MOVIMIENTO
PERIÓDICO
Sergio González Burgueño
Irene González Iglesias
Pablo González de la Peña
Nuria Herrero Pastor
ÍNDICE
ԹIntroducción.
ԹM.A.S.
ԹEnergía del M.A.S.
ԹAplicaciones del M.A.S.
ԹPéndulo simple.
ԹPéndulo Físico.
ԹSuperposición del M.A.S.
ԹResumen.
ԹBibliografía.
INTRODUCCIÓN
Movimiento periódico:
se repiten a intervalos
iguales de tiempo.
Movimiento oscilatorio:
es un movimiento periódico
de vaivén respecto de una
posición central, llamada
posición de equilibrio.
PARÁMETROS DEL MOVIMIENTO
VIBRATORIO:
Periodo(T): el tiempo que tarda el móvil en describir una
oscilación completa.
Frecuencia(ƒ): el número de oscilaciones
f = 1/T
completas efectuadas en la unidad de tiempo.
Elongación: en un instante dado es la posición de la partícula
respecto de la posición de equilibrio.
Amplitud(A): es el valor máximo de la elongación.
Frecuencia angular(w): w = 2pƒ
M.A.S.
ECUACIÓN GENERAL
x = A cos(w t +j)
x = A sin(w t +j)
ωt + j :es la fase, cuya unidad en S.I es el RADIÁN
j : es la fase inicial (t = 0)
CINEMÁTICA DEL M.A.S.
Si x = A sin ωt
v= dx/dt = A ω cos ωt
a= dv/dt= -A ω2 sin ωt
DINÁMICA DEL M.A.S.
-LEY DE HOOKE: define el comportamiento del muelle para
un oscilador armónico.
*Fm = -k x
*La fuerza restauradora de un muelle es
directamente proporcional a su deformación.
• Para x>0, F =-kx
• Para x<0, F =kx
Periodo de las oscilaciones:
En todo instante y en ausencia de rozamiento, la resultante de las
fuerzas que actúan sobre el cuerpo que oscila, es la fuerza
restauradora del muelle:
Fm = m a
-kx=ma
Tomando a= - w2 x ; tenemos que el periodo es:
T = 2p
m/k
El periodo de oscilación y la frecuencia del cuerpo
no depende de la amplitud de las oscilaciones.
ENERGIA ASOCIADA AL
OSCILADOR ARMÓNICO
1. TRABAJO:
W = |f| |Dr| cos j
2. ENERGIA CINETICA:
• Aquella capacidad que poseen los cuerpos para
realizar trabajo en función de su movimiento.
Ec = 1/2 mv2
Ec = 1/2 k (A2 – x2 )
TEOREMA DE LA ENERGÍA CINÉTICA
WT = DEc
3. FUERZAS CONSERVATIVAS:
La Ley de Hooke es un ejemplo de fuerza
conservativa, porque el trabajo que realiza un
muelle no depende del camino seguido.
4. ENERGIA POTENCIAL:
Esta energía, depende de las posiciones de las
partículas que forman el sistema.
En un sistema muelle-cuerpo, hablamos de energía
potencial elástica; por supuesto cuanto mayor sea
la compresión del muelle mayor es la energía.
Epelástica = ½ K x2
5. CONSERVACIÓN DE LA
ENERGIA MECÁNICA:
• El trabajo total realizado sobre una partícula se
puede expresar como:
WTOTAL = WC + WNC = DEc
• Teniendo en cuenta la relación entre el Wc y la DEp
tenemos:
WNC = DEc + DEp
• O lo que es lo mismo:
WNC = DEm
APLICACIONES DEL M.A.S.
M.A.S. vertical
Colgamos una masa del extremo libre
de un resorte vertical y se deja
descender suavemente; comienza a
oscilar de forma vertical, hasta que el
sistema alcanza el equilibrio.
