Coordenadas Polares
MAT022
Resumen
VBV
Definiciones
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POLO: Origen (0,0)
EJE POLAR: Eje X
EJE NORMAL: Eje Y
r: distancia dirigida de 0 a P
: ángulo dirigido en sentido antihorario
r

Eje Polar
Pasar de
Coordenadas Cartesianas a Polares
x= r cos 
y= r sen 
x2+y2= r2
tg = y/x
Ejemplos:
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Escribir en coordenadas polares:
(4,-4) , (2,0)
Escribir en coordenadas cartesianas:
(4,) , (-2,3 /4) , (3,-5/6)
Importante!!!!
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En coordenadas rectangulares la representación de un
punto es única.
Esto no sucede en coordenadas polares:
(r, ), (-r, + ) y (r, +2k) representan el mismo punto.
Graficas Polares
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r=f() se llama ECUACIÓN POLAR
Definiciones Importantes:
Función Acotada…
Simetría:
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Polar…
Normal…
Polo…
Estrategias para Graficar:
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Estudiar si la función es:
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Acotada
Simétrica
Periódica
Cambiar a coordenadas cartesianas (no siempre resulta)
Construir tabla
Calcular Interceptos
GRAFICAS IMPORTANTES
CIRCUNFERENCIA
r=4cos()
r=4sen()
r=2
CARDIOIDE
r=1+cos()
r=1+sen()
Rosa
r=2cos(3)
r=2sin(3)
r=sen(4)
LEMNISCATA
r2=4cos(2)
r2=4sen(2)
ESPIRAL
r=
Intersección de Graficas Polares.
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Debido a que un punto en
coordenadas polares se
puede representar de
diferentes maneras, debe
tener cuidado al
determinar los puntos de
intersección de dos
gráficas.
Ejemplo:
r=1-cos()
r=1
Ejercicios:
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Encontrar los puntos de intersección:
A) r = -6cos()
r = 2 – 2cos()
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B) r = 2cos(2)
r=1
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C) r= cos(2)
r= cos()

ÁREA EN COORDENADAS POLARES
r=f()
=
A
=
Ejemplos: Encontrar el área…
r = 1+cos()
IMPORTANTE!!!!
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La misma fórmula se puede usar para hallar el área de una
región limitada por la gráfica de una función continua no
positiva.
Sin embargo, la fórmula no es necesariamente válida si toma
valores tanto positivos como negativos en el intervalo.
Área de la región encerrada por las gráficas
de dos ecuaciones polares r = f ( ) y r = g ()
A
r=f()
=
0 g ()  f ( )
r=g()
=
IMPORTANTE!!!
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Encontrar los puntos de intersección de la curva
Determinar si g ()  f ( ) o f ()  g ( )
Ejercicio

f()= 2 sen()
Hallar el área comprendida en el
primer cuadrante que es
exterior a g() = 2 cos() e
interior a f() = 2 sen()
Solución:
a) Intersección: Resolver la ec:
2 cos() = 2 sen() ⇔  =  / 4
b) Área:
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g() = 2 cos()
Ejercicios.
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Hallar el área fuera de la cardioide r = 2(1+cos() ) y
dentro de la circunferencia r = 6cos () .
Hallar el área común a las dos circunferencias r = 2sen ()
y r = 2cos () .
Dadas las curvas (1) r = 2cos(3) y (2) r = 1.
1. Hallar el área que encuentra en el interior de (1) y
exterior a (2)
2. Hallar el área que encuentra en el exterior de (1) e
interior a (2)
3. Hallar el área interior a ambas.
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