Intervalos de Confianza
Inferencia Estadística
Intervalos de Confianza
Métodos de estimación:
Estimación puntual:
utilización de datos de la
muestra para calcular un
solo número
Estimación de intervalo:
Intervalos de Confianza
Métodos de estimación:
Estimación puntual:
Estimación de intervalo:
utilización de datos de
la muestra para calcular
un solo número para
estimar el parámetro de
interés.
ofrece un intervalo de
valores razonables dentro
del cual se pretende que
esté el parámetro de
interés, en este caso la
media poblacional, con un
cierto grado de confianza
Intervalos de Confianza
POBLACIÓN
Descripción
PARÁMETROS
Inferencias
Muestreo
aleatorio
MUESTRA
ESTIMADORES
ESTIMACIONES
(x1, x2,…..,xn)
(Estadísticos)
(Valores
concretos)
Intervalos de confianza
ESTIMADORES

 



xi
n


   Xi  

ESTIMACIONES
_
X
S2
Valores concretos

2
 n  1
Ejemplo: distribución de tallas de neonatos



 

x

Valores desconocidos de
los parámetros media y
variancia de la talla de la
población
2

xi
n



   Xi  


2
 n  1
Estimadores
46 ; 48 ;51 ;52 ;52 
Muestra
46  49  51  52  52
Estimación puntual de
 50

5
s 
2
46  50 2  .......  52  50 2
5 1
Estimación puntual de
 6 ,5

2
Intervalos de confianza bilaterales:
construcción
Dada una variable aleatoria X con media 
y desviación estándar  ,
el teorema del límite central afirma que posee una distribución
normal estándar si X :
se encuentra distribuida normalmente,
- no se encuentra distribuida normalmente y n sea
suficientemente grande

Z 
x 

n
Para una variable normal estándar, 95% de las observaciones se
ubican entre -1,96 y +1,96.
En otras palabras, la probabilidad de que Z tome un valor entre -1,96 y
+1,96 es:
P   1, 96  Z  1, 96   0 , 95
Al sustituir el valor de Z:



x 


P  1, 96 
 1, 96  0 , 95


 / n


Multiplicamos los tres términos de la
desigualdad por el error estándar 
n
Por tanto,


 

P   1,96
 x    1,96
  0 ,95
n
n








P   1,96
 x     1,96
 x   0 ,95
n
n








P   1,96
 x    1,96
 x   0 ,95
n
n


Al reordenar términos:


 

P  x  1,96
   x  1,96
  0 ,95
n
n


La
x
ya no se localiza en el centro de la
desigualdad; en lugar de eso, la afirmación de
probabilística indica algo sobre 
Al reordenar términos:


 

P  x  1,96
   x  1,96
  0 ,95
n
n

Intervalos de Confianza

Importante:
Cuando las muestras aleatorias son
cada vez más grandes, la variabilidad
de X se torna más pequeño.
Sin embargo la variabilidad inherente
de la población estudiada, medida por
, siempre se encuentra presente.
Intervalos de Confianza

Ejemplo :
Distribución de los niveles de colesterol
en sangre de todos los varones que son
hipertensos y que fuman.
 Esta distribución es:



aproximadamente normal,
con una media desconocida:  = ?,
y una desviación estándar
 = 46 mg / 100 ml.
Intervalos de Confianza


Interesa calcular el nivel medio de colesterol
en sangre.
Antes de elegir una muestra aleatoria, la
probabilidad de que el intervalo

( X  1 . 96
46
n

, X  1 . 96
46
)
n)
contenga la verdadera media poblacional es
de  = 0,95.
Intervalos de Confianza


En el caso de tomar una muestra tamaño 12
de la población de fumadores hipertensos y
que además poseen un nivel medio de
colesterol en sangre de x = 217 mg / 100
ml.
El intervalo de confianza es de 95% para 
es
46
46
( 217  1 . 96
, 217  1 . 96
12
o
(191 , 243 )
)
12
Intervalos de Confianza

Este intervalo contiene el valor de 211 mg
/100 ml, el nivel medio de colesterol en la
sangre de todos los hombres de 20 a 74
años de edad sin importar si son
hipertensos o fumadores.
Interpretación 1
Se está 95 % seguro de que los límites 191 y 243
cubren la verdadera media .
Intervalos de Confianza
Interpretación 2: en términos de frecuencia.
Si se tomaran 100 muestras aleatorias de
tamaño 12 de esta población y utilizaran cada
muestra para construir un intervalo de confianza
de 95 %, se espera que en promedio 95 de los
intervalos cubrieran la verdadera media
poblacional  = 211 y 5 no.
Intervalos de Confianza
Este procedimiento
se expresa
gráficamente de la
siguiente forma:
Intervalos de Confianza
Interpretación del gráfico:



La única cantidad que varia de muestra es X.
Todos tiene la misma amplitud.
Cada intervalo de confianza que no contenga el
valor verdadero de  se encuentra marcado con un
punto, 5 intervalos están dentro de esta categoría
Intervalos de Confianza
Intervalos de Confianza
Para calcular un intervalo de confianza
de 99% para .
Con la misma muestra de 12 hipertensos, se encuentra
que los límites son
( 217  2 . 58
46
12
o
(183 , 251 )
, 217  2 . 58
46
12
)
Intervalos de Confianza
Interpretación:



Un 99% de confianza de este intervalo cubre el
verdadero nivel medio de colesterol en sangre de la
población.
La amplitud de intervalo de confianza de 99% es de
251-183=68 mg/ 100 ml.
Este intervalo es más amplio que el
correspondiente intervalo de confianza de 95%.
Intervalos de Confianza
Reflexionando en el sentido del tamaño
muestral:
¿Qué dimensiones debe tener una muestra
para que la amplitud del intervalo se reduzca a
solo 20 mg/100 ml?
Intervalos de Confianza
Consideraciones:
Ya que el intervalo se centra en la media de
muestreo x=217 mg/ 100 ml, interesa el
tamaño de la muestra necesario para
generar el intervalo (217-10, 217+10)
ó
(207, 227)
Intervalos de Confianza

Para determinar el tamaño n que se
requiere de la muestra, se debe
resolver la ecuación
10 
2 . 58 ( 46 )
10
n  140 . 8
Intervalos de Confianza


Se necesita una muestra de 141 hombres
para reducir la amplitud del intervalo de
confianza de 99% a 20 mg/100 ml.
Aunque la media de muestreo de 217
mg/100 ml se ubica en el centro del
intervalo, no desempeña ningún papel en la
determinación de su amplitud; la amplitud
es función de , n y el nivel de confianza.
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