Métodos de Integración
Ing. Antonio Crivillero

f ( x ) dx 
F (x)  k
Métodos de integración:
INMEDIATA
DESCOMPOSICIÓN
SUSTITUCIÓN
POR PARTES
Definición: Función Integral
y  f ( x)
b b1
AF1 (x)f f( x( f)xdx
() xdx) dx
aa
x
F : [a, b]  
F ( x) 
x

a
x
f ( x ) dx
a

x
a
f ( x ) dx
Función Integral
Teorema Fundamental del Cálculo Integral
Teorema Fundamental del Cálculo Integral
Si
f ( x)
continua en [a,b],
La función integral F ( x ) 

x
f ( x ) dx
es DERIVABLE.
a
 x0  [ a , b ] : F ' ( x0 )  f ( x0 )
y  f ( x)
La función F(x) es PRIMITIVA de f(x)
 x  [a, b] : F ' ( x)  f ( x)
F ( x)
F ( x)  k3
F (x)  k2
k1
F ( x )  k1
F ( x)
x
f ( x)
x
Definición de integral indefinida

b
a
f ( x ) dx 
 f ( x ) dx 
b
a
 F ( x)  k
Si:
 F ( x )  k ' 
f ( x)
Propiedades de la integral indefinida
1)
  f ( x )  g ( x ) dx  
f ( x )dx 
 g ( x )dx
2)
 C f ( x ) dx  C 
f ( x )dx
3)
 C
1
f ( x )  C 2 g ( x ) dx  C 1  f ( x ) dx  C 2  g ( x )dx
Integración Inmediata
nn
x
 dx 
1
n 1
x
n 1
 (11// x ) dx  ln x
 e dx  e  k
x

k
( n   1)
k
1
x

a k
a dx
ln( a )
 cos

1
2
( x)
1 x
1
1 x
2
22
ln x

  cos( x )  k
 sen ( x )  k
dx 
  4 x
5 6
33
xx
1
x
4
3
22
dx
x

x
x
xe dx
 e sen ( x )dx
x
 (1  tg ( x )) dx  tg ( x )  k
2
dx  arcsen ( x )  k   arccos( x )  k
dx  arctg ( x )  k
 sen ( x )dx
2
 x  sen ( x )dx
e
x
2
dx

 5 x dx
 cos( x )  3 x dx
x
 sen ( x )dx
 cos( x ) dx
 x
4
Integración por descomposición
La integral indefinida de la suma de dos funciones es igual a la suma algebraica de sus
integrales
  f ( x )  g ( x )  dx  
f ( x ) dx 
 g ( x ) dx
Demostración:
Sean F y G primitivas de f y g respectivamente:

f ( x )dx  F ( x )  k 1
 g ( x )dx
Si definimos H = F+G, → H’ = F’ + G’=
  f ( x )  g ( x )  dx
 G ( x)  k2
f+g
 H ( x)  k3  F ( x)  G ( x)  k3
 F ( x )  k1  G ( x )  k 2
k 3  k1  k 2
  f ( x )  g ( x )  dx  
f ( x ) dx 
 g ( x ) dx
Integración por Sustitución Directa
Si una integral se puede escribir en la forma
si
Porque
si
F ' f


f ( g ( x ))  g ' ( x ) dx
 F ' ( g ( x ))  g ' ( x ) dx
 F ( g ( x ))  k
( F ( g ( x ))  k )'  F ' ( g ( x ))  g ' ( x )
 F ' ( g ( x ))  g ' ( x ) dx
u  g(x)

si
 F (u )  k 
f ( g ( x ))  g '( x ) dx 
u  g ( x)

 F ' (u )
f ( u ) du
 du  g ' ( x ) dx
Integración por Sustitución Inversa

x  g (t )

f ( x )dx
inversible
t g
f ( g ( t ))  g ' ( t ) dt 

f ( x ) dx 
 h ( t ) dt
H/ H’=h
 H (t )  k
 H (g

( x)
 h ( t ) dt
Por algún método hallamos:

1
1
( x ))  k
f ( x ) dx  F ( x )  k
Integración por Partes
f ' ( x ) g ( x )  f ( x ) g ' ( x )  [ f ( x ) g ( x )]'
f ( x )  g ( x ) es la función
La función
  f '( x)  g ( x) 


PRIMITIVA
del 1
er
miembro
f ( x )  g ' ( x )  dx  f ( x )  g ( x )
f ' ( x )  g ( x ) dx   f ( x )  g ' ( x ) dx  f ( x )  g ( x )
f ( x )  g ' ( x ) dx  f ( x )  g ( x ) 
u
u
dv
 u dv
v
 g ( x )  f ' ( x ) dx
v
 u  v   v du
du

1
dx  ln x  

x
x
ln x

 dx

si u  ln x
1
du  dx
x


ln x
x
dx 

 udu
u
2
k
2

ln x
x
dx 
(ln x )
2
2
k
 x  senx
u
dx
 u v 
 vdu
dv
u  x  du  dx
dv  sen ( x ) dx

 dv

 sen ( x ) dx
v   cos( x )

 x  sen ( x ) dx
 x (  cos( x )) 
  cos( x ) 
 x  senx
 (  cos( x )) dx
 cos( x ) dx
dx   x cos( x )  sen ( x )  k
e
x
2
dx
f ( x)
x
Métodos Computacionales
•Derive
•Matlab
•Mathematica
•Maple
Bibliografía
•PURCELL, E., VARBERG, D. – Cálculo con Geometría Analítica – 6º Edición –
Editorial “Prentice Hall Hispanoamericana, S.A.” – Mexico – 1992.
•RABUFFETTI, H. – Introducción al Análisis Matemático (Cálculo 1) – 10º
Edición – Editorial “El Ateneo” – Buenos Aires – Argentina – 1987.
•STEWART, J. – Cálculo – Trascendentes Tempranas – 4º Edición – Editorial
“Thomson” – Mexico – 2002.
•VERA DE PAYER, E. y Otros – Matemática I para Ciencias Naturales – 3º
Edición – Editorial “Universitas” – Córdoba – Argentina – 2005.
•http://www.crivimatematicas.com.ar
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