g
2
d


 C 1  a  2  sen   cos  
 2  b  sen 2   cos 2   2 

d


 m gal 
 g lat   5172, 3 sen 2    2
 rad 


 g lat
 m gal 
 0, 0816679 sen 2 
x
 100 m 


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1rad  57   57  111.111, 00 m  6333327 m 
 63.333, 27 100 m 



Estos Km. Son en la dirección N-S
corresponde a una latitud conocida (base para el
trabajo que se hace, Estación considerada).
En la fórmula de la anomalía de Bouguer:
A Boug  g obs   g h   g B  g T eo
 g T eo  corregido
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
 g T eo
 g lat

En el hemisferio Sur:
 para mayor latitud se usa el signo (+), es
decir cuando el lugar considerado está
más al sur de la estación de referencia.
 Para menor latitud se usa el signo menos ,
es decir cuando el lugar considerado está
más al norte de la estación de referencia.

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



En el hemisferio Norte:
para mayor latitud se usa el signo (+), es decir,
cuando el lugar considerado está más al norte de
la estación de referencia.
Para menor latitud se usa el signo menos, es
decir, cuando el lugar considerado está más al
sur de la estación de referencia.
Si el lugar de observación está mas cercano a los
polos que la estación de referencia se suma al
gTeo.. Esto es válido tanto en el hemisferio norte
como en el Sur.
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A B ou g  g ob s   g h   g B 
 g T eo
  g lat 
Lugar considerado se ubica más hacia los polos que la Estación.
A B ou g  g ob s   g h   g B 
 g T eo
  g lat 
Lugar considerado se ubica más hacia el Ecuador que la Estación.
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