Intervalos de confianza
2011 - 0
Introducción



Es la estimación de un parámetro dentro de un
intervalo de extremos cerrados a , b
Se establece un nivel de confianza (1 – a)%
Interpretación: Si se seleccionan muchas muestras
muestras de tamaño n, y para cada muestra se obtiene
el intervalo de confianza correspondiente, entonces
aproximadamente el (1 – a)% de estos intervalos
contendrá el verdadero valor del parámetro.
Intervalo de confianza para m
Caso 1: s 2 conocida:
x  z1 a
s
2
n
 m  x  z1 a
s
2
n
Caso 2: s 2 desconocida:
x  t1 a
s
2 , n 1
n
 m  x  t1 a
s
2 , n 1
n
Intervalo de confianza para m
Ejemplo: Una empresa fabrica focos que tienen un
tiempo de duración aproximadamente normal con
desviación estándar de 40 horas. Si una muestra de 30
focos tiene una duración promedio de 780 horas,
calcule e interprete un intervalo de confianza del 96%
para la duración promedio de todos los focos que
produce esta empresa.
Intervalo de confianza para m
Ejemplo: Suponga que se decide hacer algunos cambios
en una empresa de modo que el tiempo medio de
producción por articulo disminuya. Hechos los
cambios, se toma una muestra aleatoria de 30 artículos,
con los cuales se obtiene un tiempo promedio muestral
de 9.45 minutos y una desviación estándar muestral de
1.41 minutos. Estime mediante un intervalo de
confianza del 95% el tiempo medio de producción por
artículo.
Intervalo de confianza para la proporción
poblacional p
p  z1  a
p 1  p )
2
n
 p  p  z1  a
p 1  p )
2
n
Ejemplo: El encargado del control de calidad desea
estimar la proporción de artículos defectuosos. Se
selecciona una muestra aleatoria simple de 200 artículos,
encontrándose 10 artículos defectuosos. Halle una
estimación por intervalo del 95% para la proporción
verdadera de artículos defectuosos en dicha producción.
Intervalo de confianza para la varianza
poblacional s 2
Intervalo de confianza para s 2 :
 n  1) s

2
2
1  a 2 , n 1
s
2

 n  1) s
a
2
2
2 , n 1
Intervalo de confianza para s :
 n  1) s

2
2
1  a 2 , n 1
s 
 n  1) s
a
2
2 , n 1
2
Intervalo de confianza para la varianza
poblacional s 2
Ejemplo: Para estudiar el tiempo que lleva ensamblar
cierto componente de una computadora, el supervisor
de una empresa electrónica tomó el tiempo que 20
técnicos tardaban en ejecutar esta tarea, obteniéndose
una media de 12.73 minutos y una desviación estándar
de 2.06 minutos. Construya e interprete un intervalo de
confianza de 95% para la desviación estándar del
tiempo que lleva ensamblar el componente de la
computadora.
Tamaño de muestra
Para estimar una media poblacional:
z 1  a 2s
2
n 
e
2
2
Para estimar una proporción poblacional: :
2
n
z1  a
2
p 1  p )
e
2
Tamaño de muestra para estimar m
Ejemplo: Se quiere empezar una investigación para
estimar el tiempo promedio que demoran los proyectos
desarrollados por Enigma Project S.A. La estimación
debe realizarse a un nivel de confianza del 90% y un
error máximo permisible de 20 días. Considerando que
la desviación estándar de los tiempos de finalización de
los proyectos es 100 días, ¿cuántos de los proyectos
terminados por la empresa deberían constituir la
muestra?
Tamaño de muestra para estimar p
Ejemplo: Se lleva a cabo un estudio para estimar el
porcentaje de ciudadanos de una ciudad que están a
favor de tener su agua fluorada. ¿Qué tan grande se
necesita que sea la muestra si se desea tener una
confianza del 95% de que la estimación esté dentro del
1% del porcentaje real?
Tamaño de muestra para estimar p
Ejemplo: En un artículo de un periódico
norteamericano el 32% de los adultos encuestados
dijeron que el programa espacial estadounidense debe
enfatizar la exploración científica. ¿Qué tan grande se
necesita que sea la muestra de adultos en una nueva
encuesta si se desea tener una confianza del 95% de que
el porcentaje estimado esté dentro del 2% del porcentaje
real?
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