Si n muy grande y p muy pequeño, es
conveniente utilizar la distribución de
Poisson, ya que se consigue una buena
aproximación.
Esta distribución se emplea para describir
sucesos discretos que ocurren con poca
frecuencia en el tiempo o en el espacio; por
ello a veces recibe el nombre de distribución
de sucesos raros.
Variable aleatoria X: esta representa la
cantidad de veces que ocurre un suceso de
interés en un intervalo dado.
Ya que X es una cuenta, puede tomar
teóricamente cualquier valor entero entre 0
e infinito.
Sea λ(lambda, letra griega) una constante
que indica el número promedio de veces
que acontece un suceso en un intervalo.
Si la probabilidad de que X tome el valor de x es
P ( X  x) 
e


x
x!
se dice que X tiene una distribución de Poisson
con parámetroλ.
e representa una constante con valor
aproximado de 2.71828, este es la base de los
logaritmos naturales
Sucesos fundamentales:
1.
La probabilidad de que acontezca un
suceso en un intervalo es proporcional a la
amplitud del intervalo.
2.
En principio, teóricamente es posible que
suceda un número infinito de eventos en un
intervalo dado. No hay límite al número de
ensayos.
3.
Los sucesos ocurren independientemente
tanto en el mismo intervalo como entre
intervalos consecutivos.
Usos:
describir la cantidad de ambulancias que se
requieren en una ciudad en una noche
particular,
describir la cantidad de partículas emitidas
por una cantidad específica de material
radiactivo o
describir el número de colonias de bacterias
que crecen en una caja de Petri.
En una variable aleatoria binomial, la media es
igual a np y su varianza es np(1-p).
La propiedad de que la media sea igual a la
varianza es una característica que identifica a
la distribución de Poisson.
Ejemplo:
Determinar la cantidad de personas de una
población de 10000 que se involucra en un
accidente vehicular cada año.
El número de personas implicadas sería la
siguiente la cual también es la varianza:
  np
 (10000 )( 0 . 00024 )
 2 .4
La probabilidad de que nadie en esta
población tenga un accidente en un año
en particular es
P ( X  0) 
e
 2 .4
( 2 .4 )
0
0!
 0 . 091
La probabilidad de que exactamente
una persona tenga como uno es de
P ( X  1) 
e
 2 .4
( 2 .4 )
1!
 0 . 218
1
De manera análoga,
P ( X  2) 
e
 2 .4
( 2 .4 )
2
2!
 0 . 261
Debido a que los resultados de X son
mutuamente excluyentes y exhaustivos
P ( X  7)  1  P ( X 7)
 1  ( 0 . 091  0 . 218  0 . 261  0 . 209  0 . 125  0 . 060  0 . 024 )
 0 . 012
También se puede conocer la
probabilidad de Poisson con la siguiente
tabla.
λ
Cantidad de sucesos
Para valores específicos de x y λ, la entrada en la
tabla representa
P ( X  x) 
e


x!
x
En una población de 10000 personas, ¿cuál
es la probabilidad de que exactamente tres
de estas se involucren en un accidente
vehicular en una año determinado?
1.
fijar x = 3
2. redondear 2.4 a
2.5
3. buscar la
columna
correspondiente
λ = 2.5
4. aproximar la
probabilidad
a 0.214
Grafica de la
distribución de
probabilidad X, la
cantidad de
individuos de la
población
involucrados en
un accidente
vehicular cada
año
El eje Y suma 1
La distribución
de Poisson se
encuentra
pronunciadame
nte sesgada por
valores
pequeños de λ
Conforme λ
aumenta, la
distribución se
torna mas
simétrica.
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Distribución de Poisson