Coordenadas Polares
MAT022
Resumen
VBV
Coordenadas Cartesianas
Definiciones





POLO: Origen (0,0)
EJE POLAR: Eje X
EJE NORMAL: Eje Y
r: distancia dirigida de 0 a P
: ángulo dirigido en sentido antihorario
r

Eje Polar
Pasar de
Coordenadas Cartesianas a Polares
x= r cos 
y= r sen 
x2+y2= r2
tg = y/x
Ejemplos:


Escribir en coordenadas polares:
P ( 5 , - 5 ) , Q ( 0 , 2 ) , R( -1 , 3 ) , S ( 3 , 4 ).

Escribir en coordenadas cartesianas:
P ( 2 ,  ) , Q ( 3 , /6 ) , R ( 3 , -/6 ).

Y dibujar en el plano.

Ya cuando uno se familiariza con las
coordenadas polares….



…no es necesario hallar sus coordenadas rectangulares:
se hace directamente.
Es muy sencillo si en el plano usamos como referencia
ángulos y magnitudes.
Importante!!!!



En coordenadas rectangulares la representación de un
punto es única.
Esto no sucede en coordenadas polares:
(r, ), (-r, + ) y (r, +2k) representan el mismo punto.
Esto es,

( r ,  ) = ( r ,  + 2 k ),

( r ,  ) = ( - r ,  + ),

( r ,  ) = ( - r ,  - (2 k+1) ),

Donde k es entero
Ejemplos

o
o
o
o

Hallar las coordenadas rectangulares de:
P(-2 , 4/3)
Q (-3 , 11/6)
R (-4 , 3/4)
S(-2 , 5/3)
Considerar todos los puntos que cumplen: r = 4 sen 
Transformar a coordenadas cartesianas e identificar su
grafica.
Rectas Radiales
Graficas Polares

r = f() se llama ECUACIÓN POLAR.
G={ ( x , y ) : x = r cos  , y = r sen  ,  Dom(f) }

= {( f() cos  , f() sen  ) :  Dom(f) }

Ejemplos:
r=2




 = /3
r = sec 
Definiciones Importantes:



Función Acotada:
r = f() es ACOTADA si M>0, t.q. |r| M, Dom(f)
Simetría:



Polar (X) : r() = r(-)
Normal (Y) : r() = r(-)
Polo (O) :
r
Simetría:

Polar (X) : r() = r(-)
 O bien al intercambiar simultáneamente:
r
-r
  -  la ec. no varia



Normal (Y) : r() = r(-)
O bien al intercambiar simultáneamente: r
ec. no varia
r
-
r
-r

- la
r
- 



Polo (O) : la ecuación no varia al intercambiar:
r
-r o  +
OBSERVACIÓN:

Cuando decimos que la ecuación no varia estamos
diciendo que se obtiene una de sus múltiples
representaciones:
(-1)n r = f(  + n )
Estrategias para Graficar:

Estudiar si la función es:






Acotada
Simétrica
Periódica
Cambiar a coordenadas cartesianas (no siempre resulta)
Construir tabla
Calcular Interceptos, máximos y mínimos.
GRAFICAS IMPORTANTES
RECTAS
RECTAS QUE CONTIENEN EL POLO
=
Ejemplo: Graficar:  = /4
RECTAS QUE NO PASAN POR EL POLO,
A UNA DISTANDO “d” DEL POLO
Ejemplo: graficar:
RECTAS HORIZONTALES / VERTICALES
r= d sec 
Ejemplo: Graficar: r = 2 sec 
r= cosec 
r= d cosec 
Probar!!!!
CIRCUNFERENCIAS DE RADIO “a”
CON CENTRO EN (a,)
r=2a cos( - )
Ejemplo:
Graficar:
r = 4 cos( - /3)
CIRCUNFERENCIAS DE RADIO “a”
r=2a cos()
r=2a sen()
r=a
Ejemplos: graficar:
r=4cos()
r=4sen()
r=2
Estudiar las circunferencias que se obtienen
para ….
 =
0
 = 
 = /2
 = 3/2
PARABOLAS / ELIPSES / HIPERBOLAS

