TEMA 9
FUNCIONES
ELEMENTALES
PUNTO 1
PUNTOS DE corte con
los ejes y signo de
una función
• si en una función hay una simetría = es mas simple. ( solo habría
que estudiar la mitad.
del eje de ordenadas .
•Hay simetrías respecto:
al origen de coordenadas.
 SIM. RESPECTO AL EJE DE ORDENADAS
Simetría par.
Es simétrica si: f(-X) = f(X)
EJEMPLO:
f(X) = X² es par:
→ f(-X) = (-X)² = X² = f(X) FUNCION PAR
Y
[-a, f(-a)]
[a,f(a)]
o
X
 SIM. RESPECTO AL ORIGEN DE COORD.
Simetría respecto al origen de coordenadas:
f(-X) = -f(X)
EJEMPLO:
Simetría impar
f(X) = 1/X es impar.
f(-X) = 1/-X = -1/X = -f (X) Sim. Impar
[a,f(a)]
[-a,f(-a)]
CARACTERÍSTICAS:
-DOMINIO: Todos los números reales.
-ASÍNTOTAS:
- no hay asíntota vertical (porque el dominio es todo R)
- no hay asíntota horizontal (porque siempre tienden a mas o a menos infinito)
- no hay asíntota oblicua si son de grado mayor que uno. (explicar )
-Es simétrica respecto a un eje vertical.
-Se expresa f(x)=ax2+bx+c
-Representación:
1.Vertice: -b
2a
2.Concavidad: a>0 es cóncava.
a<0 es convexa.
3.Corte eje x: igualando función a cero.
4.Corte eje y: y=c al ser f(0)=c
Una función racional es aquella que
se obtiene al dividir dos
polinomios.
Si P y Q son funciones
polinomiales, f es la función
definida por:
Dominio
El dominio lo forman todos los números
reales excepto los valores de x que anulan el
denominador.
Discontinuidades
La función racional presenta
discontinuidad en los puntos que he
quitado del dominio. Tendré que estudiar
los límites en esos puntos para saber qué
tipo de discontinuidad tienen.
ASÍNTOTAS:
las funciones racionales, pueden tener asíntotas de los tres
tipos posibles: vertical, horizontal y oblicua.
Para hallar las asíntotas verticales, es necesario calcular el
límite de aquellos valores que hemos sacado del dominio. Si da ∞
tendré asíntota vertical
Por otro lado la asíntotas horizontales las hallaremos
calculando el límite cuando “x” tiende a +∞ y a - ∞. De tal manera, que
si el límite da como resultado un numero natural(k) habrá pues, una
asíntota horizontal. Y las asíntotas oblicuas con el método ya
estudiado
Las funciones racionales van a presentar asíntotas
horizontales si el grado del numerador es menor o igual que el
grado del denominador
Las funciones racionales van a presentar asíntotas oblicuas
si el grado del numerador es de ungrado más que el grado del
denominador
Si existen los límites: :
La recta “y = mx+n” es la asíntota oblicua.
Ejemplo:
es la asíntota oblicua.
Son las que contienen la variable “x” dentro de un signo
radical.
Si el índice de la raíz es par, no son verdaderas funciones
pues a cada valor de “x” del dominio corresponden dos valores de “y”,
para que sean verdaderas funciones vamos a considerar que nos
quedamos sólo con el resultado positivo de la raiz:
y   ax  b
y 
ax  b
y   ax  b
Si el índice de la raíz es impar, no hay
ningún problema de este tipo
Esto sólo para el caso de polinomio de grado 1 dentro de la raíz
•Se trata de una “función” continua cuyo dominio es la solución de la inecuación:
ax  b  0
que es:
 b

D o m ( y )    ,  
 a

•Es simétrica con relación al eje X

•Corta al eje X en  


,0 
a

b
y al eje Y no lo corta si “b” es negativo, pero si “b” es positivo lo
corta en :
 0,
b

Ejemplo
y 
2x  4
 2x  4
4
3
•Es continua
•Corta al eje X en (2, 0)
•No corta al eje Y
Es creciente y convexa
2
1
0
0
5
10
-1
-2
-3
-4
 2x  4
D o m ( y )   2,   
* La función
periódica: es la
función en la que se
repite de la misma
forma un trozo de la
función cada cierto
tiempo fijo.
T
Una función periódica se estudia a trozos
en un intervalo de amplitud “T”.
T
Una función periódica cumple la
siguiente fórmula:
f(x+T)=f(x)
Siendo T el periodo
Las funciones periódicas no tienen
límite en el infinito porque no se acercan
a un valor concreto ni se van a infinito,
siguen variando siempre de la misma
manera
FUNCIÓN EXPONENCIAL
f(x)=ax
DOMINIO Y CONTINUIDAD
continuas
TR y son
en él
PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES
eje y: punto (0,1), aº=1
eje x: no tiene solución, ax =0
SIGNO
+ en todo su dominio
COMPORTAMIENTO EN
EL INFINITO
varía dependiendo del
valor de la base
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
logax=y
ay=x
DOMINIO Y CONTINUIDAD
dominio (0,+&)
PUNTOS DE CORTES CON LOS EJES
eje x: punto (1,0)
COMPORTAMIENTO EN
EL INFINITO
similar a las
exponenciales
Página web genial de exponencial,
logarítmicas etc
http://personal.telefonica.terra.es/web/pq/funexp/index.htm
• Son aquellas que asocian a cada valor de x, en radianes, alguna de sus
razones trigonométricas.
F(x)=sen x
Sen (x+2π)= sen x
periódica: T=2 π
• Representación: intervalo [0,2 π]
• Es continua
• Dominio: todo R
• Recorrido: [-1,1]
• Al ser periódica, no existe
lim sen x
+/- ∞
• Función con simetría impar: sen(-x)= - sen x
Cos x = sen (x+ π /2)
Su gráfica es como la del seno, pero desplazada
π /2 unidades hacia su izquierda.
• Dominio: todo R
• Es continua
• Recorrido: [-1,1]
• Periódica: T = 2 π
No existe lim cos x
+/- ∞
• Función con simetría par: cos (-x)=cos x
Tg x = sen x / cos x.
• Indefinida cuando: cos x = 0, en los valores de la forma Xk= π /2 + k· π
• Dominio ( si k es un numero entero): Todo R – {Xk}
• Recorrido: Todo R
• Asintotas verticales: x = Xk= π /2 + k· π
• Periodo: T= π porque tg (x+ π) = sen(x+ π) / cos(x+ π)= - sen x/ - cos x=
tg x
• Función impar: tg(-x)= - tg x
y= cosec x = 1/sen x
Función cosecante:
Recorrido: R - (-1, 1)
Paridad: cosec x = -cosec(-x) [impar]
Dominio: Dom(cosec(x))= R- {Kπ} / K Є Z Periodo: T=2 π
Asintotas verticales en x=k π / K Є Z
y= sec x = 1/cos x
2
Función secante:
Dominio: Dom(sec(x))=R- {(2K+1) π} /K Є Z
Recorrido: R - (-1, 1)
/KЄZ
Paridad: sec x = sec(-x) [par]
2
Periodo: T=2 π
Asintotas verticales en x= {(2K+1) π }
y= ctg x = 1/tg x
Función cotangente:
Dominio: Dom(ctg(x))= R-{K π } / K Є Z
Recorrido: R
Paridad: ctg x = - ctg(-x) [función impar]
periodo: T= π
Asíntotas verticales en rectas x=K π / K Є Z
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