Depto. Matemáticas – IES Elaios
Tema: Estadística
Inferencial
2. ESTIMACIÓN
Presentación elaborada por el profesor José Mª Sorando,
ampliando y adaptando las diapositivas de la Editorial SM
Cálculo de valores críticos
Cálculo de valores críticos
Cálculo de valores críticos
Estimación
Apuntes.-
Hasta ahora: conocidos los parámetros de la población, hemos
calculado la
probabilidad de que en una muestra se obtenga
cierto resultado (media o proporción)
Pero lo más usual es que: conocidos los resultados de una muestra,
queramos obtener algún conocimiento sobre los parámetros de la
población. Eso es la ESTIMACIÓN.
Estimación puntual
• Parámetro: es un valor numérico que describe una característica de la
población.
• Estadístico: es un valor numérico que describe una característica de la
muestra.
• Estimador puntual: es el estadístico que se toma en una muestra
determinada y que se usa para estimar un parámetro poblacional.
En general, se verifica que, cualquier parámetro poblacional que
se quiere estimar (p, .... etc.) tiene siempre en la muestra un
^ ..., etc.)
estadístico paralelo (–x, s^, p,
Propiedades de los estimadores
Estimador insesgado: es aquel estimador para el que se cumple que su media
coincide con el valor del parámetro que se va a estimar.
Ejemplos: lo son la media muestral y la proporción muestral.
Estimador eficiente: es aquel estimador para el que su varianza es mínima.
Ejemplos: tanto la media muestral como la proporción muestral son más
eficientes cuanto mayor es el tamaño de la muestra. En ambos casos, si
aumenta n disminuye σ2 .
Propiedades de los estimadores
una comparación…
Cuatro tiradores han efectuado 10 disparos sobre una diana. Si traducimos cada disparo
en una estimación, efectuada por un determinado estimador, sobre una muestra,
podemos interpretar las propiedades de los estimadores de la siguiente forma:
Estimador insesgado
y no eficiente
Estimador sesgado
y no eficiente
Estimador sesgado
y eficiente
Estimador insesgado
y eficiente
Estimadores puntuales más probables
Apuntes._
para la media de una población μ, se toma la media de la muestra x
para la varianza de la población σ2, se toma s2·n / (n – 1), cuasivarianza
muestral
^
para una proporción de la población p, se toma la proporción de la muestra p
Estimación por intervalos
En la estimación puntual se obtiene un valor concreto como estimación del parámetro
poblacional; pero ese método no permite tener una medida de la confianza que puede
depositarse en el resultado de dicha inferencia.
Para resolver ese problema se utiliza la estimación por intervalos, que consiste en:
obtener un intervalo (intervalo de confianza) tal que haya una determinada probabilidad
conocida (nivel de confianza) de que contenga al verdadero valor del parámetro
poblacional.
Así, si nos referimos a la media μ, se trata de encontrar un intervalo (a , b) tal que:
P ( a < μ < b) = 1 - α
Ejemplo.- Si se nos pide que estimemos la media poblacional con un nivel de confianza
del 95%, se tratará, a partir de una muestra, de encontrar un intervalo (a , b) en el cual
podamos asegurar que está contenida μ con una probabilidad de 0'95.
En tal caso, la probabilidad de que μ no pertenezca a dicho intervalo será de 0'05; ése
será por lo tanto el riesgo asumido con esa estimación (nivel de significación).
Estimación por intervalos
Apuntes.•
Intervalo de confianza: intervalo (a , b) tal que hay una determinada probabilidad
conocida de que contenga al verdadero valor del parámetro poblacional.
•
Nivel de confianza: es la probabilidad de que el parámetro poblacional pertenezca al
intervalo de confianza. Generalmente se representa por 1 – α.
Es decir:
P ( a < μ < b) = 1 - α
•
Nivel de significación o de riesgo: es la probabilidad de que el parámetro
poblacional no pertenezca al intervalo de confianza; es decir, 1 – (1 – α) = α.
•
Valor crítico: es el valor de la abscisa que deja a su derecha un área igual a α/2,
siendo 1 – α el coeficiente de confianza. Se representa por z α/2 .
•
Margen de error: es la diferencia entre el extremo superior y el extremo inferior del
intervalo de confianza: b – a.
Error máximo admisible: es la semiamplitud del intervalo de confianza; es decir, la
mitad del margen de error. Se denomina E = (b – a) / 2
Valores críticos más usuales
P r  – z  /2 < Z  z  /2  = 1 – 
1 -
0 ,8
0 ,9
0 ,9 5
0 ,9 9

0 ,2

0 ,0 5
0 ,0 1
 
0 ,1
0 ,0 5
0 ,0 25
0 ,0 05
z  
1 ,2 8
1 ,6 4
1 ,9 6
2 ,5 8
Intervalo de confianza para la media poblacional
• Sea una población de partida N(). Pretendemos estimar .
• Tomamos una muestra aleatoria de tamaño n. Calculamos la media muestral x.
–
–

X –
La variable aleatoria X sigue una N(,
)
n P or tanto  se aproxim a a una N (0, 1)

E nto nces: P r  – z


–
 /2
<
X – 

n
 z
 /2
n

 = 1 –  .Y d e aq uí se o b tiene


 El intervalo de confianza para el parámetro  de una población N( ) al nivel

–


de confianza 1 – viene dado por IC = x z/2 
n

 Si  es desconocida y n es grande (n  30), el intervalo de confianza viene dado
–
^s 
por IC = x  z/2 
n

donde ^s2 es la cuasivarianza muestral
Intervalo de confianza para una proporción p
• Sea una población donde pretendemos estimar una proporción p.
• Tomamos una muestra aleatoria de tamaño n donde hay una proporción p^.

^
Entonces p se distribuye en el muestreo según una Np,

E n consecuencia
p^ – p
p(1 – p)
n

E nto nces: P r  – z  /2 <


p(1 – p)

n 
se aproxim a a una N (0, 1) para n m uy grande

 z  /2  = 1 – 
p(1 – p )

n

p^ – p
Intervalo de confianza para una proporción p

P or tanto: P r  p^ – z  /2

p(1 – p)
< p  ^p + z  /2
n
p(1 – p) 
= 1 – 
n

^
C o m o p es desconocido podem os to m ar p com o valor estim ado próxim o a p:

P r  p^ – z  /2

^
p^ (1 – p)
<
n
p

p^ + z  /2

L uego IC =  p^  z  /2

^p (1 – ^p) 
= 1 – 
n


p^ (1 – p^ )

n

Intervalo de confianza para una proporción p
S i n es m uy grande, lo que equivale a decir np > 5 y n(1 – p) > 5, el intervalo de
confianza para el parám etro p de una B (n, p) viene dado por

IC =  p^  z  /2

donde z
 /2

p^ (1 – p^ )

n

x
^
es el valor crítico para el nivel de confianza  y p =
n
Tamaño de la muestra
• Una forma de aumentar la confianza es ampliando el tamaño del intervalo, pero esto
tiene el inconveniente de que aumenta el margen de error.
• Otra forma es aumentar el tamaño de la muestra, ya que el ancho del intervalo
depende de n.
• ¿Hasta dónde debe aumentar n para tener una confianza predeterminada?
Por ejemplo: el intervalo de confianza para el parámetro
 de una población N() al nivel
–

de confianza 1 – viene dado por IC =  x  z/2 
n

E
Es decir: E = z/2
z/22

Despejando n obtenemos: n = 
 E 

n
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9Estimacion