Se obtienen de la ecuación:

e=1 : parábola
0<e<1 : elipse
e > 1 : hipérbola


Ejemplos: graficar:
CARACOLES O LIMONARES

Son de la forma:



r = a  b cos 
r = a  b sen 
Se diferencian, según:



|a| = |b| : Cardioide
|a| > |b| : Caracol sin Rizo
|a| < |b| : Caracol con Rizo
CARDIOIDE
r=1+cos()
r=1+sen()
LIMACONES O CARACOLES
r=1/2 + cos()
r= 3 – 2 cos()
r= 2 – 3 sen()
ROSAS






Son del tipo:
r = cos (n)
r = cos (n)
Donde n es un numero entero.
Si n es par, entonces la grafica tiene 2n pétalos
Si n es impar, entonces la grafica tiene n pétalos
ROSAS
r=2cos(3)
r=2sin(3)
r=sen(4)
Otro tipo de rosa…
Una rosa dentro de otra
r= 1 – 2 sen (3)
LEMNISCATA

Son de la forma:
 r2

= a sen (2)
r2 = a cos (2)
LEMNISCATA
r2=4cos(2)
r2=4sen(2)
Ejemplos: graficar:
r2=- 4 sen(2)
r2=- 4 cos(2)
ESPIRAL
ARQUIMEDES: r= cte 
r=
LOGARITMICA r=cte ek
r=e
Ejercicios Propuestos:
Graficar las siguientes ecuaciones polares:
a) r = 5
b) r = -3 cos 
c) r = 2 / (2 – sen )
d) r = 2 – 4sen 
e) r - 2 +5 sen  = 0
f) r2 = 3sen (2)
g) r = sen  + cos 
h) sen  + cos  = 0

Intersección de Graficas Polares.




Debido a que un punto en
coordenadas polares se
puede representar de
diferentes maneras, debe
tener cuidado al
determinar los puntos de
intersección de dos
gráficas.
Ejemplo:
r=1-2cos()
r=1
Ejercicios Propuestos:
Graficar y encontrar los puntos de intersección:

A) r = - 6 cos()
r = 2 – 2 cos()

D) r = 3 cos()
r = 1+ cos()

B) r = 2cos(2)
r=1

E) r = 3 sen()
r = 1+ cos()

C) r= cos(2)
r= cos()

F) r2= -8 cos(2)
r= 2
G) r = 3 /(2+ sen )
r = 4+ 4 sen ()


ÁREA EN COORDENADAS POLARES
r=f()
Si f es una función
continua, positiva
=
A
=
La pregunta es …
Como encontramos  =  ,  = ????
Teorema
f()= 0 y f’()  0 entonces, la recta 
=  es tangente a la grafica de r = f() en
el polo.
 Si
Ejemplos: Encontrar el área…
r = 1+cos()
Ejercicios Propuestos:



Encontrar el área…
r= 2 cos (3)
r= 2 sen (3)
IMPORTANTE!!!!


La misma fórmula se puede usar para hallar el área de una
región limitada por la gráfica de una función continua no
positiva.
Sin embargo, la fórmula no es necesariamente válida si toma
valores tanto positivos como negativos en el intervalo.
Área de la región encerrada por las gráficas
de dos ecuaciones polares r = f ( ) y r = g ()
A
r=f()
=
0 g ()  f ( )
r=g()
=
IMPORTANTE!!!


Encontrar los puntos de intersección de la curva
Determinar si g ()  f ( ) o f ()  g ( )
Ejercicio

f()= 2 sen()
Hallar el área comprendida en el
primer cuadrante que es
exterior a g() = 2 cos() e
interior a f() = 2 sen()
Solución:
a) Intersección: Resolver la ec:
2 cos() = 2 sen() ⇔  =  / 4
b) Área:

g() = 2 cos()
Ejercicios Propuestos:






Hallar el área fuera de la cardioide r = 2(1+cos() ) y
dentro de la circunferencia r = 6cos () .
Hallar el área común a las dos circunferencias r =
2sen () y r = 2cos () .
Dadas las curvas (1) r = 2cos(3) y (2) r = 1.
1. Hallar el área que encuentra en el interior de (1) y
exterior a (2)
2. Hallar el área que encuentra en el exterior de (1)
e interior a (2)
3. Hallar el área interior a ambas.
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