Métodos de estimación:
 Estimación puntual
 Estimación de intervalo
Métodos de estimación:
Estimación puntual:
Estimación de intervalo:
utilización de datos de
la muestra para calcular
un solo número para
estimar el parámetro de
interés.
ofrece un intervalo de
valores razonables dentro
del cual se pretende que
esté el parámetro de
interés, en este caso la
media poblacional, con un
cierto grado de confianza
POBLACIÓN
Descripción
PARÁMETROS
Inferencias
Muestreo
aleatorio
MUESTRA
ESTIMADORES
ESTIMACIONES
(x1, x2,…..,xn)
(Estadísticos)
(Valores
concretos)
ESTIMADORES

 



xi
n


   Xi  

ESTIMACIONES
_
X
S2
Valores concretos

2
 n  1
Ejemplo: distribución
de tallas de neonatos


 



xi
n
Valores desconocidos de
los parámetros media y
variancia de la talla de la
población
2



   Xi  


2
 n  1
46 ; 48 ;51 ;52 ;52 

x
46  49  51  52  52
Estimadores
Muestra
 50
Estimación puntual de

5
s 
2
46  50 2  .......  52  50 2
5 1
 6 ,5
Estimación puntual de

2
Dada una variable aleatoria X con media 
y desviación estándar  ,
el teorema del límite central afirma que posee una
distribución normal estándar si X :
- se encuentra distribuida normalmente,
- no se encuentra distribuida normalmente y n sea
suficientemente grande

Z 
x 

n
Para una variable normal estándar, 95% de las observaciones se
ubican entre -1,96 y +1,96.
En otras palabras, la probabilidad de que Z tome un valor entre
-1,96 y +1,96 es:
P   1, 96  Z  1, 96   0 , 95
Al sustituir el valor de Z:



x




P  1, 96 
 1, 96  0 , 95


 / n


Multiplicamos los tres términos de la
desigualdad por el error estándar

n
Por tanto,


 

P   1,96
 x    1,96
  0 ,95
n
n

Restamos x de cada término de tal
manera que:






P   1,96
 x     1,96
 x   0 ,95
n
n


Multiplicamos por -1, invirtiendo el
sentido de la desigualdad:






P   1,96
 x    1,96
 x   0 ,95
n
n


Al reordenar términos:


 

P  x  1,96
   x  1,96
  0 ,95
n
n


La
ya no se localiza en el centro de la
x
desigualdad; en lugar de eso, la afirmación
probabilística indica algo sobre 
Al reordenar términos:


 

P  x  1,96
   x  1,96
  0 ,95
n
n


Importante:
Cuando las muestras aleatorias son cada vez
más grandes, la variabilidad de X se torna
más pequeño.
Sin embargo la variabilidad inherente de la
población estudiada, medida por , siempre
se encuentra presente.

Ejemplo :
Distribución de los niveles de colesterol en sangre
de todos los varones que son hipertensos y que
fuman.
◦ Esta distribución es:
 aproximadamente normal,
 con una media desconocida:  = ?,
 y una desviación estándar
 = 46 mg / 100 ml.


Interesa calcular el nivel medio de
colesterol en sangre.
Antes de elegir una muestra aleatoria, la
probabilidad de que el intervalo

( X  1 . 96
46
n

, X  1 . 96
46
)
n)
contenga la verdadera media poblacional es
de  = 0,95.


En el caso de tomar una muestra tamaño
12 de la población de fumadores
hipertensos y que además poseen un
nivel medio de colesterol en sangre de x
= 217 mg / 100 ml.
El intervalo de confianza es de 95% para
 es
46
46
( 217  1 . 96
, 217  1 . 96
12
o
(191 , 243 )
)
12

Este intervalo contiene el valor de 211 mg
/100 ml, el nivel medio de colesterol en la
sangre de todos los hombres de 20 a 74
años de edad sin importar si son
hipertensos o fumadores.
Interpretación 1
Se está 95 % seguro de que los límites 191 y 243
cubren la verdadera media .
Interpretación 2: en términos de frecuencia.
Si se tomaran 100 muestras aleatorias de tamaño
12 de esta población y utilizaran cada muestra
para construir un intervalo de confianza de 95 %,
se espera que en promedio 95 de los intervalos
cubrieran la verdadera media poblacional  = 211
y 5 no.
Este
procedimiento se
expresa
gráficamente de la
siguiente forma:
Interpretación del gráfico:



La única cantidad que varia de muestra es X.
Todos tiene la misma amplitud.
Cada intervalo de confianza que no contenga el
valor verdadero de  se encuentra marcado con
un punto, 5 intervalos están dentro de esta
categoría
Para calcular un intervalo de confianza
de 99% para .
Con la misma muestra de 12 hipertensos, se
encuentra que los límites son
( 217  2 . 58
46
12
o
(183 , 251 )
, 217  2 . 58
46
12
)
Interpretación:



Un 99% de confianza de este intervalo cubre el
verdadero nivel medio de colesterol en sangre de la
población.
La amplitud de intervalo de confianza de 99% es de
251-183=68 mg/ 100 ml.
Este intervalo es más amplio que el
correspondiente intervalo de confianza de 95%.
Reflexionando en el sentido del tamaño
muestral:
¿Qué dimensiones debe tener una muestra
para que la amplitud del intervalo se
reduzca a solo 20 mg/100 ml?
Consideraciones:
Ya que el intervalo se centra en la media de
muestreo x=217 mg/ 100 ml, interesa el
tamaño de la muestra necesario para
generar el intervalo (217-10, 217+10)
ó
(207, 227)

Para determinar el tamaño n que se requiere
de la muestra, se debe resolver la ecuación
10 
2 . 58 ( 46 )
10
n  140 . 8


Se necesita una muestra de 141 hombres
para reducir la amplitud del intervalo de
confianza de 99% a 20 mg/100 ml.
Aunque la media de muestreo de 217
mg/100 ml se ubica en el centro del
intervalo, no desempeña ningún papel en la
determinación de su amplitud; la amplitud
es función de , n y el nivel de confianza.
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Intervalos de Confianza