Fuerza recuperadora -> F=kl
En el equilibrio se cumple -> mg=kΔl
k=mg/l -> f= 1/2 p k/m
M.A.S. angular
Un resorte espiral ejerce un momento de
torsión de restitución proporcional al
desplazamiento angular respecto de la
posición de equilibrio.
t = -K Θ
El momento esta descrito por: Θ= Θ cos(ωt+ φ)
La frecuencia angular y
frecuencia vienen dadas por:
Ejemplo: rueda de balance de un reloj mecánico
PÉNDULO SIMPLE
Constituido por una masa
puntual suspendida de un
punto fijo mediante un
hilo inextensible cuya
masa es despreciable.
ENERGÍA ASOCIADA AL PÉNDULO SIMPLE
• Por haber ganado altura, decimos que adquiere energía
potencial gravitatoria. Es decir, en el centro no tiene energía
potencial y en los extremos si. Podemos entonces, aplicar el
principio de conservación de la energía y afirmar que la energía
cinética del centro se ha transformado en potencial en los
puntos de máxima amplitud.
ECUACIONES DEL PÉNDULO SIMPLE
x = A cos (wt + φ) = A cos (2pƒt + φ)
x = A sen(wt + β) = A sen (2pƒt + β)
Periodo del péndulo:
T = 2p
L / |g|
PÉNDULO FÍSICO
El péndulo físico oscila solamente
por acción de su peso
El período del péndulo físico para
pequeñas amplitudes de oscilación:
Al desplazarse el cuerpo, el peso (mg), causa un momento de
torsión de restitución:
t = - (mg) (d senq)
Si se suelta el cuerpo, oscila;
 Para ángulos pequeños, el movimiento
será armónico simple. (al aproximar senq
con q). Entonces:
t = - (mg d) q
Frecuencia:
Momento
de inercia:
Periodo:
 Para amplitudes mayores, el movimiento es
armónico, pero no simple.
SUPERPOSICIÓN DEL M.A.S.
La superposición tiene lugar cuando dos fuerzas
perturbadoras actúan simultáneamente siendo el
movimiento resultante la suma de los distintos M.A.S.
x1(t) = A1 sen (w1t + y1)
x2(t) = A2 sen (w2t + y2)
x(t) = x1(t)+ x2(t) =
= A1 sen (w1t + y1) + A2 sen (w2t + y2)
En una dimensión:
FRECUENCIAS IGUALES
Resulta un M.A.S. de la misma frecuencia, donde:
Casos particulares:
A) Y1 = Y2 -> interferencia constructiva
B) Y1 = Y2 + p -> interferencia destructiva
A2 = A12 + A22 + 2A1 A2 cos|Y1 -Y2|
tgY = A1 sen Y1 + A2 sen Y2
A1 cos Y1 + A2 cos Y2
C) Y1 = Y2 + p/2 -> m.a.s. en cuadratura
FRECUENCIAS DISTINTAS
El movimiento resultante no es un M.A.S.
La amplitud resultante será:
A2 = A12 + A22 + 2A1 A2 cos (Y1 -Y2)
PULSACIONES
Es el resultado de la superposición de dos M.A.S. de
frecuencias ligeramente diferentes.
x(t) = A cos w1- w2 t sen w1+ w2
2
2
t
En dimensiones perpendiculares:
x(t) = A sen (wt + a)
y(t) = B sen (wt + b)
FRECUENCIAS IGUALES
Con d = a – b eliminamos t, y
obtenemos:
FRECUENCIAS DISTINTAS
x = A sen (wxt + a)
y = B sen (wyt + b)
La trayectoria no será una elipse,
salvo que wx= wy
En el caso
general es una
curva conocida
como “curva de
Lissajous”.
RESUMEN
BIBLIOGRAFÍA
‫“ ڟ‬Física” .-
Paul A. Tipler - Ed.Reverté,sa.
‫“ ڟ‬Física Universitaria” (vol. 1) .-
Sears, Zemansky, Young,
Freedman - Pearson.
‫“ ڟ‬Física” (2º Bto.) .- J.L.Hernández Neira, M.Gisbert Briansó .- Bruño.
‫“ ڟ‬Física” (2º Bto.) .- Á.Peña, J.A.García .- Ed.McGraw-Hill.
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Movimiento Armónico Simple